2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.從。、6、c中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】D

【分析】從6、。中任取兩個字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.

【詳解】由排列數(shù)的定義可知，從。、b、c中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)

為4=6.

故選：D.

本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.過點尸（百,-2石）且傾斜角為1350的直線方程為（）

A.3x-y-4A/3=0B.x-y->/3=0

C.x+y-y[3=0D.x+y+^3=0

【正確答案】D

【分析】由傾斜角為135。求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程

【詳解】解：因為直線的傾斜角為135、所以直線的斜率為％=tanl35o=-l,

所以直線方程為夕+26=-（x-百），即x+y+0=0,

故選：D

3.直線尸左（x-2）+1與橢圓片+武=1的位置關(guān)系是（）

169

A.相離B.相交C.相切D.無法判斷

【正確答案】B

【分析】直線恒過（2/）點，將點代入橢圓標(biāo)準方程，根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系判斷即可

41

【詳解】由題知，直線恒過定點（21），將（2,1）點代入￡+匕可得+

一9-故（24）在橢圓

16916

內(nèi)，直線與橢圓相交

故選：B

本題考查點與橢圓位置關(guān)系的判斷，可簡單記為：點產(chǎn)（為,必），橢圓標(biāo)準方程為￡+《=1,

a~h2

若點在橢圓內(nèi)，貝！1￥1；若點在橢圓上，則工+久=1；若點在橢圓外，則￡+二＞1,

a~ba~b~ah

屬于基礎(chǔ)題

4.雙曲線C：1-4=l與雙曲線《一片=T具有相同的（）

4343

A.焦點B.實軸長C.離心率D.漸近線

【正確答案】D

【分析】依次分析兩條曲線的焦點，實軸長，離心率，漸近線等即可得答案.

【詳解】解：將雙曲線。:《-仁=-1化為標(biāo)準方程得。:己-占=1,

4334

所以，對于雙曲線=/=4,〃=3,c2=7,焦點坐標(biāo)為舊近,0）,實軸長為2a=4,

離心率為6=立，漸近線方程為y=±且x;

22

對于雙曲線?=1,/=3,/=4,。2=7,焦點坐標(biāo)為（0,土J7）,實軸長為2a=20,

離心率為0=[=與，漸近線方程為y=土等x;

故雙曲線C:4-m=l與雙曲線D：三-匕=-1具有相同的漸近線.

故選：D

5.如圖，設(shè)拋物線爐=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,

其中點A,a在拋物線上，點C在了軸上，！ilijAflCF與A/fCF的面積之比是

AMsiBMzlc、忸周+1n忸呼+1

|"F|T|JF|2-1"|叫+1'\AFf+\

【正確答案】A

S血F_BC_幺_BF-1

【詳解】，故選A.

SqcFdCXjAF-I

拋物線的標(biāo)準方程及其性質(zhì)

6.設(shè)P為直線/：x+y+l=O的動點，尸彳為圓C:（x-2）2+/=l的一條切線，A為切點，則

△P4C的面積的最小值為（）

A.典B.710C.巫D.714

24

【正確答案】C

【分析】由圓的方程可得圓心與半徑，利用三角形的面積，將面積的最值小問題轉(zhuǎn)化為點到

直線的距離的最小值可求答案.

【詳解】由圓的標(biāo)準方程為（丫-2尸+爐=1,

則圓心坐標(biāo)為C（2,0）,半徑R=l,

則APAC的面積S=^PA\-\AC\=；|尸,

二要使的面積的最小，則|尸川最小，又=-|/C『=J|PC--1,

即|pq最小即可，此時最小值為圓心c到直線的距離d=?￡』=當(dāng),

即△口，的面積的最小值為sf半中

故選：c.

7.如果自然數(shù)〃是一個三位數(shù)，而且十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1,我們就把

自然數(shù)〃叫做“集中數(shù)”.那么，“集中數(shù)”一共有（）個.

A.65B.70C.75D.80

【正確答案】C

【分析】利用已知條件，分析三位數(shù)的數(shù)字特征，轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】解：自然數(shù)〃是一個三位數(shù)，而且十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1,我

們就把自然數(shù)〃叫做“集中數(shù)

則3個數(shù)，相等或相鄰，

十位數(shù)為。時，有100,或101,共2個;

十位數(shù)為1時，有110,111,112,210,211,212共6個；

十位數(shù)為2時，有121,123,122,222,221,223,321,322,323,共9個；

十位數(shù)為3,4,5,6,7,8時，與十位數(shù)是2時，相同各有9個；

十位數(shù)為9時，有，899,898,998,999共4個.

綜上共有：2+6+7x9+4=75個.

故選：C.

8.己知橢圓和雙曲線有共同的焦點耳，F(xiàn)2,P是它們的一個交點，且NFFE=莖2兀，記橢圓

和雙曲線的離心率分別為仇，e,?貝1」之+5=()

幣e2

A.4B.273C.2D.3

【正確答案】A

【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為ai,雙曲線的實半軸長a2,焦距2c.結(jié)合橢圓與雙

曲線的定義，得附1=%+%，|P闖,在△F1PF2中,根據(jù)余弦定理可得到知出

31

與c的關(guān)系式，變形可得二十不的值.

eie2

設(shè)桶圓的長半軸長為％,雙曲線的實半軸長為的，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義:

忸耳|+|「匐=2%,|尸周一歸閭=2出,

：.\PF\=ax+a2,\PF^=ax-a2,

On

設(shè)閨段=2c,2貼6=q，則

在P4瑪中由余弦定理得，4,=（4+2）2+（4-42）2-2（q+2）（4-ajcosg,

31

???化簡得3。；+。；=4c2,該式可變成了+/=4.

故選A.

本題考查了橢圓及雙曲線的定義和離心率，考查了余弦定理的應(yīng)用;涉及圓錐曲線的離心率

時,常通過結(jié)合圓錐曲線a,b,c的關(guān)系式和其他已知條件，轉(zhuǎn)化只含有a,c的關(guān)系式求解.

二、多選題

9.若數(shù)列是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的有（）

A.｛硝B.｛a“q+JC.D.｛??+1）

【正確答案】AB

【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的定義檢驗各選項即可判斷.

【詳解】若數(shù)列｛"“｝是等比數(shù)列，則&=<7,

an-\

2

A：4-=才，符合等比數(shù)列，A正確；

。二-1

B：^^=q2,符合等比數(shù)列，B正確；

當(dāng)時，CD顯然不符合題意.

故選：AB.

10.在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下

列結(jié)論正確的有（）

A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；種

B.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；種

C.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；種

D.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有C；0-C；種

【正確答案】ACD

【分析】抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根

據(jù)分步計數(shù)原理可知A正確，B錯誤；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分

兩種做法：（i）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不

合格；然后利用分類計數(shù)法求解.（ii）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所

求.由此判斷CD正確

【詳解】解：由題意得：

對于A、B選項：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1

件有C；種取法，7件合格品種抽取2件有C；種取法，故共有C；C；中取法，故A正確；

對于選項C：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產(chǎn)

品中有1件不合格、有2件合格，共有C；C；種取法；②抽取的3件產(chǎn)品中有2件不合格、

有1件合格，共有C；C；種取法；③抽取的3件產(chǎn)品都不合格，C；種取法.故抽出的3件產(chǎn)品

中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；種，故B錯誤，C正確；

對于選項D：10件產(chǎn)品種抽取三件的取法有C：。，抽出的3件產(chǎn)品中全部合格的取法有C；種，

抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有C：0-C；種，故D正確.

故選：ACD

11.已知取為3與5的等差中項，〃為4與16的等比中項，則下列對曲線C:二+以=1描

mn

述正確的是（）

A.曲線c可表示為焦點在y軸的橢圓

B.曲線C可表示為焦距是4的雙曲線

c.曲線c可表示為離心率是e的橢圓

2

D.曲線C可表示為漸近線方程是夕=±0》的雙曲線

【正確答案】ACD

【分析】由已知條件先求出加/的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判

斷即可

【詳解】由洸為3與5的等差中項，得2m=3+5=8,即機=4,

由"為4與16的等比中項，得“2=4x16=64,即"=±8,

則曲線C：《+片=1的方程為=+g=l或片-乙=1.

mn4848

其中m+==i表示焦點在歹軸的橢圓，此時它的離心率

48

e=：==故/正確，0正確；

其中￡_一匕=1表示焦點在X軸的雙曲線，焦距為2c=2〃2+[2=2)4+8=4百，漸近線方

48

程為y=±^x=±逑x=±6x，故8不正確，D正確.

a2

故選:ACD.

12.已知曲線C的方程為犬+必-孫=i,則下列說法中正確的有()

A.曲線C關(guān)于x軸對稱

B.曲線C關(guān)于原點中心對稱

C.若動點尸、。都在曲線C上，則線段IPQI的最大值為20

D.曲線C的面積小于3

【正確答案】BC

【分析】對于X8：根據(jù)對稱理解運算即可判斷；對于。：根據(jù)橢圓定義可知曲線C為橢

圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解.

【詳解】解：對B：曲線C的上任一點4x,y)關(guān)于原點的對稱點為4(-x,-y),

則(-x)2+(~y)2-(-x)(-j^)=x^+y2-xy=\,即4在曲線C上，

二曲線C關(guān)于原點中心對稱，B正確；

對Ar/曲線C的上任一點B(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為B'(x,-y),

則x?+(-y)2-(-y)x=X1+y2+xy即B不在曲線上，

，曲線C關(guān)不于x軸對稱，A錯誤；

x2+y2-xy-1>貝！j(x+y)2+3(x—y)2=4,

.?.(x+j^)2<4,EP-2<x+y<2,

Xvx2+y2-xy=\,即孫=(x+：)——-)

貝Uyj(x-：y)2+(y-^-)2=^x2+/-^y-(x+y)+|=yj(x+y)2-2xy-^-(x+y)+^

[、26(x+y)2-l2指,J(x+y)2-2&(x+y)+6J[(x+y)一

=q(x+y)-2x-------------(x+j；)+-

同理可得：yj(x+^y-)2+3+半)2=等[/6+(x+?)：，

則曲線C的上任一點P（x,y）到M（-的距離之和為:

\PM\+\PN\=^-[>j6+(x+y)]+

(x+y)]=26-

???曲線C表示以〃，N為焦點且”c=士叵的橢圓，則1a2一/=逅,

33

對C：則線段|尸。|的最大值為2a=2夜，C正確；

對D：則曲線C的面積S=o切r=2^^>3,D錯誤；

3

故選：BC.

【點評】本題考查了直線與方程的綜合運用，找到曲線與橢圓的聯(lián)系是本題的難點和突破點.

三、填空題

13.拋物線y=V的焦點坐標(biāo)是.

【正確答案】（0,；）

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準方程求出P,即可求出焦點坐標(biāo).

【詳解】由己知條件得，2P=1,即p=；,故拋物線y=Y的焦點坐標(biāo)為（0,；）.

故答案為

14.圓?:/+4》+_/_5=0的一條弦以點4-1,2）為中點，則該弦的斜率為

【正確答案】-5##-0.5

【分析】配方法將圓的一般式方程化為標(biāo)準方程，確定圓心和半徑之后，根據(jù)中點弦所在直

線與NC垂直可求該弦的斜率.

【詳解】解：將x2+4x+/-5=0配方得（x+2）2+V=9,

圓心為。（一2,0）,r=3,

,2-0。

/.k=-------=2,

“A0r-1-（-2）

弦以點4T，2）為中點，，該弦的斜率為

故

r2

15.已知橢圓土+^=1的兩個焦點分別為耳，F(xiàn)2,P為橢圓上一點，且/￡因=90。，則

4

畫H西|的值為_-

【正確答案】2

【分析】根據(jù)橢圓的方程求得a,b,c,得到|耳瑪I，設(shè)出IWi，|%|=4,利用勾股定

理以及橢圓的定義，可求得他的值，即可求出訪|?|比|的值.

【詳解】解：?.?a=2,6=1；.?"=百，耳周=2c=2b，

設(shè)|尸耳M，|P瑪|=*?.?P為橢圓上一點，?^.4+^2=4①，

;“質(zhì)=90。,,?.彳+g=(26)2②，

由①2_②得%=2,

二.|兩卜|班卜品=2.

故2.

16.己知直線二+營=1(。，b是非零常數(shù))與圓/+/=100有公共點，且公共點的橫坐

ab

標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有條(用數(shù)字作答).

【正確答案】60

【分析】直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點，考察圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為

整數(shù)的點的個數(shù)，結(jié)合組合知識分類解答.

【詳解】依題意直線xj截距均不為0,即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點，

圓W+/=ioo上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點有12個，

分別為(6,±8),(-6,±8),(8,±6),(-8,±6),(為0,0),(0,±10),

前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；

12個點過任意兩點，構(gòu)成G；=66條直線，有4條垂直x軸，

有4條直線垂直了軸，還有6條直線過原點(圓上點的對稱性)，

滿足條件的直線有52條.綜上可知滿足條件的直線共有52+8=60條.

故答案為.60

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用組合知識是解題的關(guān)鍵，注意直線截距式方程的限制條

件，屬于中檔題.

四、解答題

17.（1）計算：A：+A；；

（2）計算：c+c：+c+cj+a.

【正確答案】（1）84；（2）70

【分析】（1）利用排列數(shù)的計算公式進行計算；

（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)化簡即可求解.

【詳解】（1）A：+A；=4x3x2+5x4x3=84：

n\n\（〃+1—尸）?〃!+尸?加（〃+1）!

（2）因為C；+C：T=^__-^t=^~~（，h—J~

尸!一尸）!（尸一1）!（〃+1—4!尸（〃+1—/）!n+\—）f!

所以c；+c：+c；+c：+c；=C+C+c；+c：+c；

=C；+C；+C：+C；=C：+C：+C；=C；+C；=C；=70.

18.已知公差不為0的等差數(shù)列｛〃“｝的首項q為2,,且5，J，《成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵對"eN",求4+叼+a2,+...+a2?的表達式.

【正確答案】（1）%=2〃

（2）2-,+2-4

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛見｝的公差為d,d#0,由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中

項性質(zhì)，解方程可得公差，求出通項公式；

（2）由等比數(shù)列的求和公式，計算求和.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛見｝的公差為d,dwO,

由‘，,，,成等比數(shù)列，可得,即

4a24也）a\%

即有(2+4=2(2+3d),

解得d=2,

因為％=2,所以a“=2+2(〃-1)=2/7；

(2)對"eN*，…=4+8+16+…+2"+i=

-1—2

22

19.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓C:0+2r=1(。>6>0)的右焦點為尸(1,0),且過點

(1)求橢圓C的方程；

(2)過F作直線/交橢圓C于A、B兩點，點尸(2,0),若/8P的面積為:，求直線/的方程.

2

【正確答案】⑴]+/=1

(2)x±y-l=0

【分析】(1)由己知得c=l,再將點代入橢圓方程，可得/=2,〃=1；

(2)先考慮直線斜率為0時，不合要求，從而設(shè)/的方程為x=my+I,聯(lián)立橢圓方程，得

到兩根之和，兩根之積，表達出45戶的面積，再代入根與系數(shù)的關(guān)系即可，求出答案.

【詳解】(1)右焦點為0(L0),則c=l,則”2=〃+1,

橢圓過點(1,孝)，則5+2=1，

則/=2,〃=1,橢圓的方程為片+/=1：

2

(2)直線/過點尸(1,0),當(dāng)直線斜率為。時，此時45P不存在，不合題意,

設(shè)/的方程為x=my+l,直線/交橢圓C于4(再,必)，8(々,力)兩點，

聯(lián)立方程萬+)'=,得("尸+2)/+2吵-1=0,

x=my+1

?-2m—1

貝n以+%=門，乂%=",

SABP=：.|尸尸|山「無卜:也+乃)L如2=飛亮V:一

222L+2)m^23

則m2=1，m=±i,則直線/的方程為x=±y+l,即x±y-l=0.

20.數(shù)列｛a,,｝滿足q=l,0”+■,%=0.

2am7

（1）求證數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若數(shù)列也,｝滿足々=2,紹=2，,求也｝的前〃項和S,.

【正確答案】（1）證明見解析，

2n-\

⑵S“=6+（2〃-3）2”

【分析】（1）由%=昔=，兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求;

1-2“向

（2）由累乘法求得2，再由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求

和.

【詳解】（1）證明：由卬=1，%+/工7=0,

X+i-l

可得卬廣者1—

1-2%

兩邊取倒數(shù)可得一=~—2,即-------=2,

aa

n《用0mn

則數(shù)歹|J｛L｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)歹U，

則一=1+2(〃-1)=2〃-1,即有%=—-—

an2/7-1

如=24=22

(2)由4=2,

b“an+l2n-\

可得“吟*…*=2.(2.3).(2令.…。.照)=2”.(2〃T),

檢驗：當(dāng)〃=［時？-1）=2=4,

所以S“=卜2+3?4+5?8+...+2"-1(2”-3)+2"<2〃-1),

2S?=1-4+3-8+5-16+...+2"-(2n-3)+2"+|?(2n-1),

上面兩式相減可得-S,=2+2(4+8+...+2"-'+2")-2向?(2〃-1)

”.4(1-2-')八,、

=2+2--------------2?(2n-1),

1-2

化簡可得S“=6+(2〃-3)-2"l

21.已知點P是雙曲線(7:鳥-《=1(°>08>0)右支上一點，環(huán)、凡是雙曲線的左、右焦點,

ao

P3=（2+6）|PR|,NF、PR=60。.

(1)求雙曲線的離心率；

(2)設(shè)區(qū)、，?分別是△月”的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，求4.

r

【正確答案】(1)手

(2)2+2/

【分析】(1)由雙曲線的定義解方程求得1尸耳1,I尸乙I，再由余弦定理和離心率公式，計算

可得所求值；

(2)由正弦定理可得外接圓半徑出,由三角形的等積法，計算可得內(nèi)切圓半徑，可得所

求比值.

【詳解】(1)由尸為雙曲線的右支上一點，可得|P不-I尸鳥|=2〃，

又M卜(2+叫叫，可得附|=(6+1)4,\PF2\=(43-\)a,

在△/=；尸死中，/耳尸鳥=60。，由余弦定理可得

4cz=（4+2拘"+&-2^/3）a2-2電+1）（百-l）a2--

=8a2—2a2=6a2,即c=-^-a,

2

可得e=￡=