第三章-從線性到非線性

真正的定律不可能是線性的，而且也不可能是從這些線性方程中得到。----愛因斯坦線性律和非線律之間的一個明顯區(qū)別就是疊加性質(zhì)有效還是無效：在一個線性系統(tǒng)里，兩個不同因素的組合作用只是每個因素單獨(dú)作用的簡單疊加。但在非線性系統(tǒng)中，一個微小的因素能導(dǎo)致用它的幅值無法衡量的戲劇性結(jié)果……可能導(dǎo)致突變。---普利高津在大自然中的許多事情確實(shí)不是線性的，這包括使這個世界感興趣的大多數(shù)事情。我的大腦肯定不是線性系統(tǒng)……經(jīng)濟(jì)也并非是線性系統(tǒng)。除了非常簡單的物理系統(tǒng)外，世界上幾乎所有的事情，所有的人，都被裹罩在一張充滿刺激、限制和相互關(guān)系的巨大的非線性大網(wǎng)之中。----沃爾德羅線性理論線性，指量與量之間成比例關(guān)系，用直角坐標(biāo)形象地畫出來是一條直線。在空間與時間上代表規(guī)則與光滑的運(yùn)動。在線性系統(tǒng)中，整體的行為或性質(zhì)等于部分之和。描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是解，復(fù)雜性不因疊加產(chǎn)生。線性系統(tǒng)的各個組成部分互不相干、各自獨(dú)立起作用。線性理論線性理論的研究對象為線性系統(tǒng)，主要研究系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和改變這種運(yùn)動規(guī)律的可能性方法，建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能之間的確定的和定量的關(guān)系。對于線性系統(tǒng)，常用的數(shù)學(xué)模型有時間域模型，一般為多元一階聯(lián)立方程。線性理論嚴(yán)格的說，真正的線性系統(tǒng)是不存在的，一切實(shí)際的系統(tǒng)都是非線性的。對于我們所研究的問題，當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)與理想化的線性系統(tǒng)之間的差別已經(jīng)小到無關(guān)緊要而可以忽略不計的程度時，我們可以用線性理論的分析方法來決定非線性系統(tǒng)在局部范圍內(nèi)的某些性質(zhì)，但應(yīng)該注意，用線性理論分析這種線性化的系統(tǒng)所得到的結(jié)論，一般不能用來推論原來非線性系統(tǒng)的性質(zhì)或現(xiàn)象。例如很多的物理現(xiàn)象的研究，都是把物體受到的摩擦等忽略掉。非線性理論非線性，指量與量之間不按比例、不成直線的關(guān)系，代表不規(guī)則的運(yùn)動和突變。研究非線性系統(tǒng)的動態(tài)行為，一般難以通過解析方法求解，而幾何方法主要用于定性分析，常用的方法是用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算求近似解。非線性理論：耗散結(jié)構(gòu)論、突變論和協(xié)同學(xué)耗散結(jié)構(gòu)論耗散結(jié)構(gòu)論是比利時著名科學(xué)家普利高津于1969年創(chuàng)立的，來源于物理、化學(xué)研究。耗散結(jié)構(gòu)論：有序結(jié)構(gòu)的形成和維持需要耗散能量與物質(zhì)，耗散結(jié)構(gòu)論就是研究耗散結(jié)構(gòu)的形成、穩(wěn)定、演化及其性質(zhì)。耗散結(jié)構(gòu)是相對平衡結(jié)構(gòu)而言的。平衡結(jié)構(gòu)，是一種“死”結(jié)構(gòu)，它不需要進(jìn)行任何能量或物質(zhì)的交換就能維持。耗散結(jié)構(gòu)是一種“活”結(jié)構(gòu)，它依靠能量的耗散才能維持其有序狀態(tài)。耗散結(jié)構(gòu)論按照好散結(jié)構(gòu)理論，一個宏觀有序狀態(tài)的自發(fā)產(chǎn)生和維持，至少需要三個條件：

1、系統(tǒng)必須是開放的，開放系統(tǒng)是產(chǎn)生有序結(jié)構(gòu)的前提平衡態(tài)是指系統(tǒng)各處可測的宏觀物理性質(zhì)均勻(從而系統(tǒng)內(nèi)部沒有宏觀不可逆過程)的狀態(tài)，它遵守?zé)崃W(xué)第一定律：dE=dQ-pdV，即系統(tǒng)內(nèi)能的增量等于系統(tǒng)所吸收的熱量減去系統(tǒng)對外所做的功；熱力學(xué)第二定律：dS/dt>=0，即系統(tǒng)的自發(fā)運(yùn)動總是向著熵增加的方向。

熱力學(xué)第二定律告訴我們，一個孤立系統(tǒng)的熵一定會隨時間增大，熵達(dá)到極大值，系統(tǒng)達(dá)到最無序的平衡態(tài)，所以孤立系統(tǒng)絕不會出現(xiàn)耗散結(jié)構(gòu)。那么開放系統(tǒng)為什么會出現(xiàn)本質(zhì)上不同于孤立系統(tǒng)的行為呢？其實(shí)，在開放的條件下，系統(tǒng)的熵增量dS是由系統(tǒng)與外界的熵交換deS和系統(tǒng)內(nèi)的熵產(chǎn)生diS兩部分組成的，即：dS=deS+diS。熱力學(xué)第二定律只要求系統(tǒng)內(nèi)的熵產(chǎn)生非負(fù)，即diS>=0，然而外界給系統(tǒng)注入的熵deS可為正、零或負(fù)，這要根據(jù)系統(tǒng)與其外界的相互作用而定，在deS<0的情況下，只要這個負(fù)熵流足夠強(qiáng)，它就除了抵消掉系統(tǒng)內(nèi)部的熵產(chǎn)生diS外，還能使系統(tǒng)的總熵增量dS為負(fù)，總熵S減小，從而使系統(tǒng)進(jìn)入相對有序的狀態(tài)。所以對于開放系統(tǒng)來說，系統(tǒng)可以通過自發(fā)的對稱破缺從無序進(jìn)入有序的耗散結(jié)構(gòu)狀態(tài)。2、系統(tǒng)必須處于遠(yuǎn)離平衡的條件下，非平衡是有序之源遠(yuǎn)離平衡態(tài)是指系統(tǒng)內(nèi)可測的物理性質(zhì)極不均勻的狀態(tài)，遠(yuǎn)離平衡態(tài)是相對于平衡態(tài)和近平衡態(tài)而言的。近平衡態(tài)是指系統(tǒng)處于離平衡態(tài)不遠(yuǎn)的線性區(qū)，它遵守昂薩格(Onsager)倒易關(guān)系和最小熵產(chǎn)生原理。前者可表述為：Lij=Lji，即只要和不可逆過程i相應(yīng)的流Ji受到不可逆過程j的力Xj的影響，那么，流Ji也會通過相等的系數(shù)Lij受到力Xi的影響。后者意味著，當(dāng)給定的邊界條件阻止系統(tǒng)達(dá)到熱力學(xué)平衡態(tài)(即零熵產(chǎn)生)時，系統(tǒng)就落入最小耗散(即最小熵產(chǎn)生)的態(tài)。

3、系統(tǒng)內(nèi)部必須存在適當(dāng)?shù)姆蔷€性反饋，通過漲落達(dá)到有序系統(tǒng)產(chǎn)生耗散結(jié)構(gòu)的內(nèi)部動力學(xué)機(jī)制，正是子系統(tǒng)間的非線性相互作用，在臨界點(diǎn)處，非線性機(jī)制放大微漲落為巨漲落，使熱力學(xué)分支失穩(wěn)，在控制參數(shù)越過臨界點(diǎn)時，非線性機(jī)制對漲落產(chǎn)生抑制作用，使系統(tǒng)穩(wěn)定到新的耗散結(jié)構(gòu)分支上。一個由大量子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，其可測的宏觀量是眾多子系統(tǒng)的統(tǒng)計平均效應(yīng)的反映。但系統(tǒng)在每一時刻的實(shí)際測度并不都精確地處于這些平均值上，而是或多或少有些偏差，這些偏差就叫漲落，漲落是偶然的、雜亂無章的、隨機(jī)的。一座城市不斷有人外出和進(jìn)入，生產(chǎn)的產(chǎn)品和原料也要川流不息地運(yùn)入及運(yùn)出。這種與外界環(huán)境自由地進(jìn)行物質(zhì)、能量和信息交換的系統(tǒng)，稱為開放系統(tǒng)。當(dāng)開放系統(tǒng)內(nèi)部某個參量的變化達(dá)到一定閾值時，它就可能從原來無序的混亂狀態(tài)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N在時間上、空間上和功能上的有序狀態(tài)，即耗散結(jié)構(gòu)。如一壺水放在火爐上，水溫逐漸升高，但水開后水蒸氣不斷蒸發(fā)，壺中的水和空氣就形成了一個開放系統(tǒng)，帶走了火爐提供的熱量，水溫不再升高，達(dá)到了一種新的穩(wěn)定狀態(tài)。突變論突變論是1972年法國數(shù)學(xué)家雷內(nèi)托姆提出。突變論的研究內(nèi)容簡單地說，就是研究非線性系統(tǒng)從一種穩(wěn)定組態(tài)以突變的形式轉(zhuǎn)化到另一種穩(wěn)定組態(tài)的現(xiàn)象和規(guī)律。突變論突變論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是奇點(diǎn)理論和分岔理論。在數(shù)學(xué)上，把一些不穩(wěn)定的狀態(tài)叫分岔點(diǎn)，或分叉點(diǎn)。在這些關(guān)鍵點(diǎn)上，極小極小的擾動會引起系統(tǒng)發(fā)展過程中的質(zhì)變。系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)的喪失，就是突變的開始。雷內(nèi)托姆指出：系統(tǒng)從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，歲參數(shù)的再變化，又使不穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種穩(wěn)定狀態(tài)，那么，系統(tǒng)狀態(tài)就在這一剎那發(fā)生了突變。突變論突變論解決了哲學(xué)上的一個難題：質(zhì)變究竟是通過了飛躍還是通過漸變來實(shí)現(xiàn)的？突變論認(rèn)為，在嚴(yán)格控制條件的情況下，如果質(zhì)變經(jīng)歷的中間過渡態(tài)是穩(wěn)定的，那么它就是一個漸變過程。質(zhì)態(tài)的轉(zhuǎn)化，既可以通過飛躍來實(shí)現(xiàn)，也可以通過漸變來實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵在于控制條件。突變論告訴我們，不是所有自然、社會、思維狀態(tài)都可以被人們隨意控制的，而是只有那些控制因素尚未達(dá)到臨界值之前的狀態(tài)是可控的。如果控制因素一旦達(dá)到某一臨界值，則控制為隨機(jī)的，甚至?xí)兂蔁o法控制的突變過程。協(xié)同論德國著名物理學(xué)家哈肯于1973年創(chuàng)立了協(xié)同學(xué)，亦稱協(xié)同論。協(xié)同論：是指系統(tǒng)對各子系統(tǒng)（要素）進(jìn)行協(xié)調(diào)的內(nèi)在機(jī)制與動力。通過這一協(xié)調(diào)作用，系統(tǒng)從無序走向有序。協(xié)同論認(rèn)為，千差萬別的系統(tǒng)，盡管其屬性不同，但在整個環(huán)境中，各個系統(tǒng)間存在著相互影響而又相互合作的關(guān)系。其中也包括通常的社會現(xiàn)象，如不同單位間的相互配合與協(xié)作，部門間關(guān)系的協(xié)調(diào)，企業(yè)間相互競爭的作用，以及系統(tǒng)中的相互干擾和制約等。協(xié)同論指出，大量子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，在一定條件下，由于子系統(tǒng)相互作用和協(xié)作，這種系統(tǒng)會研究內(nèi)容，可以概括地認(rèn)為是研究從自然界到人類社會各種系統(tǒng)的發(fā)展演變，探討其轉(zhuǎn)變所遵守的共同規(guī)律。應(yīng)用協(xié)同論方法，可以把已經(jīng)取得的研究成果，類比拓寬于其它學(xué)科，為探索未知領(lǐng)域提供有效的手段，還可以用于找出影響系統(tǒng)變化的控制因素，進(jìn)而發(fā)揮系統(tǒng)內(nèi)子系統(tǒng)間的協(xié)同作用。

協(xié)同論的主要貢獻(xiàn)揭示了事物從無序走向有序的內(nèi)在機(jī)制與動力哈肯的理論闡明，所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點(diǎn)或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點(diǎn)或環(huán)上才能罷休。這就是系統(tǒng)的自組織作用。問：如果一群工人由另一個工人即所謂的工頭發(fā)號施令，那么我們就得到一種用于生產(chǎn)某種產(chǎn)品的組織行為，這種行為是自組織行為嗎？協(xié)同論的主要貢獻(xiàn)揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與目的性的內(nèi)在統(tǒng)一自組織理論的觀點(diǎn)是，一個有序穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，就在于它具有較強(qiáng)的自組織功能，即具有較強(qiáng)的自我調(diào)節(jié)能力，使系統(tǒng)在不斷地反饋控制調(diào)節(jié)中，保持著物質(zhì)流、能量流和信息流的良性循環(huán)，生命之所以能不斷地保持，也就在于它是一個能不斷進(jìn)行自我控制，自我協(xié)調(diào)的系統(tǒng)。事物系統(tǒng)之所以能保持有序穩(wěn)定，就在于它能對其各子系統(tǒng)、各層次、各要素進(jìn)行調(diào)節(jié)，對環(huán)境能夠適應(yīng)。協(xié)同論的主要貢獻(xiàn)提出了用序參量來表征系統(tǒng)宏觀的有序度在協(xié)同論中，哈肯使用了序參量來代表一個系統(tǒng)的有序度，用序參量的變化來描述系統(tǒng)內(nèi)有序和無序矛盾的轉(zhuǎn)化。比如，在激光系統(tǒng)中，光場強(qiáng)度就是序參量。在化學(xué)反應(yīng)中，取濃度或粒子數(shù)為參序量。在社會學(xué)和管理學(xué)中，為了描述宏觀量，采用“測驗(yàn)”、調(diào)研或投票表決等方式來反映對某項(xiàng)“意見”的反對或贊同。此時，反對或贊成的人數(shù)就可作為序參量。

當(dāng)系統(tǒng)處于混亂狀態(tài)時，子系統(tǒng)之間聯(lián)系很弱，而各子系統(tǒng)的相對獨(dú)立性占主導(dǎo)地位，其序參量為零；當(dāng)外界條件變化，系統(tǒng)開始出現(xiàn)有序時，序參量為非零值，并隨著外界條件的改善和系統(tǒng)有序程度的提高而逐漸增大，當(dāng)接近臨界點(diǎn)時，子系統(tǒng)之間的相干作用產(chǎn)生的協(xié)同行為占主導(dǎo)地位，序參量急劇增大，最終在臨界域變到最大，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定而發(fā)生突變?；煦鐒恿W(xué)蝴蝶效應(yīng)混沌理論的核心是混亂與無序。它粉碎了一個夢，一個科學(xué)家追求了數(shù)千年的夢，即你不可能完全精準(zhǔn)的預(yù)測未來。這與量子理論有些類似。任何初始值的微小變化都將導(dǎo)致結(jié)果的不同，甚至是天壤之別。這一現(xiàn)象有個好聽的比喻：蝴蝶效應(yīng)（當(dāng)然，她還有個專業(yè)名詞：洛倫茲奇怪吸引子），南美洲叢林的一只蝴蝶扇扇翅膀，將引起幾個月后美國的一場颶風(fēng)！這可不是聳人聽聞，它來自于60年代美國的氣象科學(xué)家洛倫茲。對天氣的預(yù)報有一套數(shù)學(xué)模型，有位預(yù)報員驚奇的發(fā)現(xiàn)初始值保留3位小數(shù)和6位小數(shù)所得出的答案大相徑庭。初始值的小小差距經(jīng)過層層放大，竟使結(jié)果迥異。對這點(diǎn)的認(rèn)識，東西方不謀而合?！笆е晾?，差之千里”是我們常聽到的。而西諺有云：“少了一個螺釘，壞了一個馬蹄；壞了一個馬蹄，損了一位騎士；損了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)役；輸了一場戰(zhàn)役，亡了一個帝國?！庇秩纾瑲v史學(xué)家們常常津津樂道這樣的說法：如果埃及王后克婁派屈拉的鼻子上長了一個瘤，恐怕整個西方歷史都要重寫。一個瘤的產(chǎn)生是由于一個生長異常的細(xì)胞，而它也許只是某個基因突變的產(chǎn)物。想象一下混沌理論的威力吧！混沌理論還向另一個經(jīng)典理論：達(dá)爾文生物進(jìn)化論提出了挑戰(zhàn)。眾所周知，達(dá)爾文進(jìn)化論是生物學(xué)的“中心法則”：過度繁殖，生存斗爭，遺傳變異，適者生存。其中，生存斗爭被看作進(jìn)化的源泉。達(dá)爾文自己也將生存斗爭的適用范圍擴(kuò)大到了人類社會，這給了狂熱的生物學(xué)家，殘暴的政治家絕好的“理論基礎(chǔ)”。社會達(dá)爾文主義應(yīng)運(yùn)而生。它宣揚(yáng)人類社會的競爭，把競爭看作人類社會進(jìn)化的根源。資產(chǎn)階級政客洋洋得意的鼓吹資本主義競爭，壓迫，剝削是“社會學(xué)和生物學(xué)的本能”，想借此證明資本主義的合理性。20世紀(jì)人類最慘重的災(zāi)難，納粹屠殺，其理論也是建立在社會達(dá)爾文主義基礎(chǔ)上的。希特勒宣稱：根據(jù)馬爾薩斯人口論，地球資源的線性開發(fā)無法滿足人口的指數(shù)增長，因此，只有“最優(yōu)秀的種族”才配活在地球上，傳遞人類的遺傳物質(zhì)，“劣等種族”必須為“優(yōu)秀種族”讓出生存空間?；谶@一理論，數(shù)千萬猶太人，斯拉夫人被納粹殘忍殺害在集中營里。同樣，二戰(zhàn)時的日本也認(rèn)為大和民族是優(yōu)秀民族，對亞洲人民犯下了滔天罪行。

蝴蝶效應(yīng)（TheButterflyEffect）是指在一個動力系統(tǒng)中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期的巨大的連鎖反應(yīng)。這是一種混沌現(xiàn)象。此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結(jié)果的極大差異。舉例1998年亞洲發(fā)生的金融危機(jī)和美國曾經(jīng)發(fā)生的股市風(fēng)暴實(shí)際上就是經(jīng)濟(jì)運(yùn)作中的“蝴蝶效應(yīng)”；蝴蝶效應(yīng)的啟示“蝴蝶效應(yīng)”在社會學(xué)界被用來說明這樣一個道理：一個壞的微小的機(jī)制，如果不加以及時的引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”，一個好的微小的機(jī)制，只要正確引導(dǎo)，經(jīng)過一段時間的努力，將會產(chǎn)生轟動效應(yīng)，或稱為“革命”。蝴蝶效應(yīng)的啟示“蝴蝶效應(yīng)”的初始就是混沌的，在不準(zhǔn)確或者說是不精確中產(chǎn)生的，