高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第13講 拓展一：平面向量綜合問題（教師版）

第13講拓展一：平面向量綜合問題題型01平面向量共線定理及其推論【典例1】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)是的重心，所以.因?yàn)?，所以，綜上，.因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，則，即.因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為.故選：B【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)镺是的內(nèi)心，所以為的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得，所以,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，則，因?yàn)椋?，故選：D【典例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【詳解】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.【變式1】（2023下·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)O滿足，過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，且，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】由題可知，，因?yàn)?，，所以，，又，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：A

【變式2】（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)是邊所在直線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，若向量，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．9【答案】B【詳解】，，，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為4．故選：B．【變式3】（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）已知長(zhǎng)方形中，，是線段的中點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知，

設(shè)則,又，所以，解得，所以.故選：A.題型02平面向量數(shù)量積（最值，范圍）問題【典例1】（2023下·天津·高一統(tǒng)考期末）在中，，，.若，分別為邊，上的點(diǎn)，且滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)椋?，函?shù)開口向下，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：A【典例2】（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓的圓心為，且，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【詳解】由正弦定理得，故，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則，故.故選：C【典例3】（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的重心為G，設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，則的最小值為．【答案】【詳解】由題意，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸建立直角坐標(biāo)系，可作圖如下：由為等邊的重心，則，，即，，設(shè)，則，，，對(duì)于，，故.故答案為：.【典例4】（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，是邊所在直線上的一點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【詳解】

取的中點(diǎn)，連接，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最小值，此時(shí)菱形的面積，最小值為，因?yàn)槭沁吽谥本€上的一點(diǎn)，所以無最大值，無最大值，的取值范圍為，故答案為：【變式1】（多選）（2023下·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┰谥?，，，，為內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】在中，，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則、、，因?yàn)闉閮?nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，為銳角，且，因?yàn)?，則，由可得，由得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)?，，則，故選：BCD.【變式2】（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．

【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，,所在直線分別為,軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則，，當(dāng)時(shí),有最小值3，當(dāng)或2時(shí)，有最大值為4，的取值范圍為.故答案為：.

【變式3】（2023下·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在中，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/-2.56【詳解】由于，所以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則有：，設(shè)點(diǎn)，且，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：．【變式4】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是以為直徑的上半圓上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)，），是的中點(diǎn)，，則的最大值是．

【答案】2【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即與重合時(shí)取等號(hào)，故的最大值是2．故答案為：2題型03平面向量的模（最值，范圍）問題【典例1】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于．【答案】【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，因?yàn)?，，所以，即，則，所以，因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，即，即對(duì)于恒成立，故，又，解得，綜上，，則的最小值為.故答案為：.【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，則，所以，所以，故，因?yàn)椋?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【典例3】（2023下·上海閔行·高一校考階段練習(xí)）已知，，，且，為鈍角，若的最小值為，則的最小值是【答案】【詳解】，因?yàn)榈淖钚≈禐椋缘淖钚≈禐?，又，所以，所以，又為鈍角，所以，即，則，所以，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí).故答案為：【典例4】（2023下·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）在△ABC內(nèi)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的值；(2)若，點(diǎn)D是AC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求BD的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵．∴由正弦定理，得．∴．∴．又，∴．又∵，∴．又，∴．（2）由題意可知，,即，所以，，，且，所以，，由可知，，所以，則的取值范圍是.【變式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最大值為．【答案】【詳解】由題可得，，則，因D,P,C三點(diǎn)共線，則.又注意到，結(jié)合，余弦定理可得：.則.又由基本不等式，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則.故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，若的最大值為1，的取值范圍為．【答案】【詳解】設(shè)向量的夾角為θ，則；又,所以，所以,所以，又，所以，所以的取值范圍是．故答案為：．【變式3】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在中，分別為角所對(duì)的邊，．(1)求角的大?。?2)若的面積為，且，，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因?yàn)?，所以，由余弦定理得，化?jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所?解法2：因?yàn)椋?，由正弦定理得，因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最小值為．題型04平面向量夾角（最值，范圍）問題【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】由，可得；所以；因此，所以，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)的最小值為.故選：C【典例2】（2023下·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，的夾角為，則，所以，又，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，則，又，，則，所以，所以，故的最大值為.故選：D．【典例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.【典例4】（2023上·山東菏澤·高三菏澤一中校考階段練習(xí)）已知向量，滿足，若對(duì)任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【答案】【詳解】由，若對(duì)任意模為的向量，均有，由三角不等式得，，因?yàn)橄蛄繛槿我饽榈南蛄浚援?dāng)向量與向量夾角為時(shí)，上式也成立，設(shè)向量的夾角為.，，平方得到，即，則，即，即，同時(shí)，所以，平方得到，即，解得，即，，綜上，又因?yàn)?，即，向量的夾角的取值范圍.故答案為：.【變式1】（2022上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，；，即，；設(shè)向量與所成夾角為，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；又，.故選：A.【變式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：A.【變式3】（2023上·天津北辰·高三校考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足．記，，用表示；若，則的最大值為．【答案】/30°【詳解】

如圖所示，結(jié)合題意知：；若，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，由余弦函數(shù)的單調(diào)性得，所以的最大值為.故答案為：；.【變式4】（2023上·廣東深圳·高三深圳市云頂學(xué)校校考階段練習(xí)）已知平面單位向量滿足，設(shè)，，向量的夾角為，則的最小值是．【答案】【詳解】，，，；設(shè)，則，，令，則，，，，，即的最小值為.故答案為：.題型05平面向量投影（投影向量）【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則在方向上的投影向量的模為，故選：B．【典例2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)是圓：上的一點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量的模的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)直線傾斜角為，的傾斜角為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即由圓：，即，所以圓心，半徑，又點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線的距離，解得，即，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為與圓相切，成立，此時(shí)，綜上，，則，所以，即所以，即，又所以向量在向量上的投影向量的模為，故答案為：.【典例3】（2022上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)任意平面向量，把B繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針后得到點(diǎn)P，向量為向量在向量上的投影向量，則.【答案】/【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.故答案為：.【變式1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】依題意，，向量在向量上的投影向量：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A【變式2】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為．（結(jié)果用表示）．【答案】【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由，可設(shè)，，

得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）．因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，所以也為的角平分線，為的內(nèi)心．如圖，設(shè)，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上的投影長(zhǎng)為，則在上的投影向量為，故答案為：【變式3】（2023下·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為.【答案】【詳解】因?yàn)?，與的夾角，則，所以，所以在上的投影向量為.故答案為：題型06平面向量中的新文化，新定義題【典例1】（2023上·廣東深圳·高二校考階段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，而所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量、夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知、、，若、的余弦距離為，，則、的余弦距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，，，，，由已知，可得，①又因?yàn)?，②?lián)立①②可得，，因此，、的余弦距離為，故選：A.【典例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）下圖是北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

【典例3】（多選）（2023下·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，、為正八邊形內(nèi)的點(diǎn)（含邊界），在上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C．的最大值為 D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，正八邊形的內(nèi)角為，易知，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、，則為正八邊形外接圓的一條直徑，則，

所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：

設(shè)在方向上的投影向量為，由圖形可知，當(dāng)、分別在線段、上時(shí)，取最大值，且的最大值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最大值，此時(shí)，，綜上所述，，D對(duì).故選：ABD.【典例4】（2023下·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┲貞c榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形，其中，，動(dòng)點(diǎn)在上（含端點(diǎn)），連接交扇形的弧于點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】BC【詳解】如圖，作，分別以，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由可得，，且，若，則，，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；由，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故B正確；由于，故，而，所以，所以，故C正確，，由于，故，故，故D錯(cuò)誤；故選：BC【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得則，又，∴，∴，，，故選：【變式2】（多選）（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）剪紙藝術(shù)是一種中國(guó)傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫(kù)中的一種珍藏．某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀看了2022年北京冬奧會(huì)的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺(tái)上漂亮的“雪花”圖案（如圖1）所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”，它的平面圖可簡(jiǎn)化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其中，六邊形ABCDEF為正六邊形，，，為等邊三角形，P為該平面圖形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則（

）

A． B．C．若，則λ＋μ的最大值為