中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件相似三角形

相似三角形

知識點(diǎn)1比例線段及其性質(zhì)1.比例線段及其性質(zhì)概念在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段性質(zhì)1＝?ad①

＝

?bc（abcd≠0）性質(zhì)2＝?＝（bd≠0）性質(zhì)3＝＝…＝（bd·…·n≠0，b＋d＋…＋n≠0）?＝（等比性質(zhì)）＝2.黃金分割定義如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，且＝，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，即＝≈0.618，≈0.382圖示?

?3.平行線分線段成比例基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段②

成比例

?.如圖1，l3∥l4∥l5，且被直線l1，l2所截，那么＝，＝，＝推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.如圖2，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，則＝；如圖3，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，則＝圖示?

?

?

?

?

?圖1

圖2

圖3成比例【提分小練】1.下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

C

）A.4cm，5cm，6cm，7cmB.3cm，4cm，5cm，8cmC.5cm，15cm，3cm，9cmD.8cm，4cm，1cm，3cmC

5.如圖，a∥b∥c，直線m分別交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n分別交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若AB＝2，CB＝4，DE＝3，則EF的長為

6

?.第5題圖

66.如圖，已知l1∥l2∥l3，兩條直線分別與l1，l2，l3交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).若AB＝6，BC＝10，DF＝24，則DE的長為

9

?.第6題圖9

10知識點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定概念三個角對應(yīng)相等，三條邊③

對應(yīng)成比例

?的三角形.相似三角形任意對應(yīng)邊的比叫做相似比性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角④

相等

?，對應(yīng)邊⑤

成比例

?；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）的比等于⑥

相似比

?；（3）相似三角形的周長比等于相似比；（4）相似三角形的面積比等于⑦

相似比的平方

?對應(yīng)成比例相等成比例相似比相似比的平方判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）兩組角分別對應(yīng)⑧

相等

?的兩個三角形相似；（3）兩邊對應(yīng)成比例且⑨

夾角

?相等的兩個三角形相似；（4）三邊對應(yīng)⑩

成比例

?的兩個三角形相似相等夾角成比例

【提分小練】8.已知△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的相似比為4∶1，則對應(yīng)邊上的高的比為

4∶1

?；周長的比為

4∶1

?；面積的比為

16∶1

?.9.如圖，P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連接BP.

（2）在（1）的條件下，若AC＝8，AP＝2，則AB的長為

4

?.4∶14∶116∶1

4知識點(diǎn)3相似多邊形概念兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊對應(yīng)成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方10.如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'.

83°

12

【提分小練】知識點(diǎn)4圖形的位似概念如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，我們就說這兩個圖形關(guān)于這點(diǎn)位似性質(zhì)（1）位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于位似比；（2）位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線或延長線相交于同一個點(diǎn)；（3）位似圖形對應(yīng)邊平行（或在一條直線上）；（4）位似圖形對應(yīng)角相等；（5）在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或－k【提分小練】

（3，1）命題點(diǎn)1

比例的基本性質(zhì)

A.B.C.D.D考點(diǎn)訓(xùn)練命題點(diǎn)2

相似三角形的判定與性質(zhì)2.已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積為（

C

）A.32B.8C.4D.163.如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，則△ADC與△ACB的周長比是（

B

）A.1∶B.1∶2C.1∶3D.1∶4CB4.如圖，在?ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE∶EC＝3∶2，連接AE，交BD于點(diǎn)F，則△DEF與△BAF的面積之比為（

C

）A.2∶5B.3∶5C.9∶25D.4∶25第4題圖C

A.9B.12C.15D.18第5題圖D6.如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠D.（1）求證：△ABF∽△BEC；（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.

命題點(diǎn)3

相似三角形的應(yīng)用7.學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如圖，身高1.7m的小明從路燈燈泡A的正下方點(diǎn)B處，沿著平直的道路走8m到達(dá)點(diǎn)D處，測得影子DE長是2m，則路燈燈泡A離地面的高度AB為

8.5

?m.第7題圖8.5命題點(diǎn)4

位似8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O.若點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），則△OAB與△OCD面積的比值是

4

?.第8題圖4

?

?如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是邊AB上不與點(diǎn)A，B重合的一個定點(diǎn).AO⊥BC于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E.DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點(diǎn)M.

（1）求證：△ADE∽△FMC；【自主解答】

（2）解：設(shè)BC與DF的交點(diǎn)為I，易得∠DBI＝∠CFI＝45°.∵∠BID＝∠FIC，∴△BID∽△FIC，

∵∠BIF＝∠DIC，∴△BIF∽△DIC，∴∠IBF＝∠IDC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC＋∠IBF＝135°.【奪分寶典】與相似三角形相關(guān)的證明與計算：1.利用相似三角形的性質(zhì)求線段的比例關(guān)系或數(shù)量關(guān)系：（1）先看要求比值的線段或所求線段所在的三角形，確定可能的相似三角形；（2）找出兩個三角形相似的條件并證明，結(jié)合相似三角形性質(zhì)求解，如果這兩個三角形不相似，則可找中間比代換或作輔助線構(gòu)造相似三角形求解.2.利用相似三角形求線段的長：通過證明包含所求線段所在的兩個三角形相似，通過列比例式進(jìn)行求解，或通過證明其他兩個三角形相似，進(jìn)而通過線段之間的等量關(guān)系進(jìn)行求解.易錯提醒如果題中只說兩個三角形相似而不是“相似于（∽）”，需分類討論，相似三角形的分類討論實(shí)質(zhì)上是相似三角形頂點(diǎn)對應(yīng)位置的討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，F(xiàn)為線段CE上一點(diǎn)，且∠BFC＝∠D.（1）求證：△BCF∽△CED；（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠BCF＝∠CED.∵∠BFC＝∠D，∴△BCF∽△CED.（2）若AB＝3，AE＝2，求CF的長.

2.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.（1）求證：∠CAE＝∠BAF；

（2）求證：CF·FQ＝AF·BQ.

A.6B.C.1D.2.（2023·安順期末）若兩個相似三角形周長的比為1∶4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比為（

B

）A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16AB鞏固訓(xùn)練

A.B.C.D.第3題圖A4.（2023·黔西南州模擬）如圖，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3.若AB的長為6，則DE的長為（

B

）A.4B.9C.12D.13.5第4題圖B5.（2023·遵義模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A'B'C'，則頂點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（

C

）A.（2，4）B.（4，2）C.（6，4）D.（5，4）第5題圖CA.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m第6題圖B

第7題圖

第8題圖

9.如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.（1）求證：△ABC∽△DEB；（1）證明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.（2）求線段BD的長.

10.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高.（1）求證：△ABD∽△CBA；（1）證明：∵AD是BC上的高，∴∠BDA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA.（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長.

A.B.C.2D.3第11題圖A12.如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（

C

）A.1.8B.2.4C.3D.3.2第12題圖C13.（2023·上海）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.（1）求證：AF＝DE