吉林省長(zhǎng)春市二道區(qū)2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市二道區(qū)2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），則AC的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C． D．43．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為A． B． C． D．4．下列運(yùn)算正確的是A． B．C． D．5．如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)是24米，∠BAC＝30°，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)等于()A．6米 B．3米 C．6米 D．3米6．下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．對(duì)角線互相平分 B．兩組對(duì)邊分別相等C．對(duì)角線互相垂直 D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等7．下列圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．8．若(x-3)(x+5)是x2+px+q的因式，則q為()A．-15 B．-2 C．8 D．29．如圖，平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于點(diǎn)O，則圖中有平行四邊形（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)10．若一次函數(shù)y＝(k－3)x－k的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則k的取值范圍是()A．k＜3 B．k＜0 C．k＞3 D．0＜k＜3二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，則AB的長(zhǎng)是______．12．關(guān)于的方程無(wú)解，則的值為_(kāi)_______.13．已知是方程的一個(gè)根，_________________．14．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸上，菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8和6（AC＞BC），反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為_(kāi)____.15．如圖，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若DE剛好平分∠ADB，且AE＝a，則BC＝_____．16．如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為8，是中線上一點(diǎn)，以為一邊在下方作等邊，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．17．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下：（a+b＞0），如：3*2==，那么7*（6*3）=__．18．計(jì)算：×＝____________.三、解答題(共66分)19．（10分）（閱讀理解）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、，∵，∴∴，只有當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)）在（、均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則，只有當(dāng)時(shí)，有最小值．（解決問(wèn)題）（1）若時(shí)，當(dāng)_____________時(shí)，有最小值為_(kāi)____________；（2）如圖，已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，軸，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．求四邊形周長(zhǎng)的最小值．20．（6分）已知A、B兩地相距4800米，甲從A地出發(fā)步行到B地，20分鐘后乙從B地出發(fā)騎自行車到A地，設(shè)甲步行的時(shí)間為x分鐘，甲、乙兩人離A地的距離分別為米、米，、與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）直接寫出y、y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求甲出發(fā)后多少分鐘兩人相遇，相遇時(shí)乙離A地多少米？21．（6分）（1）下列關(guān)于反比例函數(shù)y=的性質(zhì)，描述正確的有_____。（填所有描述正確的選項(xiàng)）A．y隨x的增大而減小B．圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱C．圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱D．把雙曲線y=繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可以得到雙曲線y=-（2）如圖，直線AB、CD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與雙曲線y=分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)分別為m,n（m＞n＞0）,連接AC、CB、BD、DA。①判斷四邊形ACBD的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)m、n滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ACBD是矩形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；③若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m=3，四邊形ACBD的面積為S，求S與n之間的函數(shù)表達(dá)式。22．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.(1)探索發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是_______，CE與AD的位置關(guān)系是_______.(2)歸納證明證明2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展應(yīng)用如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE，若AB=5，BE=13，請(qǐng)直接寫出線段DP的長(zhǎng).23．（8分）如圖，中，．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊上確定點(diǎn)，使得點(diǎn)到邊的距離等于的長(zhǎng)；（保留作用痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：．24．（8分）如圖，以△ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個(gè)正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求證：△BDE≌△BAC；（2）求證：四邊形ADEG是平行四邊形．（3）直接回答下面兩個(gè)問(wèn)題，不必證明：①當(dāng)△ABC滿足條件_____________________時(shí)，四邊形ADEG是矩形．②當(dāng)△ABC滿足條件_____________________時(shí)，四邊形ADEG是正方形？25．（10分）閱讀材料：關(guān)于的方程：的解為：，（可變形為）的解為：，的解為：，的解為：，…………根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：（1）①方程的解為．②方程的解為．（2）解關(guān)于方程：①（）②（）26．（10分）如圖，在正方形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，連接，在上截取，使，過(guò)點(diǎn)作平分，，分別交于點(diǎn)、.連接.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求證：.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】

首先比較平均數(shù),平均數(shù)相同時(shí)選擇方差較小的運(yùn)動(dòng)員參加.【詳解】解：首先比較平均數(shù):甲=丙＞乙=丁,

∴從甲和丙中選擇一人參加比賽,

再比較方差：丙＞甲

∴選擇甲參賽,

所以A選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查的是方差，熟練掌握方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】

根據(jù)勾股定理求出OB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=OB，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，過(guò)B作BM⊥x軸于M，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），∴OM=1，BM=3，由勾股定理得：OB=∵四邊形OABC是矩形，∴AC=OB，∴AC=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=OB是解此題的關(guān)鍵．3、B【解析】試題分析：∵一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），∴3k+b=0，∴b=-3k．將b=-3k代入k（x-4）-1b＞0，得k（x-4）-1×（-3k）＞0，去括號(hào)得：kx-4k+6k＞0，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：kx＞-1k；∵函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜0；將不等式兩邊同時(shí)除以k，得x＜-1．故選B．考點(diǎn)：一次函數(shù)與一元一次不等式．4、C【解析】

根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、D進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、與不能合并，所以A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B、原式，所以B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C、原式，所以C選項(xiàng)計(jì)算正確；D、與不能合并，所以D選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).5、C【解析】

由菱形ABCD的周長(zhǎng)是24米，∠BAC=30°，易求得AB=6米，△ABD是等邊三角形，繼而求得答案．【詳解】解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是24米，∠BAC=30°，∴AB=AD=24÷4=6（米），∠DAB=2∠BAC=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=6米．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABD是等邊三角形是解此題的關(guān)鍵．6、C【解析】

利用平行四邊形的判定可求解．【詳解】A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故該選項(xiàng)符合題意；D、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等，可得另一組對(duì)角相等，由兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形．故此選項(xiàng)正確．

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．8、A【解析】

直接利用多項(xiàng)式乘法或十字相乘法得出q的值．【詳解】解：∵（x?3）（x＋5）是x2＋px＋q的因式，∴q＝?3×5＝?1．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確得出q與因式之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．9、D【解析】

首先根據(jù)已知條件找出圖中的平行線段，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，來(lái)判斷圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD∥AB，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四邊形有：□ABCD，□ABHG，□CDGH，□BCFE，□ADFE，□AGOE，□BEOH，□OFCH，□OGDF，共9個(gè)．即共有9個(gè)平行四邊形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找出圖中的平行線段.10、D【解析】

由一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】∵一次函數(shù)y=（k-3）x-k的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，∴k-3＜解得：0＜k＜3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k＜0，b＜0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限”是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】

根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE=CD，即D為CE中點(diǎn)，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE=2，∴AB=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目．12、-1．【解析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：2x-1=x+1+m，

整理得：x=m+2，

當(dāng)m+2=-1，即m=-1時(shí)，方程無(wú)解．

故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，分式方程無(wú)解分為最簡(jiǎn)公分母為0的情況與分式方程轉(zhuǎn)化為的整式方程無(wú)解的情況．13、15【解析】

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即可對(duì)這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子變形，即可求解．【詳解】解：是方程的根，.故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的解的定義，正確得到.14、?12【解析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可得出k的值．【詳解】設(shè)菱形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)D，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，又∵菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8和6，

∴OB⊥AC，BD=OD=3，CD=AD=4，

∵菱形ABCD的對(duì)角線OB在y軸上，

∴AC∥x軸，∴C(?4,3)，

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴3=，解得k=?12.

故答案為：?12.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).15、6a【解析】

根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，求得∠C＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∴∠CBD＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝a，∴DE＝2a，∵∠EDB＝∠DBC，∠DBE＝∠EBD，∴BE＝DE＝2a，∴AB＝3a，∴BC＝2AB＝6a．故答案為：6a．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16、1【解析】

作CG⊥MN于G，證△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，則可以得出，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖示：作CG⊥MN于G，

∵△ABC和△CEF是等邊三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=10°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE與△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS），又∵AD是三角形△ABC的中線

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴，在Rt△CMG中，，∴MN=2MG=1，

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACF≌△BCF．17、【解析】試題分析：∵，，∴，即7*（6*3）=，考點(diǎn)：算術(shù)平方根．18、【解析】

直接利用二次根式乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】=.故答案為.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，正確掌握二次根式乘法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.三、解答題(共66分)19、（1）1,1；（1）2.【解析】

(1)根據(jù)題意，利用完全平方式即可求解；

(1)根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，然后表示出周長(zhǎng)，再根據(jù)上面的知識(shí)求解即可；【詳解】解：（1）1，1．（1）解：設(shè)，則，∴四邊形周長(zhǎng)．∴四邊形周長(zhǎng)的最小值為2．【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了幾何不等式的應(yīng)用，理解在

(a,

b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值k，則只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值是關(guān)鍵.20、（1）y1=80x(0≤x≤60)，y2=-120x+7200(20≤x≤60)；（2）甲出發(fā)36分鐘后兩人相遇，相遇時(shí)乙離A地2880米．【解析】

（1）根據(jù)題意利用函數(shù)圖像信息進(jìn)行分析計(jì)算即可；（2）由題意可知兩人相遇時(shí)，甲、乙兩人離A地的距離相等，以此建立方程求解，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：（1）由題意設(shè)甲步行的時(shí)間為x分鐘，甲、乙兩人離A地的距離分別為米、米，甲離A地的距離為y1=80x(0≤x≤60)乙離A地的距離為y2=-120x+7200(20≤x≤60)．（2）由題意可知：兩人相遇時(shí)，甲、乙兩人離A地的距離相等，即y1=y2，∴80x=-120x+7200，解得x=36(分鐘)．當(dāng)x=36時(shí)，y=80×36=2880(米)．答：甲出發(fā)36分鐘后兩人相遇，相遇時(shí)乙離A地2880米．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象和一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意和一次函數(shù)圖象信息是解題的關(guān)鍵.21、（1）ABCD；（2）①見(jiàn)解析；②∴當(dāng)時(shí)，四邊形ACBD是矩形；③S=【解析】

（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得.（2）①根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，則一定是平行四邊形；②由四邊形ACBD是矩形時(shí)：OA=OC得出利用長(zhǎng)度公式得可得關(guān)系式：整理化簡(jiǎn)即可。③可得A(3,2)進(jìn)而求出的表達(dá)式，代入S=可得S與n的關(guān)系式.【詳解】解（1）ABCD均正確（2）①根據(jù)對(duì)稱性可知：OA=OB,OC=OD,則四邊形ACBD是平行四邊形。②當(dāng)四邊形ACBD是矩形時(shí)：OA=OC∴∵點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)分別為m,n∴∴∴∴∵m＞n＞0∴∴當(dāng)時(shí)，四邊形ACBD是矩形③∵當(dāng)m=3時(shí)，A(3,2)∴===∴四邊形ACBD的面積為S=【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)及幾何圖形的綜合，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22、(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的結(jié)論仍成立.理由見(jiàn)解析；(3)PD=．【解析】

（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形，由等邊△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，減去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根據(jù)SAS可證得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角可證∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三線合一可得CE⊥AD．

（2）證明過(guò)程同（1）．

（3）由AB=5即△ABC為等邊三角形可求得BD的長(zhǎng)．連接CE，由（2）可求∠BCE=90°，故在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)．又由（2）可得BP=CE，由DP=BP-BD即求得DP的長(zhǎng)．【詳解】解：(1)∵菱形ABCD中，∠ABC=60°

∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°

∴△ABC、△ACD是等邊三角形

∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°

∵△APE是等邊三角形

∴AP=AE，∠PAE=60°

∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC

即∠BAP=∠CAE

在△BAP與△CAE中

∴△BAP≌△CAE（SAS）

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE

∵BD平分∠ABC

∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°

∴CE平分∠ACD

∴CE⊥AD

故答案為：BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的結(jié)論仍成立，證明如下：設(shè)AD與CE交于點(diǎn)O∵四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°∴△ABC為等邊三角形.∴AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠CAE又∵ΔAPE為等邊三角形∴AP=AE在△BAP與△CAE中∴△BAP≌ΔCAE(SAS)∴BP=CE∴∠ACE=∠ABP=30°又∵∠CAD=60°∠A0C=90°∴AD⊥CE；(3)連接CE，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O

∵AB=5

∴BC=AC=AB=5

∴AO=AC=∴BO=＝＝

∴BD=2BO=5

∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，BE=13

∴CE=＝=12

由（2）可知，BP=CE=12

∴DP=BP-BD=12-5故答案為：(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的結(jié)論仍成立.理由見(jiàn)解析；(3)PD=．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．第（2）題的證明過(guò)程可由（1）適當(dāng)轉(zhuǎn)化而得，第（3）題則可直接運(yùn)用（2）的結(jié)論解決問(wèn)題．23、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知點(diǎn)P即為所求；（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，通過(guò)證明≌得到AB=BN，且易得PN=NC，由BC=BN+NC，等線段轉(zhuǎn)化即可得證.【詳解】解：（1）如圖：利用尺規(guī)作圖，作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，則點(diǎn)到邊的距離等于的長(zhǎng)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由（1）可知:PA=PN，在和中，，∴≌(HL)，∴AB=BN，∵，∴∠C=45°，又∵∠PNC=90°∴∠NPC=∠C=45°，∴PN=NC，∴BC=BN+NC=AB+PN=AB+AP.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用尺規(guī)作圖作一個(gè)角的角平分線，角平分線的性質(zhì)及直角三角形全等的判定.熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.24、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①∠BAC=135°；②∠BAC=135°且AC=【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC；（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的對(duì)應(yīng)邊DE=AG．然后利用正方形對(duì)角線的性質(zhì)、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對(duì)邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；（3）①根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；②由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由正方形ABDI和正方形ACHG的性質(zhì)證得：ACAB．【詳解】（1）∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∵，∴△BDE≌△BAC（SAS）；（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的對(duì)角線，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°，∴DE∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）．（3）①當(dāng)四邊形ADEG是矩形時(shí)，∠DAG=90°．則∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即當(dāng)∠BAC=135°時(shí)，平行四邊形ADEG是矩形；②當(dāng)四邊形ADEG是正方形時(shí)，∠DAG=90°，且AG=AD．由①知，當(dāng)∠DAG=90°時(shí)，∠BAC=135°．∵四邊形ABDI是正方形，∴ADAB．又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴ACAB，∴當(dāng)∠BAC=135°且ACAB時(shí)，四邊形ADEG是正方形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的判定