廣東省惠州市惠城區(qū)河南岸中學2023-2024學年九年級上學期開門考數(shù)學試卷

2023.2024學年廣東省惠州市惠城區(qū)河南岸中學九年級（上）開

門考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.要使式子GT?有意義，則》必須滿足（）

A.%>0B.%。-4C.xN—4D.%>—4

2.下列四個圖象中，y不是x的函數(shù)的是（）

3.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展主題為使在我心中》的繪畫、書法、攝影等

藝術作品征集活動，從八年級5個班收集到的作品數(shù)量（單位：件）分別為50、45、42、46、50,

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.46B.45C.50D.42

4.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.FTB.04C.OJD.>/-50

5.雙減政策落地，各地學校大力提升學生核心素養(yǎng)，學生的綜合評價分學習、體育和藝術三

部分，學習成績、體育成績與藝術成績按5：3：2計入綜合評價，若宸宸學習成績?yōu)?0分，

體育成績?yōu)?0分，藝術成績?yōu)?5分，則他的綜合評價得分為（）

A.84B.85C.86D.87

6.已知△4BC中，a、b、c分別是乙4、厶B、4C的對邊，下列條件中不能判斷△4BC是直角

三角形的是（）

A.=ZC-乙BB.a2=b2-c2

C.Q=3,匕=5,c=4D.a：b：c=2：3：4

7.平行四邊形的周長為24,相鄰兩邊的差為2,則平行四邊形的各邊長為（）

A.4,4,8,8B.5,5,7,7

C.5.5,5.5,6.5,6.5D.3,3,9,9

8.在函數(shù)y=-2x+b的圖象上有8（一2/2）兩個點，則下列各式中正確的是（）

A.y1<y2B.%<y2C.%>y2D.%>y2

9.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形人B、D

的面積依次為6、10、24,則正方形C的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

10.如圖，正方形4BCD的面積為1,A/IBE是等邊三角形，點E

在正方形ABCD內(nèi)，在對角線4c上有一點P,使PD+PE的和最

小，則這個最小值為（）

A.1

B.V-2

C.<3

D.不能確定

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.已知a為正整數(shù)，且，京也為正整數(shù)，貝b的最小值為

12.甲、乙兩個芭蕾舞團的女學員身高的方差分別是s%=1.5、s：=2.5,則女學員身高更

整齊的是芭蕾舞團（填“甲”或"乙”）.

13.在菱形4BCD中，對角線AC和BD相交于點0,AC=4cm,BD=8cm,則這個菱形的面

積是cm2.

14.將直線y=2%上平移5個單位，得到直線的解析式.

15.如圖1,在矩形/BCD中，AB>AD,對角線AC,BC相交于點。，動點P由點4岀發(fā)，沿

AtBtC運動.設點P的運動路程為x,△40P的面積為y,y與％的函數(shù)關系圖象如圖②所示，

則BC邊的長為.

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題8.0分）

計算：G+-X/32+V(-2)2-|2-<6|,

17.（本小題8.0分）

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、ADk,且BE=DF,請判斷AE與CF的數(shù)量

關系，并說明理由.

18.（本小題8.0分）

已知：直線y=/ex+b與直線y=相交于點P（2,m）,與x軸、y軸分別交于點4、B,點B的

坐標為（0,2）.求直線y=kx+b的函數(shù)解析式及點4的坐標.

19.（本小題9.0分）

為切實做好校內(nèi)“午托”工作，某學校食堂為參加“午托”的學生提供了四種價格的午餐供

其選擇，四種價格分別是46元；B：7元；C：8元；D：10元.為了解學生對四種午餐的購

買情況，學校隨機抽樣調(diào)查了一部分學生某天四種午餐的購買情況，依統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成了如

部分同學購餐價格扇形統(tǒng)計圖

（1）求被抽查的學生人數(shù)及m的值，并補全條形統(tǒng)計圖;

（2）被抽查學生購買午餐費用的平均價為,眾數(shù)為,中位數(shù)為

（3）若該校參加“午托”的學生有1200人，請估計購買7元午餐的學生有多少人？

20.（本小題9.0分）

明朝數(shù)學家程大位在他的著作德法統(tǒng)宗丿中寫了一首計算秋千繩索長度的詞居江月丿：

“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步恰竿齊，五尺板髙離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖,

秋千。力靜止的時候，踏板離地高一尺04c=1尺），將它往前推進兩步（EB=10尺），此時踏

板升高離地五尺(BC=5尺)，求秋千繩索(04或0B)的長度.

21.(本小題9.0分)

為響應國家“全民閱讀，建設學習型社會”的倡議，營造讀書好，好讀書，讀好書的氛圍，

某校圖書館購進甲、乙兩種圖書，已知甲、乙兩種圖書的單價分別是25元和8元.

(1)學校第一次購買甲、乙兩種圖書共100本，且恰好支出1820元，求第一購買了甲、乙兩種

圖書各多少本？

(2)若學校準備再次購買甲、乙兩種圖書共210本，且甲種圖書的數(shù)量不低于乙種圖書數(shù)量的

一半，請問怎么購買費用最少？最少費用是多少元？

22.(本小題12.0分)

如圖，在中，AC,BD相交于點0,AB=AD,AC=8,BD=6,CE//BD,BE//AC,

連接0E,BC與0E相交于點P,連接DP.

(1)求4B的長；

(2)求證：OE=AD；

(3)求DP的長.

OE

AB

23.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標系中，直線，1：y=-刀+5與y軸交于點4,直線，2與x軸、y軸分別交

于點8(-4,0)和點C,且與直線，［交于點。(2,m).

(1)求直線％的解析式；

(2)若點E為線段BC上一個動點，過點E作EF丄x軸，垂足為F,且與直線厶交于點G,當EG=6

時，求點G的坐標；

(3)若在平面上存在點“，使得以點4,C,D,H為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出

點H的坐標.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：要使式子CTR有意義，

即x+420,

x>—4.

故選：C.

根據(jù)二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).進行計算即可得出答案.

本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練應用二次根式有意義的條件進行計算是解決本題的

關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都

有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，

選項A、B、C中的圖象，y是％的函數(shù)，故4、B、C不符合題意；

選項。中的圖象，y不是x的函數(shù)，故。符合題意.

故選：D.

設在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么

就說y是x的函數(shù)，由此即可判斷.

本題考查函數(shù)的概念，關鍵是掌握函數(shù)的定義.

3.【答案】C

【解析】解：「SO出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是50.

故選：C.

根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，依此即可得出答案.

此題考查了眾數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，注意眾數(shù)不止一個.

4.【答案】B

【解析】解：4、/^=嘗，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

8、E是最簡二次根式，故此選項符合題意；

c、CN=/馬=音，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

D、<50=5<7,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意.

故選：B.

根據(jù)最簡二次根式的定義即可選出正確選項.

本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是掌握最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)

或因式，被開方數(shù)的因數(shù)數(shù)整數(shù)，因式是整式.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，他的綜合評價得分為管J85X2=86（分）.

故他的總成績是86分.

故選：C.

根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法即可求解.

本題考查加權平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用加權平均數(shù)的計算方法解答.

6.【答案】D

【解析】解：?乙4=NC—

，Z.C=Z.A+CB.

vNA+4B+4。=180°,

???2ZC=180°.

???ZC=90°.

此時，是直角三角形.

B.,:a2=b2—c2,

???a2+c2=h2.

??.△ABC是直角三角形.

Ca=3,b=5,c=4,

???a2+&2=c2.

??.△ABC是直角三角形.

D.va：b：c=2：3：4,

???設a=2%,b—3%,c-4x.

?

??Q2+力2=4%2+9%2―13%2,C2——16/,

???a24-b2c2.

不是直角三角形.

故選：D.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題.

本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟練掌握三角形內(nèi)角和

定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解決本題的關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：設兩鄰邊分別為x,y,

,^__(2(x+y)=24

由題HH意可rz得s員-/2，

解得O

所以平行四邊形的各邊長為5,5,7,7,

故選:B.

利用平行四邊形兩組對邊相等，進而再利用周長及兩邊的關系建立方程組即可求解.

主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題.平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組

對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行

四邊形的對角線互相平分.

8.【答案】A

【解析】解：???一次函數(shù)解析y=-2x+b中的—2<0,

該函數(shù)圖象上的點的y值隨x的增大而減小.

又：1>-2,

"yi<72-

故選：A.

根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性即可得到結論.

本題考查了一次函數(shù)圖象上點坐標特征.熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方.

根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B-S正方形E-S正方形D~S正方形c=S土方形E解得即可?

【解答】

解：由題意：S正方形A+S正方形B~S正方形E，S正方形D~S正方形c-S正方形E，

"S正方形A+S正方形B~S正方切—S正方形c

???正方形4、B、。的面積依次為6、10、24,

"一S正方形c=6+10,

:?S正方形c=8.

故選：C.

10.【答案】A

【解析】解：???正方形中B與。關于AC對稱，

???PB=PD,

PD+PE=PB+PE=BE,此時PC+PE最小,

???正方形4BCD的面積為1,AABE是等邊三角形，

BE=1,

PD+PE最小值是1,

故選：A.

由正方形的對稱性可知，PB=PD,當B、P、E共線時PO+PE最小，求岀BE即可.

此題主要考查軸對稱-最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題.

11.【答案】3

【解析】解：v<12^=2/^.且開方的結果是正整數(shù)，

???3a為某數(shù)的平方，

又「3x3=9,9是滿足題意最小的被開方數(shù)，

a的最小值為3.

故答案為：3.

首先將被開方數(shù)化簡，然后找到滿足題意的最小被開方數(shù)即可.

本題考查了二次根式的定義，知道開方結果為正整數(shù)被開方數(shù)必為平方數(shù).先化簡再討論是本題

的關鍵.

12.【答案】甲

【解析】【分析】

根據(jù)方差的意義求解即可.

本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度

越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則宜與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

【解答】

解：5=L5、s；=2.5,

?1?s懦<S；,

???女學員身高更整齊的是芭蕾舞團甲，

故答案為：甲.

13.【答案】16

【解析】解：AC=4cm,BD=8cm,

二菱形的面積=jx4x8=16(cm2).5-------------------V)

故答案為，16.

C.

根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半解答即可得到結論.

本題主要考查利用對角線求菱形面積的方法，熟記''菱形的面積等于對角線乘積的一半”是解決

問題的關鍵.

14.【答案】y=2x+5

【解析】解：直線y=2%上平移5個單位，得到直線的解析式為y=2%+5,

故答案為：y=2x+5.

根據(jù)“上加下減”的原則進行解答即可.

本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵.

15.【答案】4

【解析】解：從圖象看，當點P到達點B時，△AOP的面積為6,此時AAOP的高為^BC,

40P的面積=gx4Bx=6,解得4B-BC=24①,

而從圖②看，AB+BC=10(2),

聯(lián)立①②并解得｛縱二:.

故答案為：4.

當點P到達點B時，AAOP的面積為6,此時AAOP的高為^BC,則6=gxABx《BC),解得4B?

BC=24,而4B+BC=10,即可求解.

本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關

系，進而求解.

16.【答案】解：原式=，石+2—(，石—2)

=2/7-V-6+2-/7+2

=4.

【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案.

本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的加減運算、乘除運算法則，本

題屬于基礎題型.

17.【答案】解：AE=CF,AE〃CF.理由如下:

在平行四邊形48CD中，AD//BC,AD=BC.

vBE=DF,

CE=AF,

???四邊形4ECF是平行四邊形.

:.AE=CF,AE//CF.

【解析】只要證明四邊形4ECF是平行四邊形，則可知線段4E與線段CF有怎樣的數(shù)量關系和位置

關系.

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關鍵.平行四邊形

的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應，每種方法都對應著一種性質(zhì)，在應用時應注意它們

的區(qū)別與聯(lián)系.

18.【答案】解：把P(2,m)代入y=得：m=1,

???P(2,l),

把P(2,l)、B(0,2)分別代入y=kx+b得：db=(

解得：卜=T,

lb=2

1.r

???y=--x+2.

令y=0得：—得刀+2=0,

解得：x=4,

???點力的坐標為(4,0).

【解析】先求出P點坐標，再根據(jù)P和B點坐標求出直線、=/^+6的函數(shù)解析式即可.

本題考查了一次函數(shù)的解析式、交點坐標，明確一次函數(shù)的相關性質(zhì)并數(shù)形結合，是解題的關鍵.

19.【答案】7.68元8元8元

【解析】解：(1)被抽查的學生人數(shù)有：6+12%=50(人)，

m%=l-12%-36%-14%=38%,即m=38；

7元的人數(shù)有：50x36%=18（人），

6x6+18x7+19x8+7x10

(2)被抽查學生購買午餐費用的平均價為:=7.68（元）,

50

???8出現(xiàn)了19次，出現(xiàn)的次數(shù)最多,

二眾數(shù)是8元;

?.?共有50個數(shù)，中位數(shù)是低25、26個數(shù)的平均數(shù),

中位數(shù)是：等=8(元);

故答案為：7.68兀，8兀，8兀;

(3)根據(jù)題意得:

1200x36%=432(A),

答：估計購買7元午餐的學生有432人.

(1)根據(jù)6元的人數(shù)和所占的百分比，求出調(diào)查的總人數(shù)，再用整體1減去其它所占的百分比，求出

m的值，然后用總人數(shù)乘以7元的人數(shù)所占的百分比，求出7元的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；

(2)根據(jù)平均數(shù)的計算公式、眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出答案；

(3)用該校的總人數(shù)乘以購買7元午餐的學生所占的百分比即可.

此題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題

的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

20.【答案】解：設。4=0B=x尺，

vEC=BD=5尺，AC=1尺，

EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺，

在中，0E=(x-4)尺，08=x尺，EB=10尺，

根據(jù)勾股定理得：/=(%—4)2+102,

整理得：8x=116,即2x=29,

解得：x=14.5.

則秋千繩索的長度額14.5尺.

【解析】此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.設04=0B=x尺，

表示出0E的長，在直角三角形0E8中，利用勾股定理列出關于*的方程，求出方程的解即可得到

結果.

21.【答案】解：(1)設購買甲種圖書a本，乙種圖書b本，根據(jù)題意，得：

(a+b=100

(25a+8b=1820)

解甌謂

答：購買甲種圖書60本，乙種圖書40本；

(2)設購買費用為w元，購買乙種圖書工本，則買甲種圖書(210-x)本，根據(jù)題意，得：

w=25(210—%)+8%

=-17x4-5250,

由甲種圖書的數(shù)量不低于乙種圖書數(shù)量的一半，得：

210—x>

解得x<70,

???w=-17%+5250,-17<0,

w隨X的增大而減小，

當％=70時，狀最小=-17X70+5250=4060元，

此時210-70=140元，

答：當購買甲種圖140本，購買乙種圖書70本時，購買費用最少，最少費用是4060元.

【解析】(1)根據(jù)題意列方程組解答即可；

(2)設購買費用為w元，購買乙種圖書x本，數(shù)量根據(jù)題意w與x的關系式，并根據(jù)題意列不等式得

出工的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答即可.

本題考查二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是明確題意，找岀所

求問題需要的條件.

22.【答案】解：(1)?.?四邊形4BCD是平行四邊形，AC=8,BD=6,

DO=BO=^BD=3,AO=^AC=4,

y.'-AB=AD,

：.AO1BD,即乙408=90°,

在RtAAOB中，根據(jù)勾股定理可得：AB2=AO2+BO2,

AAB=?42+32=5.

⑵???CE//OB,BE/IOC,

???四邊形BOCE是平行四邊形，

又?：厶AOB=90°,

平行四邊形80CE是矩形，

:.0E=BC,

???四邊形4BCC是平行四邊形，

??.AD=BC,

0E=AD.

(3)如圖所示，過點P作PF_LBD交BD于點F,

圖1

???四邊形BOCE是矩形，

11

???P04EO,PB=”C,E0=BC.

:?PO=PB,

又??.PFA.BD,

113

???尸0=加0=/3=全

又,；PB=3BC,

.??PF是△OBE的中位線，

：.PF=^CO=^x4=2,

在RtAOOF,根據(jù)勾股定理可得：DP2=PF2+DF2,

；.DP2=22+(|+3產(chǎn)

??DP=J22+(|+3>=粵.

【解析】(1)證四邊形4BCD是菱形，得。A=4,0B=3,ACLBD,再由勾股定理即可求解；

(2)證四邊形BOCE是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得AO=BC,AC1BD,貝IJ/BOC=90。，即可

得出結論；

(3)過點P作PF丄BC交BC于點F,求出F0=|,由三角形中位線定理求出PF=2,然后由勾股定

理求解即可.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)