論線性空間與歐式空間的對比分析研究 室內(nèi)設(shè)計專業(yè)

目錄1緒論 31.1研究目的與研究意義 31.2研究現(xiàn)狀 31.3研究內(nèi)容 32歐式空間簡介 42.1提出背景 42.2定義與基本性質(zhì) 52.3度量矩陣 82.4標(biāo)準(zhǔn)正交基 92.5同構(gòu) 122.6正交變換 162.7對稱變換 193線性空間簡介 213.1線性空間的概念 223.2線性變換的定義 223.3線性變換的性質(zhì)和運算 233.4線性變換的矩陣 244線性空間與歐式空間的對比 284.1基礎(chǔ)域的對比討論 284.2運算的對比討論 294.3基的對比討論 294.4向量坐標(biāo)的對比討論 294.5線性變換的對比討論 294.6同構(gòu)的對比討論 30參考文獻 31致謝 32論線性空間與歐式空間的對比摘要線性空間與歐式空間是《高等代數(shù)》的兩部分重要內(nèi)容，兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，簡要描述他們的定義、概念、特征，并從它們的基礎(chǔ)域、運算、基、向量的坐標(biāo)、線性變換、同構(gòu)幾個方面進行對比討論?！娟P(guān)鍵詞】歐式空間線性空間對比OnthecomparisonoflinearspaceandEuclideanspaceAbstractLinearspaceandEuclideanspaceis"HigherAlgebra"isthetwoimportantparts,theyaredifferentandcontact,abriefdescriptionofthedefinition,conceptandcharacteristicsofthem,andfromtheirbasicdomains,operation,matrix,vectorcoordinate,lineartransformationofseveralaspectsofthediscussionthan.【Keywords】Euclideanspacelinearspacecontrast1緒論1.1研究目的與研究意義線性空間與歐式空間是《高等代數(shù)》中兩部分重要內(nèi)容，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系。本論文旨在從不同的方面對其進行比較與討論。在線性空間中，向量之間的基本運算只有加法與數(shù)量乘法，統(tǒng)稱為線性運算，如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個具體模型，那么就會發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長度，夾角等在線性空間的理論中沒有得到反映。但是向量的度量性質(zhì)在許多問題中（其中包括幾何問題）有著特殊的地位，所以有必要引入度量的概念。以解析幾何為例，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積來表示，向量的內(nèi)積有代數(shù)性質(zhì)。而線性空間無法研究這些性質(zhì)，所以引入了歐幾里得空間的概念，歐式空間概念的提出對于擴大對解析幾何問題的研究有指導(dǎo)意義[1]。1.2研究現(xiàn)狀有限維線性空間是高等代數(shù)的一部分很重要的內(nèi)容，陳少軍曾在《有限維線性空間的基與維數(shù)研究》中對有限維的線性空間進行研究。重點的介紹了幾種求有限維線性空間的基與維數(shù)的方法，其中包括一種常用而又很重要的方法：一般元素含有的相互獨立的待定數(shù)。對于歐式空間與線性空間的關(guān)系問題，張錦來教授研究了歐式空間上線性變換的若干問題，推導(dǎo)出歐式空間上的變換是線性變換的充分條件孫霞在《常見線性空間與歐式空間的基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法》一文中闡述到，高等代數(shù)的線性空間概念是重要的一個屬性，歐式空間的深入理解是認識高等數(shù)學(xué)的一個重要信息，而且線性空間與歐式空間的維數(shù)與正交基的標(biāo)準(zhǔn)是認識空間的基礎(chǔ)。文章在對數(shù)域中對線性空間與歐式空間的方面進行說明，探討數(shù)域P所起的作用，維數(shù)的基與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法與步驟[2]。1.3研究內(nèi)容在我看來，歐式空間可以理解為幾何空間的度量性在線性空間推廣的結(jié)果。線性空間缺乏度量性，不能在線性空間上被描述向量的長度及向量間的夾角，這一不足制約了線性空間的使用。而向量的長度及向量的夾角在幾何空間都能通過向量的內(nèi)積來定義，所以只要在線性空間中加上內(nèi)積性質(zhì)，就使得線性空間具有了度量屬性。從大的方面來看，歐式空間就是具有內(nèi)積性的線性空間，但從基礎(chǔ)域、基、向量的坐標(biāo)、過渡矩陣、線性變換子空間、同構(gòu)等方面，他們又具有不同的性質(zhì)。這也是論文需要研究的內(nèi)容。2歐式空間簡介2.1提出背景約在公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得建立了角和空間中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學(xué)空間中。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做?n?維歐幾里得空間（甚至簡稱??n維空間）或有限維實內(nèi)積空間。這些數(shù)學(xué)空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實內(nèi)積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數(shù)教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須嚴(yán)密地表達并被擴展到任意維度。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。還另存在其他種類的空間，例如球面則非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現(xiàn)的時候也不是歐幾里得空間[3-5]。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達的特定聯(lián)系的點所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關(guān)于在這個平面中固定點的旋轉(zhuǎn)，其中在平面上的所有點關(guān)于這個固定點旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應(yīng)被認為是等價的（全等）。歐幾里得空間的最后問題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上仿射空間。直覺上，區(qū)別在于對于原點應(yīng)當(dāng)位于這個空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因為它可以到處移動。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。歐式空間，也可以稱為平直空間，在數(shù)學(xué)中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度，轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標(biāo)系。這是有限維、實和內(nèi)積空間的“標(biāo)準(zhǔn)”例子。歐式空間是一個特別的度量空間，它使得我們能夠?qū)ζ涞耐負湫再|(zhì)，例如緊性加以調(diào)查。內(nèi)積空間是對歐式空間的一般化。內(nèi)積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。歐式空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發(fā)揮了作用。一個定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當(dāng)化了在歐式空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導(dǎo)入機動性手法，局部歐式空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。當(dāng)一個線性空間定義了內(nèi)積運算之后它就成為了歐式空間。歐式空間是無窮大的。在線性空間中，向量之間的運算只有加法和數(shù)乘這兩種基本運算，而向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角、距離等，在線性空間中沒有得到反映。因此有必要在線性空間中引入度量的概念。而在解析幾何中我們看到，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積表示，所以我們選取內(nèi)積作為基本概念。在線性空間中引入內(nèi)積以后就成為歐式空間[6]。2.2定義與基本性質(zhì)【定義1】設(shè)是實數(shù)域上的一個線性空間，如果在上定義一個二元實函數(shù)，記作，稱為內(nèi)積。如果它有以下性質(zhì)：1.2.3.4.，當(dāng)且僅當(dāng)時，這里是中任意向量，是任意實數(shù)，就稱線性空間對內(nèi)積構(gòu)成一個歐幾里得空間，簡稱歐式空間。注：1.二元函數(shù)意為對中任意向量，有唯一的實數(shù)對應(yīng)2.內(nèi)積的定義方法不唯一，不同的內(nèi)積構(gòu)成的歐式空間不同例：設(shè)是一個維實線性空間，在中取定一組基。設(shè)是一個正定矩陣，定義的內(nèi)積如下：由于為正定矩陣，顯然這樣定義的內(nèi)積符合定義中所列條件。因此，對內(nèi)積構(gòu)成一個歐式空間。3.定義中的性質(zhì)1.說明內(nèi)積是對稱的。因此，與性質(zhì)2.及3.相對應(yīng)的有：進一步的，在歐式空間中，對任意向量；及任意實數(shù)；，都有【定義2】由，設(shè)是歐式空間中的一個向量，非負實數(shù)稱為向量的長度，記為。向量的長度一般都是正數(shù)，只有零向量的長度才等于零。我們把長度為1的向量稱為單位向量。長度的性質(zhì)：1.，2.（運用柯西-布捏可夫斯基不等式）證明：考慮解析幾何中向量夾角的余弦可以通過內(nèi)積表示為由于，因此，為了在歐式空間中引入夾角概念，必須首先證明【柯西-布捏可夫斯基不等式】對于歐式空間中任意兩個向量，都有當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號成立。證明：（分線性相關(guān)或線性無關(guān)兩種情況）若線性相關(guān)，不妨設(shè)若線性無關(guān)，那么對任意實數(shù)，因此，即實系數(shù)方程無實數(shù)解。因此，即兩邊開方，既得這時，我們就可以定義兩個向量的夾角?！径x3】歐式空間中兩個非零向量之間的夾角規(guī)定為【定義4】如果向量的內(nèi)積為零，即。那么稱為正交或垂直，記作。顯然，兩個非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為并且，從定義可以看出，零向量與任何向量正交，零向量是唯一與自己正交的向量?！竟垂啥ɡ怼慨?dāng)正交時，證：推廣到多個向量的情形，即如果向量兩兩正交，那么【定義5】設(shè)是歐式空間中兩個向量，它們之間的距離定義為距離的性質(zhì)有：1.2.，當(dāng)且僅當(dāng)時成立（）3.證：2.3度量矩陣設(shè)是一個維線性空間，在中取定一組基，對中兩個向量有這樣，就將向量之間的內(nèi)積通過基之間的內(nèi)積表示出來。因此，只需確定基之間的內(nèi)積即可?！径x6】設(shè)是歐式空間的一組基，矩陣稱為基的度量矩陣。在知道了一組基的度量矩陣之后，任意兩個向量的內(nèi)積就可以通過坐標(biāo)按上式計算，因而度量矩陣完全確定了內(nèi)積。2.3.1度量矩陣的性質(zhì)1.度量矩陣是正定矩陣證：由，為實對稱矩陣。又時，，即時，，故為正定矩陣。2.設(shè)分別是維歐式空間的兩組基，它們的度量矩陣分別為和，由到的過渡矩陣為，那么（不同基的度量矩陣是合同的）。證明：到的過渡矩陣為即因此即3.是一個維歐式空間，則任一正定矩陣都可以看成的某一組基的度量矩陣。（證明思想：階正定矩陣都是合同的）特別的單位矩陣也可看成的某一組基的度量矩陣。2.4標(biāo)準(zhǔn)正交基歐式空間與線性空間的主要差別是在歐式空間中有度量性質(zhì)，而度量性質(zhì)又是由內(nèi)積的概念做基礎(chǔ)，內(nèi)積可以通過度量矩陣表示。因此，如何選擇基，使得度量矩陣最簡單是一個重要問題?！径x7】歐式空間中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一個正交向量組。顯然，正交向量組是線性無關(guān)的。在維歐式空間中，兩兩正交的非零向量不能超過個?！径x8】在維歐式空間中，由個正交向量組成的基稱為正交基。由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由定義有，顯然，一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是：它的度量矩陣為單位矩陣。同時，由于度量矩陣的性質(zhì)3.在維歐式空間中，標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的。在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量的內(nèi)積有特別簡單的表達式。設(shè)這一內(nèi)積表達式，對于任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基都是一樣的。即所有的標(biāo)準(zhǔn)正交基，在歐式空間中有相同的地位?！径ɡ?】維歐式空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基。證明：設(shè)是一正交向量組，我們對作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時，就是一組正交基了。假設(shè)時定理成立，也就是說，可以找到向量，使得成為一組正交基?，F(xiàn)在來看的情形，因為，所以一定有向量不能被線性表出，作向量這里是待定系數(shù)。用與作內(nèi)積，得取有由的選擇可知，。因此，是一正交向量組，根據(jù)歸納法假定，可以擴充成一正交基?！径ɡ?】對于維歐式空間中任意一組基，都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，使證明：（施密特正交化）設(shè)是一組基，我們來逐個的求出向量首先，可取，一般的，假定已經(jīng)求出，它們是單位正交的，具有性質(zhì)下一步求因為，所以不能被線性表出。作向量顯然有，且令就是一單位正交向量組，同時【定理3】1.由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣。2.如果第一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，同時兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，那么第二組基一定也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明：設(shè)及是歐式空間的兩組基，并設(shè)由到的過渡矩陣是1.）設(shè)及是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么它們的度量矩陣都是單位矩陣，又由到的過渡矩陣是,即所以是一個正交矩陣。2.）設(shè)是一個正交矩陣，如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么它的度量矩陣是單位矩陣，于是的度量矩陣為所以，是標(biāo)準(zhǔn)正交基。2.5同構(gòu)【定義9】實數(shù)域R上歐式空間與稱為同構(gòu)的，如果由到有一個雙射，滿足1.2.3.這里這樣的映射稱為到的同構(gòu)映射。如果是歐式空間到的一個同構(gòu)映射，那么也是線性空間到的一個同構(gòu)映射。因此，歐式空間的同構(gòu)具有線性空間同構(gòu)的性質(zhì)。設(shè)是歐式空間到的一個同構(gòu)映射：1.2.3.4.中向量線性相關(guān)的充分必要條件是他們的象線性相關(guān)。歐式空間的同構(gòu)關(guān)系也具有反身性、對稱性、傳遞性。證明：（反身性）每個歐式空間到自身的恒等映射顯然是一同構(gòu)映射。因而同構(gòu)關(guān)系是反身的。（對稱性）設(shè)是歐式空間到的一個同構(gòu)映射，它的逆映射也適合定義中的1.與2.，且對于，有這就是說，是到的一個同構(gòu)映射，因而同構(gòu)關(guān)系是對稱的。（傳遞性）設(shè)分別是到，到的同構(gòu)映射，適合定義中的1.與2.，且對于這就是說是到的一個同構(gòu)映射，因而同構(gòu)關(guān)系是傳遞的。【定理3】兩個有限維歐式空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相等。證明：（必要性）如果歐式空間與是同構(gòu)的，那么他們作為線性空間也是同構(gòu)的。所以他們的維數(shù)相同。（充分性）設(shè)歐式空間與的維數(shù)相同都為在中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，在中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基定義到的一個映射為顯然是一個雙射，且如果則由于,都是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以因此是歐式空間到的一個同構(gòu)映射，故與是同構(gòu)的。這個定理說明，歐式空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)決定。五、子空間歐式空間的子空間對于元空間的內(nèi)積顯然也是一個歐式空間?，F(xiàn)在討論歐式空間中子空間的正交關(guān)系?！径x10】設(shè)是歐式空間的一個子空間。如果一個向量對于任意的，恒有，則稱與子空間正交，記為?！径x11】設(shè),是歐式空間的兩個子空間。如果對于任意的，恒有，則稱,為正交的，記為。因為只有零向量與它自己正交，因此，1.若，則2.若，則【定理4】如果子空間兩兩正交，那么和是直和。證明：設(shè)，且用與等式兩邊作內(nèi)積，得從而即是直和【定義12】子空間稱為子空間的一個正交補，如果，并且。的正交補記為，證：因為，是直和又，因此，恰好由中與正交的全部向量組成。證明：當(dāng)或時，顯然成立。設(shè)且，在中取一組正交基，可以把它擴充成的一組正交基,則設(shè),則依次用與上式做內(nèi)積，得又，所以另一方面，當(dāng)然中任一向量都與正交，因此，恰好由中與正交的全部向量組成。由此可知，若，則由可知，中任一向量都可以唯一的分解為其中，我們稱為向量在子空間上的內(nèi)映射?！径ɡ?】維歐式空間的每一個子空間都有唯一的正交補。證明：如果，那么它的正交補就是，唯一性是顯然的。設(shè)，在中取一組正交基，可以把它擴充成的一組正交基那么子空間就是的一個正交補。設(shè)，都是的正交補，于是令，由第二式，其中由于即，即同理可證因此2.6正交變換【定義13】歐式空間的線性變換稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對于任意的都有【定理6】設(shè)是維歐式空間的一個線性變換，于是下面四個命題是相互等價的：1.是正交變換2.保持向量的長度不變，即對于3.如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)準(zhǔn)正交基4.在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣證明：（1.與2.等價）如果是正交變換，那么兩邊開方，既得反過來，如果保持向量的長度不變，那么又即是正交變換（1.與3.等價）設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即如果是正交變換，那么這就是說是標(biāo)準(zhǔn)正交基反過來，如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么，由因此，是正交變換（3.與4.等價）設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為，即如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么可以看做由標(biāo)準(zhǔn)正交基到的過渡矩陣，因此，是正交矩陣。反過來，如果是正交矩陣，那么是標(biāo)準(zhǔn)正交基。因為正交矩陣是可逆的，并且其逆矩陣也是正交矩陣，兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣，因此1.正交變換是可逆變換，其逆變換仍是正交變換2.兩個正交變換的乘積也是正交變換如果是正交矩陣，那么由可知，或者因此，正交變換的行列式等于或者。行列式等于的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn)，或者稱為第一類的；行列式等于的正交變換稱為第二類的。例：在歐式空間中任取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，定義線性變換為那么就是一個第二類的正交變換，從幾何上看，這是一個鏡面反射。【定理7】如果是維歐式空間的一個正交變換，是的一個不變子空間，則也是的不變子空間。證明：設(shè)，要證，即任取，,因因此即，，也是的不變子空間。2.7對稱變換【定義14】設(shè)是歐式空間的一個線性變換，如果對中任意兩個向量，都有則稱為一個對稱變換?！径ɡ?】維歐式空間的線性變換是對稱變換的充要條件是在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣都是對稱矩陣。證明：（必要性）如果是維歐式空間的一個對稱變換，是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并設(shè)在基下的矩陣是于是因為是一個對稱變換，所以即是一個對稱矩陣（充分性）如果在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對稱的，那么對于中任意兩個向量其中分別是對于基的坐標(biāo)所對應(yīng)的列向量都有所以是一個對稱變換。實對稱矩陣的性質(zhì)復(fù)習(xí)：1.實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)2.實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的3.對于任意一個級實對稱矩陣都存在一個級正交矩陣T，使成對角形?！径ɡ?】如果是維歐式空間的一個對稱變換，那么可以找到的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在這組基下的矩陣是對角矩陣。證明：任取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則在這組基下的矩陣是一個實對稱矩陣，因此有正交矩陣T，使成對角形。令因T是正交矩陣，所以也是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且在下的矩陣就是對角矩陣【定理10】如果是維歐式空間的一個對稱變換，是的一個不變子空間，則也是的不變子空間。證明：設(shè)，要證，即任取，都有,因因此即，，也是的不變子空間。3線性空間簡介線性空間是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，線性空間的理論不僅是高等代數(shù)的核心，它用公理化的方法引入了一個代數(shù)系統(tǒng).同時線性空間與線性變換也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論時經(jīng)常用到的兩個極其重要的概念，而且廣泛滲透到各個領(lǐng)域中，如經(jīng)濟管理科學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)等.所以線性空間理論既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要支柱，也是應(yīng)用很廣泛的理論之一。線性空間又被稱作向量空間，線性空間的概念是維向量空間概念的抽象和提高，它把直觀、具體的平面與集合空間推廣到了抽象的線性空間.所以從一定意義上來講，線性空間是幾何學(xué)的推廣與升華，特別是在解析幾何學(xué)中.3.1線性空間的概念定義：設(shè)V是非空集合，F(xiàn)是某一個數(shù)域：V上定義了一個加法運算（也就是說，給出了一個對應(yīng)法則，按照這個法則，V中任意兩個元素與，在V中都有一個確定的元素與只對應(yīng)，稱為與的和，記法=+），同時也定義了一個用F上的數(shù)乘以V中元素，乘積保持為V中元素的數(shù)乘運算（也就是說，給出了這樣一個對應(yīng)法則，對于F上的任意一個數(shù)與V中任意一個元素，按照這個法則，V中總有一個確定的元素與之對應(yīng)，稱為乘的數(shù)乘積，有關(guān)這兩個運算還滿足以下八條運算律[7]：設(shè)(1)(2)(3)V中存在零元素，記它為0，對任何V中元素，都有+0=成立;(4)對V中的任何元素，V中一定還存在的負元素，記為-，使得+（-）=0;(5)1=;(6)(7)(8)這時便稱V是數(shù)域F上的一個線性空間.注：實數(shù)域R上的線性空間稱為是線性空間；復(fù)數(shù)域C上的線性空間稱為復(fù)線性空間.3.2線性變換的定義定義1線性空間的一個變換A稱為線性變換，如果對于中任意的元素和數(shù)域中任意數(shù)，都有A()=A()+A(),A()=A().也可以把這兩個式子統(tǒng)一，線性空間的一個線性變換A稱為線性變換，如果對于中的任意、β和數(shù)域中的任意數(shù)、有A+=A+A()注我們用花體拉丁字母A、B代表的變換，A或A代表元素在變換A下的像；例線性空間中的恒等變換或稱為單位變換E即E=()3.3線性變換的性質(zhì)和運算設(shè)A是的線性變換，則A=，A-=-A.證因為A-=A-1=-1A()=-A().線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.證令β=.線性變換A作用兩邊有A(β)=.設(shè)A、B是線性空間的兩個線性變換，它們的乘積其它運算B稱為A的逆變換，如果AB=BA=E，記為，是線性變換。線性變換指數(shù)的法則：當(dāng)線性變換可逆時有設(shè)稱為線性變換的A的多項式3.4線性變換的矩陣3.4.1線性變換對應(yīng)矩陣的性質(zhì)定義2設(shè)是數(shù)域上維線形空間的一組基，A是中的一個線性變換，基向量的像可以被基線性表出：用矩陣乘法表示就是A==其中=矩陣稱為A在基下的矩陣。引出以上定義的有定理1設(shè)線性空間中任意個向量，存在唯一的線性變換A使注定理說明線性變換后的像仍舊是中一個向量設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一組基，在這組基下，每個線性變換按公式5對應(yīng)一個矩陣，這個對應(yīng)具有以下性質(zhì)：線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣；注線性變換A對應(yīng)的秩為A的維數(shù)，而V的維數(shù)=A的秩+A的零度，故矩陣的秩應(yīng)不大于的維數(shù).3.4.2相似矩陣定理2設(shè)線性空間中線性變換A在兩組基下的矩陣分別為和，從基到的過度矩陣是，于是=.定義3設(shè),為數(shù)域上兩個級矩陣，如果可以找到數(shù)域上的級可逆矩陣，使得=，就說相似于，記作相.注也就是說定理3中矩陣，相似，并且可逆.相似矩陣具有以下性質(zhì)：1.反身性:相似；2.對稱性:如果相似，那么相似；3.傳遞性：如果相似，相似C，那么相似.3.4.3對角矩陣定義4設(shè)A是數(shù)域上空間的一個線性變換，如果對于數(shù)域中的一個，存在一個非零向量，使得A=.那么稱為A的一個特征值，而稱為A的屬于特征值的一個特征向量.定理3設(shè)A是維線性空間的一個線性變換，A的矩陣可以在某組基下為對角矩陣的充分必要條件是，A有個線性無關(guān)的特征向量．A在基下的矩陣形式：=定理4如果是線性變換A的不同的特征值，而是屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，，那么向量組也線性無關(guān).注對于一個線性變換，求出屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量，把它們合在一起還是線性無關(guān)的.如果它們的個數(shù)等于空間的維數(shù)，那么這個線性變換在一組合適的基下的矩陣是對角矩陣.定義5設(shè)是數(shù)域上一級矩陣，是一個文字，矩陣的行列式＝稱為A的特征多項式，這是數(shù)域上的一個級多項式．例1設(shè)線性變換在基下的矩陣是=，求由組成的特征向量，及特征向量對應(yīng)的對角矩陣.解因為特征多項式為==.所以特征值是-1（二重）與5.把-1代入齊次方程組得到它的的基礎(chǔ)解系是，因此，屬于-1的兩個線性無關(guān)的特征向量就是而屬于-1的全部特征向量就是，取遍數(shù)域中不全為零的數(shù)對.再把特征值5代入，得它的基礎(chǔ)解系是因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量就是，故線性變換A的特征值-1（二重）與5，對應(yīng)的特征向量是由此可見，A在基的過度矩陣是=對在下的對角矩陣==例2設(shè)三維線性空間上的線性變換在基下下的矩陣為求在基下的矩陣；求在基下的矩陣，其中且求在基下的矩陣.解因故，在基下的矩陣為因故在基下的矩陣為因故在基下的矩陣為4線性空間與歐式空間的對比廣義地講，歐式空間是定義了內(nèi)積的線性空間，所以歐式空間具備線性空間的所有性質(zhì)。但由于歐式空間中引入了內(nèi)積的概念，故它又不同于線性空間。4.1基礎(chǔ)域的對比討論線性空間討論的平臺是一般的數(shù)域P,即P可以是任意數(shù)域;而歐式空間討論的平臺是實數(shù)域，屬于線性空間的一種特例[8]。4.2運算的對比討論數(shù)域P上的線性空間V的運算有：向量的加法、數(shù)量與向量的乘法，即:(1)如果α，β∈V，有α+β∈V；(2)如果k∈P，α∈V，有kα∈V。而歐式空間的運算有:向量的加法、數(shù)量與向量的乘法、向量的內(nèi)積，即:(1)如果α，β∈V，有α+β∈V；(2)如果k∈P，α∈V，有kα∈V；(3)如果α，β∈V，有（α，β）∈V。4.3基的對比討論n維線