2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第11煉 函數(shù)零點的性質(zhì)問題含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第11煉函數(shù)零點的性質(zhì)問題含答案第11煉函數(shù)零點的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)零點，方程，圖像交點的相互轉(zhuǎn)化：有關(guān)零點個數(shù)及性質(zhì)的問題會用到這三者的轉(zhuǎn)化，且這三者各具特點：（1）函數(shù)的零點：有“零點存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過區(qū)間端點值的符號和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點（2）方程：方程的特點在于能夠進行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達式分別構(gòu)造為兩個可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊（3）圖像的交點：通過作圖可直觀的觀察到交點的個數(shù)，并能初步判斷交點所在區(qū)間。三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點2、此類問題的處理步驟：（1）作圖：可將零點問題轉(zhuǎn)化成方程，進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像（2）確定變量范圍：通過圖像與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍（3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達式的值，3、常見處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為，從而用可表示出，將關(guān)于的表達式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達式，進而可求出范圍或最值（2）利用對稱性解決對稱點求和：如果關(guān)于軸對稱，則；同理，若關(guān)于中心對稱，則也有。將對稱的點歸為一組，在求和時可與對稱軸（或?qū)ΨQ中心）找到聯(lián)系二、典型例題：例1：已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先做出的圖像，通過圖像可知，如果，則，設(shè)，即，由范圍可得：，從而，所以，而，所以答案：C小煉有話說：（1）此類問題如果圖像易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點（2）本題有兩個關(guān)鍵點，一個是引入輔助變量，從而用表示出，達到消元效果，但是要注意是有范圍的（通過數(shù)形結(jié)合需與有兩交點）；一個是通過圖像判斷出的范圍，從而去掉絕對值。例2：已知函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)，使得，則的取值范圍是________思路：的圖像可作，所以考慮作出的圖像，不妨設(shè)，由圖像可得：，且關(guān)于軸對稱，所以有，再觀察，且，所以，從而答案：小煉有話說：本題抓住關(guān)于對稱是關(guān)鍵，從而可由對稱求得，使得所求式子只需考慮的范圍即可例3：定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點之和為（）A.B.C.D.思路：為奇函數(shù)，所以考慮先做出正半軸的圖像，再利用對稱作出負半軸圖像，當時，函數(shù)圖象由兩部分構(gòu)成，分別作出各部分圖像。的零點，即為方程的根，即圖像與直線的交點。觀察圖像可得有5個交點：關(guān)于對稱，，且滿足方程即，解得：，關(guān)于軸對稱，答案：B例4：已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：從解析式中發(fā)現(xiàn)可看做與的交點，可看做與的交點，且，從而均可由進行表示，所以可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再求最小值即可解：由圖像可得：答案：B例5：已知函數(shù)有兩個不同的零點，則（）A.B.C.D.思路：可將零點化為方程的根，進而轉(zhuǎn)化為與的交點，作出圖像可得，進而可將中的絕對值去掉得：，觀察選項涉及，故將②①可得：，而為減函數(shù)，且，從而，即答案：D例6：已知函數(shù)，存在，，則的最大值為思路：先作出的圖像，觀察可得：，所求可先減少變量個數(shù)，利用可得：，從而只需求出在的最小值即可：，所以函數(shù)在單增，在單減。從而答案：例7：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（）A.B.C.D.思路：先做圖觀察實根的特點，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對稱，由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關(guān)于中心對稱，以此類推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位，所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點，其中，與關(guān)于中心對稱，所以有。所以答案：C例8：函數(shù)，直線與函數(shù)的圖像相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為，有以下四個結(jié)論①②③④若關(guān)于的方程恰有三個不同實根，則的取值唯一則其中正確的結(jié)論是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④思路：本題涉及到的取值，及4個交點的性質(zhì)，所以先作出的圖像，從而從圖上確定存在個交點時，的范圍是，所以①正確。從圖像上可看出在同一曲線，在同一曲線上，所以②③在處理時將放在一組，放在一組。②涉及到根的乘積，一方面為方程的兩根，所以由韋達定理，可得，而為方程的兩根，且，從而，即，所以有，②正確③由②中的過程可得：，，所以，從而，而，設(shè)，則為增函數(shù)，所以③正確④可將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)問題，通過作圖可得的值不唯一綜上所述：①②③正確答案：A例9：已知函數(shù)，若，且，則的值（）A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.與相關(guān)思路：觀察到當時，為單調(diào)函數(shù)，且時，的圖像相當于作時關(guān)于對稱的圖像再進行上下平移，所以也為單調(diào)函數(shù)。由此可得時，必在兩段上。設(shè)，可得，考慮使用代換法設(shè)，從而將均用表示，再判斷與的大小即可。解：設(shè)，不妨設(shè)，則若，則為減函數(shù)，且若，則為增函數(shù)，且的值恒大于2答案：B例10：定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)的所有零點的和為（）A．B．C．D．思路：從可得：函數(shù)是以區(qū)間為一段，其圖像為將前一段圖像在水平方向上拉伸為原來的2倍，同時豎直方向上縮為原來的，從而先作出時的圖像，再依以上規(guī)律作出的圖像，的零點無法直接求出，所以將轉(zhuǎn)化為，即與的交點。通過作圖可得，其交點剛好位于每一段中的極大值點位置，可歸納出中極大值點為，所以所有零點之和為答案：D小煉有話說：（1）本題考查了合理將軸劃分成一個個區(qū)間，其入手點在于的出現(xiàn)，體現(xiàn)了橫坐標之間2倍的關(guān)系，從而所劃分的區(qū)間長度成等比數(shù)列。（2）本題有一個易錯點，即在作圖的過程中，沒有發(fā)現(xiàn)恰好與相交在極大值點處，這一點需要通過計算得到：當時，，從而歸納出規(guī)律。所以處理圖像交點問題時，如果在某些細節(jié)很難通過作圖直接確定，要通過函數(shù)值的計算來確定兩圖像的位置三、近年模擬題題目精選1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，若存在，當時，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.2、（2016，蘇州高三調(diào)研）已知函數(shù)有且只有三個零點，設(shè)此三個零點中的最大值為，則_________3、已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關(guān)系是_______4、已知函數(shù)的零點為，有使得，則下列結(jié)論不可能成立的是（）A.B.C.D.5、已知，若方程有四個不同的解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.習題答案：1、答案：C解析：如圖可知：2、答案：解析：，即與恰有三個公共點，通過數(shù)形結(jié)合可得：橫坐標最大值為直線與曲線在相切的切點。設(shè)改點，的導(dǎo)數(shù)為，所以，代入到所求表達式可得：3、答案：解析：，在同一坐標系下作出如圖所示可得。令，解得，所以，從而4、答案：C解析：可判斷出為減函數(shù)，則包含兩種情況，一個是均小于零?？芍敃r，。所以的零點必在中，即，A選項可能；另一種情況為，則，即B,D選項可能。當時，由和為減函數(shù)即可得到不再存在零點。5、答案：B解析：作出的圖像可知若有四個不同的解，則，且在這四個根中，關(guān)于直線對稱，所以，，所以，即，所以，由可得的范圍是6、答案：B解析：不妨設(shè)，作出的圖像可知若與有四個不同交點，則，且關(guān)于軸對稱。所以有即因為，所以，求出該表達式的范圍即為第12煉復(fù)合函數(shù)零點問題一、基礎(chǔ)知識：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)，，且函數(shù)的值域為定義域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復(fù)合函數(shù)，記為2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計算解：3、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求解：令，則解得當，則當，則綜上所述：由上例可得，要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對應(yīng)的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點問題，先回顧零點的定義：4、函數(shù)的零點：設(shè)的定義域為，若存在，使得，則稱為的一個零點5、復(fù)合函數(shù)零點問題的特點：考慮關(guān)于的方程根的個數(shù)，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個被幾個對應(yīng)，將的個數(shù)匯總后即為的根的個數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù)零點問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于的方程中解的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與的圖像特點，分配每個函數(shù)值被幾個所對應(yīng)，從而確定的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1：設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程由3個不同的解，則______思路：先作出的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的，滿足的的個數(shù)分別為2個（）和3個（），已知有3個解，從而可得必為的根，而另一根為或者是負數(shù)。所以，可解得：，所以答案：5例2：關(guān)于的方程的不相同實根的個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.8思路：可將視為一個整體，即，則方程變?yōu)榭山獾茫夯?，則只需作出的圖像，然后統(tǒng)計與與的交點總數(shù)即可，共有5個答案：C例3：已知函數(shù)，關(guān)于的方程（）恰有6個不同實數(shù)解，則的取值范圍是．思路：所解方程可視為，故考慮作出的圖像：，則的圖像如圖，由圖像可知，若有6個不同實數(shù)解，則必有，所以，解得答案：例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關(guān)于的方程的實數(shù)根個數(shù)為（）A.B.C.D.思路：已知方程可解，得，只需統(tǒng)計與的交點個數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出的圖像，時，，則的圖像只需將的圖像縱坐標縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負半軸圖像。通過數(shù)形結(jié)合可得共有7個交點答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)有極值點，且，則關(guān)于的方程的不同實根的個數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6思路：由極值點可得：為①的兩根，觀察到方程①與結(jié)構(gòu)完全相同，所以可得的兩根為，其中，若，可判斷出是極大值點，是極小值點。且，所以與有兩個交點，而與有一個交點，共計3個；若，可判斷出是極小值點，是極大值點。且，所以與有兩個交點，而與有一個交點，共計3個。綜上所述，共有3個交點答案：A例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因為最多只能解出2個，若要出七個根，則，所以，解得：答案：B例7：已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：，分析的圖像以便于作圖，時，，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，且當，所以正半軸為水平漸近線；當時，，所以在單調(diào)遞減。由此作圖，從圖像可得，若恰有4個不等實根，則關(guān)于的方程中，，從而將問題轉(zhuǎn)化為根分布問題，設(shè)，則的兩根，設(shè)，則有，解得答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例8：已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)判斷正確的是（）A.當時，有4個零點；當時，有1個零點B.當時，有3個零點；當時，有2個零點C.無論為何值，均有2個零點D.無論為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程的解的個數(shù)，先作出的圖像，直線為過定點的一條直線，但需要對的符號進行分類討論。當時，圖像如圖