2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題第54煉 數(shù)列求和含通項(xiàng)公式與求和習(xí)題含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題第54煉數(shù)列求和（含通項(xiàng)公式與求和習(xí)題第54煉數(shù)列求和問題數(shù)列求和問題是高考數(shù)列中的一個易考類型，在已知通項(xiàng)公式的前提下，要通過觀察通項(xiàng)公式（或者項(xiàng)）的特點(diǎn)決定選擇哪種方法進(jìn)行求和。考查學(xué)生的觀察能力與辨析能力。所以在復(fù)習(xí)的過程中要抓住每種求和方法相對應(yīng)的通項(xiàng)公式特點(diǎn)，并在練習(xí)中熟悉解法一、基礎(chǔ)知識：1、根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求和：（1）等差數(shù)列求和公式：（2）等比數(shù)列求和公式：（3）錯位相減法：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差等比，比如，其中代表一個等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯位相減法方法詳解：以為例，設(shè)其前項(xiàng)和為①先將寫成項(xiàng)和的形式②兩邊同時(shí)乘以等比部分的公比，得到一個新的等式，與原等式上下排列，發(fā)現(xiàn)乘完公比后，對比原式項(xiàng)的次數(shù)，新等式的每項(xiàng)向后挪了一位。③然后兩式相減：除了首項(xiàng)與末項(xiàng)，中間部分呈等比數(shù)列求和特點(diǎn)，代入公式求和，再解出即可所以對“錯位相減法”的深層理解：通項(xiàng)公式的特點(diǎn)在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項(xiàng)的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時(shí)實(shí)現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和（4）裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式特點(diǎn)：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多方法詳解：以為例①裂項(xiàng)：考慮（這里），在裂項(xiàng)的過程中把握兩點(diǎn)：一是所裂兩項(xiàng)要具備“依序同構(gòu)”的特點(diǎn)，比如這里的結(jié)構(gòu)相同，且分母為相鄰的兩個數(shù)；二是可以先裂再調(diào)：先大膽的將分式裂成兩項(xiàng)的差，在將結(jié)果通分求和與原式進(jìn)行比較并調(diào)整（調(diào)整系數(shù)），比如本題中，在調(diào)整系數(shù)使之符合通項(xiàng)公式即可②求和：設(shè)前項(xiàng)和為，求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項(xiàng)。通過觀察可發(fā)現(xiàn)正項(xiàng)中沒有消去，負(fù)項(xiàng)中沒有消去。所以一般來說，裂開的項(xiàng)中有個正項(xiàng)，個負(fù)項(xiàng)，且由于消項(xiàng)的過程中是成對消掉。所以保留項(xiàng)中正負(fù)的個數(shù)應(yīng)該相同。(5）分類求和：如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。例：可知通項(xiàng)公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加2、根據(jù)項(xiàng)的特點(diǎn)求和：如果數(shù)列無法求出通項(xiàng)公式，或者無法從通項(xiàng)公式特點(diǎn)入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)列中的項(xiàng)，通過合理的分組進(jìn)行求和（1）利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項(xiàng)按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時(shí)可將一個周期內(nèi)的項(xiàng)歸為一組求和，再統(tǒng)計(jì)前項(xiàng)和中含多少個周期即可（2）通項(xiàng)公式為分段函數(shù)（或含有，多為奇偶分段。若每段的通項(xiàng)公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項(xiàng)一組，偶數(shù)項(xiàng)一組分別求和，但要注意兩點(diǎn)：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時(shí)會影響公差公比），二是要對項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項(xiàng)公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項(xiàng)相加看是否存在規(guī)律，便于求和（3）倒序相加：若數(shù)列中的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和具備規(guī)律，在求和時(shí)可以考慮兩項(xiàng)為一組求和，如果想避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點(diǎn)，即：兩式相加可得：二、典型例題例1：已知函數(shù)，求：思路：觀察可發(fā)現(xiàn)頭尾的自變量互為倒數(shù)，所以考慮其函數(shù)值的和是否具備特點(diǎn)。即，所以考慮第個與倒數(shù)第個放在一起求和，可用倒序相加法解：小煉有話說：此類問題要抓自變量之間的聯(lián)系，并嘗試發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值的和是否有特點(diǎn)（常數(shù)或者與相關(guān)），本題求和的項(xiàng)就呈現(xiàn)出倒數(shù)關(guān)系。另外在求和過程中倒序相加的方法可以有效地避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論。例2：設(shè)數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）（2）思路：由（1）可得：，盡管整個通項(xiàng)公式不符合任何一種求和特征，但可以拆成，在求和的過程中分成三組分別求和，再匯總到一起。解：例3：已知數(shù)列滿足，且對于，設(shè)的前項(xiàng)和為，則_________思路：原遞推公式很難再有變化，考慮向后再寫一個式子進(jìn)行變形。，兩式相減可得：，由可得：，為周期是3的數(shù)列，所以求和時(shí)可先求出一個周期中項(xiàng)的和，再看中含多少周期即可。解：①②①②得：為周期是3的數(shù)列在①中令解得：而答案：例4：已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式（2）記，求證：解：（1）設(shè)的公差為，的公比為則即，解得：（2）思路：雖然所涉及數(shù)列通項(xiàng)公式不是“”形式，但觀察到中的項(xiàng)具備“等差等比”的特點(diǎn)，所以考慮利用錯位相減法求出，再證明等式即可解：①②②①所證恒等式左邊右邊即左邊右邊所以不等式得證例5：已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）（2）思路：由（1）可得：，所以在求和時(shí)首先要考慮項(xiàng)數(shù)是否大于5，要進(jìn)行分類討論，其次當(dāng)，求和可分成組分別求和再匯總解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例6：（2014，桐鄉(xiāng)市校級期中）：設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）時(shí)，時(shí)，符合上式為等比數(shù)列設(shè)的公比為，則而解得：或單調(diào)遞增（2）思路：由（1）可得：，觀察到分母為兩項(xiàng)乘積，且具備“依序同構(gòu)”的特點(diǎn)，所以聯(lián)想到進(jìn)行裂項(xiàng)相消，考慮，剛好為，所以直接裂項(xiàng)然后相消求和即可解：例7：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為（1）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若對一切恒成立，求的取值范圍（1）思路：先利用已知條件求出的通項(xiàng)公式，然后用錯位相減法求和解：成等比數(shù)列，代入可得：由可得：①②①②（2）思路：雖然不知道的通項(xiàng)公式，但根據(jù)其等差數(shù)列特征可得：所以，從而可將不等式的左邊通過裂項(xiàng)相消求和，然后根據(jù)不等式恒成立解的范圍即可解：對一切均成立設(shè)，由可得：為增函數(shù)例8：已知數(shù)列，其中相鄰的兩個被隔開，第對之間有個，則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為__________思路：本題求和的關(guān)鍵是要統(tǒng)計(jì)一共有多少個1，多少個2相加。那么首先應(yīng)該確定第的位置，（即位于第幾對1中的第幾個2），可將1個與之后個劃為一組，則第組數(shù)中含有個數(shù)。即，可估算出，所以即該數(shù)列的第項(xiàng)位于第組第10個數(shù)。可分析前48組中含有48個1，含有個，在第49組中有1個1，9個2，所以前項(xiàng)和為答案：2419小煉有話說：對于這種“規(guī)律性”（不含通項(xiàng)公式）的數(shù)列，首先要抓住此數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律確定出所求和的最后一項(xiàng)的位置。再將求和中的項(xiàng)進(jìn)行合理分組使之可以進(jìn)行求和，再匯總即可。例9：已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）①②①②可得：即為的等比數(shù)列（2）思路：若要求和，需要先求出的通項(xiàng)公式。所以先利用（1）構(gòu)造等比數(shù)列求出，從而得到，對于，處理方式既可以將進(jìn)行奇偶分類，進(jìn)而分組求和，也可放入到通項(xiàng)公式中進(jìn)行求和解：由（1）可得：令代入方法一：直接求和設(shè)小煉有話說：本題雖然可以直接求和，但是過程和結(jié)果相對形式比較復(fù)雜方法二：分組求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)小煉有話說：本題在分組求和時(shí)要注意以下幾點(diǎn)（1）相鄰兩項(xiàng)一組，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，那么會留出一項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，那么剛好分組。所以要對項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶的分類討論（2）在項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的求和過程中要注意的取值變化不再是，而是所以求和時(shí)的公比和求和的項(xiàng)數(shù)會對應(yīng)發(fā)生改變。（3）在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的求和中可利用前面的結(jié)論，簡化求和過程方法三：分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)分別求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：同理：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)例10：已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式（2）令，求數(shù)列的的前項(xiàng)和解：（1）成等比數(shù)列即解得：（2）思路：由第（1）問可得：，考慮相鄰項(xiàng)作和觀察規(guī)律：為偶數(shù)時(shí)，，然后再進(jìn)行求和即可解：為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)：綜上所述：小煉有話說：本題還可以直接從入手：盡管裂開不是兩項(xiàng)作差，但依靠在求和過程中也可達(dá)到相鄰項(xiàng)相消的目的。進(jìn)而根據(jù)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論求和。三、歷年好題精選1、把等差數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號一個數(shù)……，循環(huán)分為則第個括號內(nèi)各數(shù)之和為（）A.B.C.D.2、數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為（）A.B.C.D.3、（2016，山東青島12月月考）設(shè)，則在中，正數(shù)的個數(shù)是（）A.B.C.D.4、（2016，長沙一中月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和。若（為正偶數(shù)），則的值為（）A.B.C.D.5、若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____6、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則____7、（2015，江蘇）數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_________8、在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且（1）求（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和9、（2015，廣東文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值（2）證明：為等比數(shù)列（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式10、（2015，天津）已知數(shù)列滿足，，且成等差數(shù)列（1）求的值和的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和11、（2014，湖南）已知數(shù)列滿足（1）若是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式12、（2014，全國卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知為整數(shù)，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和13、（2015，山東）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14、（2016，山東濰坊中學(xué)高三期末）在數(shù)列，中，已知，，且，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．15、定義數(shù)列，且時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，，求（2）若，求證：習(xí)題答案：1、答案：B解析：由前面幾組可得，組中項(xiàng)個數(shù)的循環(huán)周期為3，因?yàn)椋缘?0組數(shù)含有兩個元素?？芍谝粋€周期中將占有中的6項(xiàng)，所以16個周期共占有96項(xiàng)，從而第49個括號里為，第50個括號里含有的項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，則2、答案：D解析：時(shí)，時(shí)，可得：3、答案：D解析：的周期，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可知：，且，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以則為正，，同理可得：也均為正數(shù)，以此類推，可知均為正數(shù)，共個4、答案：B解析：令，為的公差同理代入可得：，解得或設(shè)，同理可知，代入可得：5、答案：解析：設(shè)，即為等差數(shù)列6、答案：解析：，即，所以為公差是的等差數(shù)列，所以，即7、答案：解析：，可得：，進(jìn)行累加可得：，所以，即，故8、解析：（1）設(shè)的公差和公比分別為，所以解得：或（舍）（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，9、解析：（1）令，則，解得：（2）即時(shí)，是公比為的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，由可驗(yàn)證得：綜上可得：是公比為的等比數(shù)列（3）由（2）以及可得：為公差是4的等差數(shù)列10、解析：（1）依題意可知：成等差數(shù)列即或（舍）當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即綜上所述：（2）由（1）可得：設(shè)的前項(xiàng)和為兩式相減可得：11、解析：（1）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，其中由可得：，成等差數(shù)列代入可得：解得：或（舍）（2）因?yàn)闉檫f增數(shù)列①因?yàn)棰谟散佗诳傻茫孩弁恚阂驗(yàn)闉檫f增數(shù)列因?yàn)棰芫C合③④可得：12、解析：（1）由可知：，即為整數(shù)結(jié)合不等式可解得：（2）13、解析：（1）由可得，而，則（2）由及可得.14、解析：（1）由，，成等差數(shù)列，，，也成等差數(shù)列可得：是公比為的等比數(shù)列（2）由（1）可知，整理可得：是公比為的等比數(shù)列若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，則為偶數(shù)15、解析：當(dāng)時(shí)，，均為等比數(shù)列由可得為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)，（2）由可得：為公比是2的等比數(shù)列第55煉數(shù)列中的不等關(guān)系一、基礎(chǔ)知識：1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)2、如何判斷數(shù)列的單調(diào)性：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）3、用數(shù)列的眼光去看待有特征的一列數(shù)：在解數(shù)列題目時(shí)，不要狹隘的認(rèn)為只有題目中的是數(shù)列，實(shí)質(zhì)上只要是有規(guī)律的一排數(shù)，都可以視為數(shù)列，都可以運(yùn)用數(shù)列的知識來進(jìn)行處理。比如：含的表達(dá)式就可以看作是一個數(shù)列的通項(xiàng)公式；某數(shù)列的前項(xiàng)和也可看做數(shù)列等等。4、對于某數(shù)列的前項(xiàng)和，在判斷其單調(diào)性時(shí)可以考慮從解析式出發(fā)，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決。也可以考慮相鄰項(xiàng)比較。在相鄰項(xiàng)比較的過程中可發(fā)現(xiàn)：，所以的增減由所加項(xiàng)的符號確定。進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成為判斷的符號問題二、典型例題例1：已知數(shù)列，前項(xiàng)和滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式（2）思路：由（1）可得：，由已知為單調(diào)遞減數(shù)列可得對均成立，所以代入通項(xiàng)公式得到關(guān)于的不等式，即只需，構(gòu)造函數(shù)或者數(shù)列求出的最大值即可解：是遞減數(shù)列，即只需①構(gòu)造函數(shù)：設(shè)則所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減時(shí)，即②構(gòu)造數(shù)列：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，所以的最大項(xiàng)為例2：已知等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是（）A.B.C.D.思路：若恒成立，，要找，則需先確定的通項(xiàng)公式得到：，所以，發(fā)現(xiàn)無法直接求和，很難變?yōu)楹唵蔚谋磉_(dá)式，所以考慮將視為一個數(shù)列，通過相鄰項(xiàng)比較尋找其單調(diào)性：，進(jìn)而單調(diào)遞減，，所以，從而答案：B例3：已知數(shù)列滿足，若為等比數(shù)列，且（1）求（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為①求②求正整數(shù)，使得對于，均有解：（1）或（舍）（2）①②思路：實(shí)質(zhì)是求取到最大值的項(xiàng)，考慮分析的單調(diào)性，從解析式上很難通過函數(shù)的單調(diào)性判斷，從而考慮相鄰項(xiàng)比較。對于而言，的增減受符號的影響，所以將問題轉(zhuǎn)化為判斷的符號?？晒烙?jì)出當(dāng)取得值較大時(shí)，會由正項(xiàng)變?yōu)樨?fù)項(xiàng)。所以只要尋找到正負(fù)的分界點(diǎn)即可解：當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證，從而可得設(shè)，則當(dāng)時(shí)，遞減時(shí)，時(shí)，均有例4：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為（1）求（2）令，記的前項(xiàng)和為，對，均有，求的最小值解：（1）為公差是的等差數(shù)列時(shí)，符合上式為等差數(shù)列設(shè)前項(xiàng)和為（2）思路：依題意可得：，可求出，從而，若最小，則應(yīng)最接近的最大最小值（或是臨界值），所以問題轉(zhuǎn)化成為求的范圍，可分析其單調(diào)性。單調(diào)遞增。所以最小值為，而當(dāng)時(shí)，，所以無限接近，故的取值范圍為中的離散點(diǎn)，從而求出的最小值解：設(shè)，可知遞增，當(dāng)時(shí)，若最小，則例5（2014，黃州區(qū)校級模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列中只有最小，求的取值范圍解：（1）符合上式（2）考慮即數(shù)列為等比數(shù)列（3）思路：由（2）可求得通項(xiàng)公式，但不知其單調(diào)性，但可以先考慮必要條件以縮小的取值范圍。若要最小，則最起碼要比小，從而先求出滿足的必要條件（也許最后結(jié)果是其子集），在這個范圍內(nèi)可判定為遞增數(shù)列，從而能保證最小由（2）可得：是公比為的等比數(shù)列若要最小，則必然要即則，所以為遞增數(shù)列，符合最小的條件所以小煉有話說：在求參數(shù)范圍時(shí)如果不能一次準(zhǔn)確列出參數(shù)所滿足的條件，可先寫出其必要條件適當(dāng)縮小其取值范圍，往往會給解題帶來新的突破口例6：（2014，文登市二模）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小解：（1）（舍）或是公比為2的等比數(shù)列，解得：（2）思路：由（1）可得，進(jìn)而可求出，比較大小只需兩式作差，再進(jìn)行化簡通分可得。利用函數(shù)或構(gòu)造數(shù)列判斷出的符號即可解：設(shè)，可得為減函數(shù)例7：（2014，湖南模擬）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，都有（其中，且為常數(shù)），記數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列的前項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列的前項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為，若存在，使得對任意，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）①②①②可得：即為公差是的等差數(shù)列在令得：解得：（2）思路：本小問實(shí)質(zhì)是在數(shù)列背景下的多元恒成立問題，先求的表達(dá)式。由已知可得：時(shí)，，要解決，首先要解出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。時(shí)，，進(jìn)而顯然抽去的應(yīng)為，所以，得到，，所以要處理的恒成立不等式為：。再利用最值逐步消元即可解：時(shí)，，進(jìn)而成公比為的等比數(shù)列，即的公比為，且而由（1），當(dāng)時(shí)，，所以恒成立的不等式為：，所以設(shè)可得為遞增函數(shù)所以對任意的均成立即設(shè)為減函數(shù)小煉有話說：本題在處理恒成立問題時(shí)，兩個階段對變量量詞的不同導(dǎo)致取最大還是最小值要明確區(qū)分。第一階段是存在，也就是說只要有滿足不等式即可，所以只要最小值比右邊小，就意味著已經(jīng)存在這樣的；第二階段是對任意的，不等式均要成立，所以只要最大值滿足不等式，剩下的函數(shù)值也必然能滿足不等式。例8：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列滿足（為非零整數(shù)，），問是否存在整數(shù)，使得對任意，都有解：（1）即是公差為1的等差數(shù)列在令得：（2）思路：由（1）可得：，所以等同于，化簡可得：，而的奇偶將決定的符號，所以要進(jìn)行分類討論解：由（1）可得：則等價(jià)于：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立不等式為：所以只需當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立不等式為：所以只需例9：已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若集合恰有個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）（2）思路：由（1）所得通項(xiàng)公式可利用錯位相減法求，進(jìn)而得到，要讀懂集合恰有4個元素的含義，根據(jù)描述的特點(diǎn)可知：集合中的元素應(yīng)該為從大到小排前4項(xiàng)的序數(shù)，所以只需判斷出的單調(diào)性，并結(jié)合單調(diào)性選出較大的前4項(xiàng)，便可確定的取值。解：兩式相減可得：下面考慮的單調(diào)性時(shí)，，即時(shí)，，所以而從大到小排的前4項(xiàng)為：例10：（2015，天元區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若對任意，都有成立，求的取值范圍解：（1）①②①②可得：中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為4當(dāng)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)（2）思路：考慮將不等式轉(zhuǎn)化為的不等式，由（1）可得的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，所以只要通過分類討論確定的奇偶，即可把均用表示，再求出范圍即可解：由（1）可得：的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)各為等差數(shù)列，且公差為4當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，化簡后可得：所以只需設(shè)解得：或當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理：，化簡可得：即設(shè)可得：綜上所述：或三、歷年好題精選1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式（3）記，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值2、已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，若，求證：3、已知數(shù)列滿足：，且（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)（為非零整數(shù)），試確定的值，使得對任意，都有成立4、已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，且，求的值（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？若存在，分別求出的取值范圍；若不存在，請說明理由5、（2016，無錫聯(lián)考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都有．（1）求證：（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由6、已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）令，，若對一切成立，求最小正整數(shù)7、（2016，貴陽一中四月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，數(shù)列滿足，對任意，都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍8、設(shè)數(shù)列為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在整數(shù)，使得對任意的都有成立，求的最大值習(xí)題答案：1、解析：（1）（2）由可知，代入可得：時(shí)，代入可得：，即是公比為的等比數(shù)列在中，令可得：（3）可知為遞減數(shù)列為遞增數(shù)列即的最大值為2、解析：（1）成等差數(shù)列（2）由（1）可得：為遞增數(shù)列綜上所述：3、解：（1）是公比為的等比數(shù)列（2）當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，是公差為的等差數(shù)列即（3）由（2）可得：恒成立不等式為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，4、解析：（1）由已知令，則，所以當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證可知符合通項(xiàng)公式（2）可得（3）由可得若，則，不符題意，舍去若，則的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)因?yàn)樵摬坏仁綄θ我饩闪⒔獾茫?、解析：（1）即（2）由（1）可知，兩式相減可得：中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成公差是4的等差數(shù)列中令令可得：綜上所述可得：（3）恒成立的不等式為：設(shè)，由可知為遞減數(shù)列解得：6、解析：（1）由已知可得：為首項(xiàng)是1，公差是的等差數(shù)列（2）當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，滿足上式所以對一切均成立最小正整數(shù)為7、解析：（1）可得：，驗(yàn)證時(shí)，符合上式由可知為等比數(shù)列（2）故恒成立不等式為：化簡可得：。所以只需設(shè)8、解析：（1）是公差為1的等差數(shù)列在令得：（2）由（1）可得：設(shè)為遞增數(shù)列即的最大值為第56煉數(shù)列中的整數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識：1、整數(shù)的基本性質(zhì)：（1）整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù)（2）整數(shù)的奇偶性：若，則稱為奇數(shù)；若，則稱為偶數(shù)，在加，減，乘法運(yùn)算中，其結(jié)果有以下規(guī)律：①奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)②奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)③偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)④奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)⑤偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)⑥奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（3）若，且，則（4）已知，若，且，則只能取到有限多個整數(shù)（也有可能無解）（5）若，稱能被整除，則有：①②為的一個因數(shù)（6）最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個最小的自然數(shù)2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值（即性質(zhì)（4）），例如：若，則的取值只能是。所以在涉及求整數(shù)的值時(shí)，思路不要局限于尋找等量關(guān)系，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解。（2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡單，可通過對常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個：①通過對表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個方程的方程組，進(jìn)而解出變量②將一個字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)：①所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍②等式兩側(cè)為一奇一偶3、整數(shù)問題通常會與數(shù)列聯(lián)系起來，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù)。二、典型例題：例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為數(shù)列中的項(xiàng)，則____思路：，中的項(xiàng)為大于等于（）的奇數(shù)，所以考慮將向奇數(shù)形式變形：，可得應(yīng)該為大于等于4的偶數(shù)，所以或，解得（舍）或答案：小煉有話說：（1）本題的亮點(diǎn)在于對的變形，在有關(guān)整數(shù)的問題里，通?？蓪Ψ质竭M(jìn)行“分離常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡化，并能立刻找到需處理的部分。例如在本題中通過“分離常數(shù)”可迅速將目標(biāo)鎖定在上。（2）本題對的處理有多個角度，還可以從分母出發(fā)，觀察到應(yīng)為奇數(shù)，而，而的奇因數(shù)只有和，同樣可確定的值。例2：已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式（2）求的值，使得例3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）①符合①（2）思路：按照奇偶分段，所以要確定的奇偶。觀察可發(fā)現(xiàn)無論為何值，均為一奇一偶，所以只需要對的奇偶進(jìn)行分類討論，解出符合條件的即可解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)解得：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)解得：（舍）綜上所述：例4：已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求出所有的正整數(shù)，使得解：（1）設(shè)前6項(xiàng)的公差為，則成等比數(shù)列，解得：時(shí)，，則時(shí)，（2）思路：由于數(shù)列分為兩部分，當(dāng)時(shí)，即為公比是的等比數(shù)列，所以考慮對于數(shù)列的前幾項(xiàng)可進(jìn)行驗(yàn)證，后成等比數(shù)列，從而可進(jìn)行抽象的計(jì)算，看是否能夠找到符合條件的。解：由（1）可得：則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得則有即：，從而無解時(shí)，不存在這樣的，使得綜上所述：或例5：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）.（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在整數(shù)對，使得等式成立？若存在，請求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.解：（1）在中，令，得：再令，得：（2）由①，可得：②①②可得：從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系，公比為而符合上式（3）思路：所成立的等式為，考慮將進(jìn)行分離得到：，再利用為整數(shù)可得為整數(shù)，從而求出符合條件的，再求出。解：由（2）得：且只需，即經(jīng)計(jì)算可得：時(shí)，解得：共有三組符合題意：小煉有話說：（1）在第（2）問中，要注意的取值范圍變化，并且要把所能取到的最小值代入到遞推公式中以了解遞推公式從第幾項(xiàng)開始滿足。（2）二元不定方程在求解時(shí)，參變分離是一種方式，通過變形讓兩變量分居不等號的兩側(cè)，這樣可以以一側(cè)作為突破口（比如本題中的整除問題），來求得變量的解例6：已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。解：（1）且（2）思路：先假定存在滿足條件的，則由可得，無法直接得到不等關(guān)系，考慮變形等式：，分離參數(shù)可得：，以為突破口可解出的范圍，從而確定的值后即可求出解：假設(shè)存在，則即即解得：，代入可得：，解得：存在，使得成等比數(shù)列例7：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù)解：（1）是公比為2的等比數(shù)列（2）思路：由（1）可得，的通項(xiàng)公式可求但是比較復(fù)雜，不利于求出，但觀察發(fā)現(xiàn)可將中的項(xiàng)重新組合，進(jìn)而能夠和找到聯(lián)系。，求和可得，若為整數(shù)，則能被整除，而，考慮可將寫成，通過二項(xiàng)式定理展開并找到最小的正整數(shù)解：若為整數(shù)，因?yàn)榧茨鼙徽钥傻脮r(shí)，能被整除的最小值是例8：已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若（1）求（2）對，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個數(shù)記為①求②記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）設(shè)的公差為解得：（2）①②思路：由①可得：，，則所解方程變形為：，得到關(guān)于的不定方程，可考慮對進(jìn)行變量分離，以等式左右邊的符號作為突破口（左邊為正數(shù)），得到，即，然后代入解出符合條件的即可解：由①可得：由可得：時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：存在這樣的，滿足所給方程小煉有話說：1、本題中②的方程，并沒有在一開始就將代入，否則運(yùn)算會復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡變形，變形完成之后再代入?？珊喕槐匾倪\(yùn)算2、本題在解的不定方程所用的方法為變量分離法，將兩個只含某一字母的式子用等號連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致。以其中一個式子作為突破口（比如），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)系將變量所能取的值確定下來。例9：已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對任意的，都有：，若，則：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請求出該項(xiàng)，若不存在，請說明理由解：（1）①②①②可得：令，則令，則令，則所以有：，