有限元復(fù)習(xí)題

1.彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題有什么幾何特征、載荷特征和應(yīng)力特征？答：〔1〕幾何特征：等厚度的薄板；〔2〕載荷特征：體力作用于體內(nèi)，面力和約束作用于板邊，三者均平行于板中面，沿板厚不變；〔3〕應(yīng)力特征：由于外力、約束沿z向不變，應(yīng)力中只有平面應(yīng)力存在且僅為〔x，y〕函數(shù)。2.簡要表達(dá)平面應(yīng)力問題有限元位移法分析步驟，并給出主要公式。答：3.單元剛度矩陣中任意一個元素Krs的物理意義是什么？答：為第s個位移分量為單位1，其余位移為零時需要在施加的第r個節(jié)點(diǎn)力，也即第s結(jié)點(diǎn)的位移對第r結(jié)點(diǎn)力的奉獻(xiàn)。4.有限元解彈性力學(xué)問題要保證解答收斂性，單元位移多項(xiàng)式滿足什么條件？答：包含剛體平移和轉(zhuǎn)動；包含常應(yīng)變；可證滿足相鄰單元公共邊界上的連續(xù)性條件。5.試說明三角形單元、四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的解答是收斂的。答：三角形單元、四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的位移函數(shù)中包含了常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，所以包含了剛體位移和常應(yīng)變；當(dāng)考慮相鄰單元公共邊界時，兩種單元類型的相鄰單元公共邊界共用兩個節(jié)點(diǎn)，而此時的位移函數(shù)一個自變量為常數(shù)，位移函數(shù)經(jīng)退化為兩個未知系數(shù)，即f=Bx+C或f=By+C的形式，剛好可以由公共的兩個節(jié)點(diǎn)位移條件位移確定。故解答是收斂的。6.單元剛度方程反映的物理意義是什么？推導(dǎo)方法有哪些？答：反映了單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系(結(jié)點(diǎn)平衡法，虛位移原理，最小勢能原理)7.有限元位移法分析彈性力學(xué)平面問題時如果采用四邊形八結(jié)點(diǎn)曲邊單元，選取的位移函數(shù)多項(xiàng)式包括那些項(xiàng)(用直角坐標(biāo)x,y表示)？答：主要包含常數(shù)項(xiàng)C，線性項(xiàng)x,y，二次項(xiàng)x2,xy,y2，三次項(xiàng)x2y,xy2。8.簡要表達(dá)平面剛架有限元分析步驟，給出主要公式。答：9.根據(jù)平面剛架單元剛度矩陣元素的物理意義推導(dǎo)具體表示式。答：Krs為第s個位移分量為單位1，其余位移為零時需要在施加的第r個節(jié)點(diǎn)力，單元位移分量和單元節(jié)點(diǎn)力分量為以＝1，其余位移分量為零時，即考慮第二個位移分量對單元六個節(jié)點(diǎn)力分量的奉獻(xiàn)，k12=k42=0，根據(jù)材料力學(xué)的懸臂梁撓度公式，，同理得到10.六面體八結(jié)點(diǎn)空間單元位移函數(shù)多項(xiàng)式包含那些項(xiàng)？滿足收斂條件嗎？答：包含1，x，y，z，xy，xz，yz，xyz八項(xiàng)，滿足收斂條件：包含了常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)所以包含了剛體位移和常應(yīng)變，而考慮相鄰單元公共面時，位移函數(shù)將退化為四個未知系數(shù)，即f=By+Cz+Dyz+E，剛好可以由公共面的四個節(jié)點(diǎn)位移條件位移確定。故解答是收斂的。11.一維桿單元如圖，設(shè)位移模式為，試推導(dǎo)出單元剛度矩陣。設(shè)單元長度為，橫截面積為，材料彈性模量為。圖1解：12.試采用平面桁架的有限元法，計算圖示桁架點(diǎn)的位移和各桿的軸力。。圖2解：(1)單元劃分及節(jié)點(diǎn)編號如下圖，局部坐標(biāo)由小節(jié)點(diǎn)號指向大節(jié)點(diǎn)號；(2)局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣計算如下：(3)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]：(4)整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣計算如下：所以整體坐標(biāo)系中各單元剛度矩陣為：(5)根據(jù)單元的局部碼和整體碼的對應(yīng)關(guān)系形成整體剛度矩陣：對應(yīng)關(guān)系(1)(2)(3)i123j444(6)引入邊界條件并得到修正剛度矩陣：(7)利用修正剛度方程求解節(jié)點(diǎn)位移：(8)求解軸力：13.圖示平面剛架，設(shè)整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣為圖3〔1〕采用子塊疊加的方法在形式上給出結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。解：表1單元的局部碼和整體碼的對應(yīng)關(guān)系單元號方向①②③④⑤1234524466表2子塊元素列表子元素單元號①②③④⑤整體剛度矩陣為：〔2〕試說明為了引入邊界支承，如何修改整體剛度矩陣和載荷向量？解：①將[K]中第3s-2行和3s-2列的對角線元素改為1，其元素改為0；將載荷列矢量{P}中的第s個元素改為0.②按上述方法對[K]的3s-1行和列進(jìn)行修改，對{P}的第3s-1行修改③按上述方法對[K]的3s行和列進(jìn)行修改，對{P}的第3s進(jìn)行修改〔3〕圖中整體結(jié)點(diǎn)編號是否為最正確編法？解：答復(fù)是否認(rèn)的?？梢园匆韵略敲礊榻Y(jié)點(diǎn)編號：因邊角結(jié)點(diǎn)所在的單元數(shù)少，可以通過比擬結(jié)點(diǎn)所屬的單元數(shù)組的大小，使結(jié)點(diǎn)所屬的單元數(shù)組最小的結(jié)點(diǎn)編號為0，依次進(jìn)行編號。14.圖4示為梁單元，設(shè)撓度為三次函數(shù)端點(diǎn)條件為,,(1)試確定系數(shù)，并將撓度轉(zhuǎn)化為無量綱坐標(biāo)的形式。解：將端點(diǎn)條件代入到撓度方程中，得即：解得系數(shù)為：將系數(shù)代入撓曲線方程并令：(2)采用虛位移原理推導(dǎo)單元剛度矩陣。圖2解：不考慮軸向變形的梁單元，根據(jù)插值函數(shù)，有根據(jù)虛位移原理，有求得15.用平面剛架的有限元位移法求解以下剛架的結(jié)點(diǎn)位移和內(nèi)力，并畫出內(nèi)力圖。(2)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：(3)整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣：整體位置kiikijkjikjj(1)k11k14k41k44(2)k22k24k42k44對應(yīng)關(guān)系(1)(2)i12j44(4)整體剛度矩陣的集成所以整體剛度矩陣為(5)形成荷載向量〔節(jié)點(diǎn)荷載和等效結(jié)節(jié)點(diǎn)荷載〕(7)(7)單元的桿端力：軸力圖(kN)剪力圖(kN)彎矩圖〔kN)16.圖5所示為一等腰直角三角形單元，設(shè)彈性模量為，波松比，試求：〔1〕、形函數(shù)矩陣[N]〔2〕、幾何矩陣[B]解：三角形單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)荷載及內(nèi)部位移函數(shù)為根據(jù)三角形單元內(nèi)部位移函數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移條件，求解以下線性方程組17.圖6所示為一平面區(qū)域的三角形網(wǎng)格劃分，試進(jìn)行單元和節(jié)點(diǎn)編號，使整體剛度矩陣的帶寬最小，計算出半帶寬〔半帶寬=〔最大結(jié)點(diǎn)碼的差值-1〕2〕，并標(biāo)出整體剛度矩陣中的零元素。解：節(jié)點(diǎn)編碼如下圖，半帶寬=(10-6+1)2=10，非零元素為111111111111111111111111111111111111111111111118.四邊形四節(jié)點(diǎn)等參單元的坐標(biāo)變換為，其中為表示結(jié)構(gòu)實(shí)際尺寸和幾何形狀的直角坐標(biāo)系；為無量綱曲線坐標(biāo)，且有，。是的函數(shù)。試給出用曲線坐標(biāo)表示的單元的實(shí)際面積微元。解：所以用曲線坐標(biāo)表示的單元的實(shí)際面積微元應(yīng)該放在兩個坐標(biāo)系中求解。19．圖7示平板，厚度為0.1m,幾何尺寸、邊界約束、載荷如下圖，忽略體力作用。試求出結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷向量，并給出位移邊界條件。圖720．彈性力學(xué)平面問題的區(qū)域?yàn)橹苯侨切巍踩鐖D8所示〕，鉛垂邊上作用線性分布的水平力，其中為邊長。假設(shè)將區(qū)域或分為圖示的4個單元，試計算出等效結(jié)點(diǎn)載荷分量；給出結(jié)點(diǎn)位移的邊界條件。21．圖9所示為一高深懸臂梁，右端均布面內(nèi)作用，材料彈性模量為，泊松比，梁的厚度為。假設(shè)將梁劃分為圖示兩個單元。根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的有限元位移法求解節(jié)點(diǎn)的位移。在求解過程中要求給出以下結(jié)果：〔1〕、單元剛度矩陣，；〔2〕、整體剛度矩陣；〔3〕、等效節(jié)點(diǎn)載荷；〔4〕、位移邊界條件；〔5〕、最終求解方程；〔6〕、節(jié)點(diǎn)位移12i14j32m41kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmmE1k11k13k14k31k33k34k41k43k44E2k44k42k41k24k22k21k14k12k11(2)根據(jù)以上表格集成整體剛度矩陣(3)等效節(jié)點(diǎn)荷載計算(4)位移邊界條件u3=v3=u4=v4=0(5)修正剛度矩陣：將K中的5—8行和列置零22.平面剛架如圖9所示。根據(jù)如中所給信息，準(zhǔn)備計算時的輸入數(shù)據(jù)。分別給出以下矩陣：(1)整體結(jié)點(diǎn)與局部結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)