微分方程的經(jīng)典模型省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第6章微分方程模型第1頁(yè)在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會(huì)等學(xué)科許多系統(tǒng)中，有時(shí)極難找到該系統(tǒng)相關(guān)變量之間函數(shù)表示式，但卻輕易建立這些變量微小增量或改變率之間關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式就是微分方程模型。前面章節(jié)能夠看到在很多問(wèn)題數(shù)學(xué)建模中或多或少都包括到微分方程概念和理論，這不足為怪，因?yàn)槲⒎址匠瘫旧砭褪翘幚韼в邪ǜ淖兟驶蛟隽刻卣鲉?wèn)題。第2頁(yè)微分方程模型6.1微分方程模型的建模步驟6.2作戰(zhàn)模型6.3傳染病模型習(xí)題第3頁(yè)6.1微分方程模型建模步驟例1

某人食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。在健身訓(xùn)練中，他天天大約每千克體重消耗69焦熱量。假設(shè)以脂肪形式貯藏?zé)崃?00%地有效，而1千克脂肪含熱量41868焦，試研究此人體重隨時(shí)間改變規(guī)律。模型分析

問(wèn)題中并未出現(xiàn)“改變率”、“導(dǎo)數(shù)”這么關(guān)鍵詞，但要尋找是體重（記為W）關(guān)于時(shí)間t函數(shù)。假如我們把體重W看作是時(shí)間t連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有微分方程。？第4頁(yè)模型假設(shè)

1.表示時(shí)刻某人體重，并設(shè)一天開始時(shí)人體重為；2.關(guān)于連續(xù)而且充分光滑；3．體重改變等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后凈食量吸收；輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)消耗。模型建立

對(duì)于“天天”：體重改變=

W=輸入-輸出體重改變/天==輸入/天—輸出/天第5頁(yè)代值：

輸入/天=10467—5038=5429（焦/天）

輸出/天=69×=69（焦/天）輸入/天—輸出/天=5429-69W（焦/天）考慮單位匹配，利用單位轉(zhuǎn)換公式“1千克=41868焦”，有增量關(guān)系（焦/天）取極限并加入初始條件，得微分方程模型第6頁(yè)模型求解結(jié)果

模型討論

此人體重會(huì)到達(dá)平衡嗎?顯然由表示式，當(dāng)時(shí)，體重有穩(wěn)定值直接由模型方程往返答這個(gè)問(wèn)題。在平衡狀態(tài)下，是不發(fā)生改變，所以。這就非常直接地給出了第7頁(yè)根據(jù)規(guī)律列方程微元分析法。模擬近似法。建立微分方程模型方法第8頁(yè)6.2作戰(zhàn)模型

問(wèn)題提出影響一個(gè)軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力原因是多方面，而詳細(xì)到一次戰(zhàn)爭(zhēng)勝敗，部隊(duì)采取作戰(zhàn)方式一樣至關(guān)主要，此時(shí)作戰(zhàn)空間一樣成為討論一個(gè)作戰(zhàn)部隊(duì)整體戰(zhàn)斗力一個(gè)不可忽略原因。本節(jié)介紹幾個(gè)作戰(zhàn)模型，導(dǎo)出評(píng)定一個(gè)部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力一些方法，以預(yù)測(cè)一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)大致結(jié)局。模型分析甲乙兩支部隊(duì)相互交戰(zhàn)，在整個(gè)戰(zhàn)爭(zhēng)期間，雙方兵力在不停發(fā)生改變，而影響兵力改變很多原因轉(zhuǎn)化為數(shù)量非常困難。為此，我們作以下假定把問(wèn)題簡(jiǎn)化。？第9頁(yè)模型假設(shè)1.x(t),y(t)表示甲乙雙方在時(shí)刻

t

人數(shù)，x(0)=x0,y(0)=y0分別表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時(shí)初始人數(shù)，x0>0,y0>0；2.設(shè)x(t),y(t)是連續(xù)改變，而且充分光滑；3.每一方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方兵力，不妨以f(x,y),g(x,y)分別表示甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率；4.每一方非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑以及其它非作戰(zhàn)事故原因所造成一個(gè)部隊(duì)減員），它通?？杀辉O(shè)與本方兵力成正比，百分比系數(shù)分別對(duì)應(yīng)甲乙雙方；5.每一方支援率，它通常取決于一個(gè)已投入戰(zhàn)爭(zhēng)部隊(duì)以外原因，甲乙雙方支援率函數(shù)分別以u(píng)(t),v(t)表示。第10頁(yè)模型建立依據(jù)假設(shè)得到普通戰(zhàn)爭(zhēng)模型第11頁(yè)正規(guī)作戰(zhàn)模型

模型假設(shè)1.不考慮支援，并忽略非戰(zhàn)斗減員；2.甲乙雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)，每一方士兵活動(dòng)均公開，處于對(duì)方士兵監(jiān)視與殺傷范圍之內(nèi)，一旦一方某個(gè)士兵被殺傷，對(duì)方火力馬上轉(zhuǎn)移到其它士兵身上。第12頁(yè)正規(guī)作戰(zhàn)模型所以，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率僅與對(duì)方兵力相關(guān)，簡(jiǎn)單設(shè)為是正百分比關(guān)系，以b、a

分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵在單位時(shí)間殺傷力，稱為戰(zhàn)斗有效系數(shù)。以rx

、ry

分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵射擊率，它們通常主要取決于部隊(duì)武器裝備；以px、py分別表示甲乙雙方士兵一次射擊（平均）命中率，它們主要取決于士兵個(gè)人素質(zhì)，則有第13頁(yè)模型建立正規(guī)作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型普通形式由假設(shè)2，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率分別為于是得正規(guī)作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型第14頁(yè)模型求解借助微分方程圖解法求解。注意到相平面是指把時(shí)間t作為參數(shù)，以為坐標(biāo)平面，而軌線是指相平面中由方程組解所描述出曲線。借此能夠在相平面上經(jīng)過(guò)分析軌線改變討論戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局。其中

求解軌線方程。將模型方程一式除以二式，得到用分離變量法得該模型解第15頁(yè)圖6-1平方律雙曲線第16頁(yè)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局分析模型解確定圖形是一條雙曲線，箭頭表示伴隨時(shí)間增加，、改變趨勢(shì)。而評(píng)價(jià)雙方勝敗，總認(rèn)定兵力先降為“零”（全部投降或被殲滅）一方為敗。所以，假如，則乙兵力降低到時(shí)甲方兵力降為“零”，從而乙方獲勝。同理可知，時(shí)，甲方獲勝。而當(dāng)時(shí)，雙方戰(zhàn)平。甲方獲勝充要條件為代入a、b

表示式，深入可得甲方獲勝充要條件為第17頁(yè)故可找到一個(gè)用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力評(píng)價(jià)函數(shù)：式中Z表示參戰(zhàn)方初始人數(shù)，能夠取甲方或乙方。綜合戰(zhàn)斗力評(píng)價(jià)函數(shù)暗示參戰(zhàn)方綜合戰(zhàn)斗力與參戰(zhàn)方士兵射擊率（武器裝備性能）、士兵一次射擊（平均）命中率（士兵個(gè)人素質(zhì)）、士兵數(shù)平方均服從正百分比關(guān)系。第18頁(yè)模型應(yīng)用正規(guī)作戰(zhàn)模型在軍事上得到了廣泛應(yīng)用，主要是作戰(zhàn)雙方戰(zhàn)斗條件比較相當(dāng)，方式相同。J.H.Engel就曾經(jīng)用正規(guī)戰(zhàn)模型分析了著名硫磺島戰(zhàn)役，發(fā)覺(jué)和實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好。第19頁(yè)游擊作戰(zhàn)模型模型假設(shè)1.不考慮支援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2.甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵活動(dòng)均含有隱蔽性，對(duì)方射擊行為局限在某個(gè)范圍考慮能夠被認(rèn)為是盲目標(biāo)。所以，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率不光與對(duì)方兵力相關(guān)，一樣設(shè)為是正比關(guān)系；而且與自己一方士兵數(shù)相關(guān)，這主要是因?yàn)槠浠顒?dòng)空間限制所引發(fā)，士兵數(shù)越多，其分布密度會(huì)越大，顯然二者服從正百分比關(guān)系，這么對(duì)方投來(lái)一枚炮彈平均殺傷力（期望值）也會(huì)服從正百分比關(guān)系增加；3.若以、分別表示甲乙雙方有效活動(dòng)區(qū)域面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈有效殺傷范圍面積，以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵射擊率，、、、主要取決于部隊(duì)武器裝備性能和貯備；、也取決于士兵個(gè)人素質(zhì)。所以甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)，乙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)第20頁(yè)模型建立游擊作戰(zhàn)模型形式：,，由假設(shè)2、3，甲乙雙方戰(zhàn)斗減員率分別為結(jié)合以上兩表示式，并代入c、d值，可得游擊作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型第21頁(yè)模型求解類似正規(guī)作戰(zhàn)模型處理，從模型方程能夠得到進(jìn)而可得該模型解其中在相平面中畫出以下軌線圖（圖6-2）第22頁(yè)混合作戰(zhàn)模型模型假設(shè)1.不考慮支援，忽略非戰(zhàn)斗減員2.甲方以游擊作戰(zhàn)方式，乙方以正規(guī)作戰(zhàn)方式；3.以、分別表示甲乙雙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)，若以、分別表示甲乙雙方單個(gè)士兵射擊率，以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊（平均）命中率，以表示甲方有效活動(dòng)區(qū)域面積，以表示乙方一枚炮彈有效殺傷范圍面積，則，模型建立混合作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型：第23頁(yè)模型求解該模型解：

其中

在相平面中畫出以下軌線圖（圖6-3）第24頁(yè)模型應(yīng)用假定以正規(guī)作戰(zhàn)乙方火力較強(qiáng)，以游擊作戰(zhàn)甲方雖火力較弱，但活動(dòng)范圍較大，利用上式能夠預(yù)計(jì)乙方為了獲勝需投入多大初始兵力。不妨設(shè)，，，活動(dòng)區(qū)域平方千米，乙方每次射擊有效面積平方米，則可得乙方獲勝條件為：即，乙方必須10倍于甲方兵力。第25頁(yè)點(diǎn)評(píng)與討論應(yīng)用了微分方程建模思想這類模型反應(yīng)了我們描述對(duì)象隨時(shí)間改變。第26頁(yè)問(wèn)題提出上世紀(jì)初，瘟疫還經(jīng)常在世界一些地域流行，被傳染人數(shù)與哪些原因相關(guān)？怎樣預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)？為何同一地域一個(gè)傳染病每次流行時(shí)，被傳染人數(shù)大致不變？6.3傳染病模型？問(wèn)題分析

社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等原因都會(huì)影響傳染病傳輸，在建立模型時(shí)不可能考慮全部原因，只能抓住關(guān)鍵原因，采取合理假設(shè)，進(jìn)行簡(jiǎn)化。把傳染病流行范圍內(nèi)人群分成三類：S類，易感者（SusceptibleI)類；感病者（Infective）；R類，移出者（Removal）第27頁(yè)建立模型

SI模型1

模型假設(shè)1.每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染人數(shù)為常數(shù)；2.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。

記時(shí)刻t得病人數(shù)為，開始時(shí)有個(gè)傳染病人，則在時(shí)間內(nèi)增加病人數(shù)為得：其解為：第28頁(yè)模型分析與解釋這個(gè)結(jié)果與傳染病早期比較吻合，但它表明病人人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增加，顯然與實(shí)際不符第29頁(yè)SI模型2記時(shí)刻健康者人數(shù)為模型假設(shè)1.總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且；2.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染人數(shù)與當(dāng)初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為（傳染強(qiáng)度）；3.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。在此假設(shè)下可得微分方程解得：第30頁(yè)模型分析易得極大值點(diǎn)為：。當(dāng)傳染強(qiáng)度增加時(shí)，將變小，即傳染高峰來(lái)得快，這與實(shí)際情況吻合。但當(dāng)時(shí)，，這意味著最終人人都將被傳染，顯然與實(shí)際不符。帶宣傳效應(yīng)SI模型3模型假設(shè)1.單位時(shí)間內(nèi)正常人被傳染比率為常數(shù)；2.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。由導(dǎo)數(shù)含義和假設(shè)，易得微分方程：第31頁(yè)假設(shè)宣傳運(yùn)動(dòng)開展將使得傳染上疾病人數(shù)降低，降低速度與總?cè)藬?shù)成正比，這個(gè)百分比常數(shù)取決于宣傳強(qiáng)度。若從開始，開展一場(chǎng)連續(xù)宣傳運(yùn)動(dòng)，宣傳強(qiáng)度為，則有數(shù)學(xué)模型為解得：其中：為Heaviside函數(shù)。求得微分方程解為：第32頁(yè)

假如宣傳運(yùn)動(dòng)是短暫進(jìn)行，這在日常生活中是常見，比如僅僅是聽一個(gè)匯報(bào)，或街頭散發(fā)傳單等，即在等個(gè)時(shí)刻進(jìn)行次宣傳，宣傳強(qiáng)度分別為，則模型變?yōu)榻獾茫罕砻鬟B續(xù)宣傳是起作用，最終會(huì)使發(fā)病率降低。但此時(shí)有，這表明短暫宣傳是不起作用，最終還是全部人都染上了疾病。第33頁(yè)SIS模型有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很底，能夠假定無(wú)免疫性。于是痊愈病人依然能夠再次感染疾病，也就是說(shuō)痊愈感染者將再次進(jìn)入易感者人群。模型假設(shè)1.總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且2.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染人數(shù)與當(dāng)初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（傳染強(qiáng)度）；3.感病者以固定比率h痊愈，而重新成為易感者。第34頁(yè)該假設(shè)下模型為：其解為：或第35頁(yè)模型分析：時(shí)，；時(shí)，。這里出現(xiàn)了傳染病學(xué)中非常主要閾值概念，或者說(shuō)門檻（threshhold）現(xiàn)象，即是一個(gè)門檻SIR模型

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很強(qiáng)免疫力，所以病愈人既非易感者，也非感病者，所以他們將被移出傳染系統(tǒng)，我們稱之為移出者，記為R類。第36頁(yè)模型假設(shè)1.總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且；2.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染人數(shù)與當(dāng)初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為（傳染強(qiáng)度）；3.單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫人數(shù)與當(dāng)初病人人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為，稱為恢復(fù)系數(shù)。該假設(shè)下模型為：第37頁(yè)取初值：把前面兩個(gè)方程相除，并整理，有：解之得:第38頁(yè)模型分析：易得；而當(dāng)時(shí)，單調(diào)下降趨于零；時(shí)，先單調(diào)上升到最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里依然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：是一個(gè)門檻。從意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提升恢復(fù)率，即提升衛(wèi)生醫(yī)療水平。令

可得假定，可得：若記，則，這也就解釋了本文開頭為何同一地域一個(gè)傳染病每次流行時(shí)，被傳染人數(shù)大致不變問(wèn)題。第39頁(yè)6.4藥品試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

問(wèn)題提出藥品進(jìn)入機(jī)體后，在隨血液運(yùn)輸?shù)礁鱾€(gè)器官和組織過(guò)程中，不停地被吸收，分布，代謝，最終排除體外。藥品在血液中濃度，即單位體積血液（毫升）中藥品含量（微克或毫克），稱血藥濃度，隨時(shí)間和空間（機(jī)體各部位）而改變。血藥濃度大小直接影響到藥品療效，濃度太低不能到達(dá)預(yù)期效果，濃度太高又可能造成藥品中毒，副作用太強(qiáng)或造成浪費(fèi)。所以研究藥品在體內(nèi)吸收，分布和排除動(dòng)態(tài)過(guò)程，及這些過(guò)程與藥理反應(yīng)間定量關(guān)系（即數(shù)學(xué)模型），對(duì)于新藥研究，劑量確定，給藥方案設(shè)計(jì)等藥理學(xué)和臨床醫(yī)學(xué)發(fā)展都有主要指導(dǎo)意義和使用價(jià)值。？第40頁(yè)問(wèn)題分析房室是指機(jī)體一部分，藥品在一個(gè)房室內(nèi)呈均勻分布，即血藥濃度是常數(shù)，而在不一樣房室之間則按照一定規(guī)律進(jìn)行藥品轉(zhuǎn)移，一個(gè)機(jī)體分為幾個(gè)房室，要看不一樣藥品吸收，分布，排除過(guò)程詳細(xì)情況，以及研究對(duì)象所要求精度而定?，F(xiàn)在我們只討論二室模型，即將機(jī)體分為血藥較豐富中心室（包含心，肺，腎等器官）和血液較貧乏周圍室（四肢，肌肉組織等）。藥品動(dòng)態(tài)過(guò)程在每個(gè)房室內(nèi)室一致，轉(zhuǎn)移只在兩個(gè)房室之間以及某個(gè)房室與體外之間進(jìn)行。二室模型建立和求解方法能夠推廣到多室模型。第41頁(yè)模型建立在二室模中設(shè)1.,和分別表示第i室（i=1,2）血藥濃度，藥量和容積；2.表示第i室向第j室藥品轉(zhuǎn)移速率系數(shù)；3.是藥品從1室向體外排除速率系數(shù)；4.是給藥速率，由給藥方式和劑量確定模型假設(shè)1.機(jī)體分為中心室（1室）和周圍室（2室），兩個(gè)室容積（即血藥體積或藥品分布容積）在過(guò)程中保持不變。2.藥品從一室向另一室轉(zhuǎn)移速率，及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比。3.只有中心室與體外有藥品交換，即藥品從體外進(jìn)入中心室，最終又從中心室排除體外。與轉(zhuǎn)移和排除數(shù)量相比，藥品吸收能夠忽略。第42頁(yè)中心室c1(t),x1(t),V1周圍室c2(t),x2(t),V2k12k21給藥12排除12k13圖6-4慣用一個(gè)二室模型為方便問(wèn)題表述和研究，畫出二室模型示意圖以下：第43頁(yè)注意到改變率由1室向2室轉(zhuǎn)移，1室向體外排除，2室向1室轉(zhuǎn)移及給藥組成；改變率由1室向2室轉(zhuǎn)移及2室向1室轉(zhuǎn)移組成。利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)和含義，依據(jù)假設(shè)條件和上圖，能夠?qū)懗鰞蓚€(gè)房室中藥量滿足微分方程為第44頁(yè)

代入（1）式可得數(shù)學(xué)模型與血藥濃度,房室容積之間顯然相關(guān)系式至此，我們將問(wèn)題變?yōu)榱藬?shù)學(xué)問(wèn)題。上式中只要給定給藥方式函數(shù)詳細(xì)形式就能夠進(jìn)行微分方程組求解。給藥方式函數(shù)數(shù)學(xué)描述與對(duì)應(yīng)給藥方式有以下3種：第45頁(yè)1.快速靜脈注射這種注射為在t=0瞬時(shí)將劑量D0藥品輸入中心室，血藥濃度馬上上升為D0/V1，它能夠用數(shù)學(xué)表示為2.恒速靜脈滴注當(dāng)靜脈滴注速率為常數(shù)k0時(shí)，能夠用數(shù)學(xué)表述為3.口服或肌肉注射這種給藥方式相當(dāng)于在藥品輸入中心室之前先有一個(gè)將藥品吸收入血藥過(guò)程，能夠簡(jiǎn)化為有一個(gè)吸收室，以下列圖。第46頁(yè)

在這種情況下，有數(shù)學(xué)描述為為吸收室藥量，藥品由吸收室進(jìn)入中心室轉(zhuǎn)移速率系數(shù)為，于是滿足表示先瞬時(shí)吸入全部藥量，然后藥量在體內(nèi)按百分比降低（指數(shù)衰減），是給藥量。而藥品進(jìn)入中心室速率為，求解有第47頁(yè)習(xí)題