高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第25講 8.1基本立體圖形（第2課時(shí) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征）（教師版）

第02講8.1基本立體圖形（第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義.2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。②了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征。③了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征1.通過(guò)閱讀課本解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義；2.在棱柱、棱錐與棱臺(tái)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征；3.了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征．靈活運(yùn)用各種知識(shí)解決組合體問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)01：圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱【即學(xué)即練1】1（2024上·上?！じ叨虾煷蟾街行？计谀┯靡粋€(gè)平面截如圖所示圓柱體，截面的形狀不可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)截面與軸截面垂直時(shí)，得到的截面形狀是圓；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)截面與軸截面平行時(shí)，得到的截面形狀是長(zhǎng)方形；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)截面與軸截面斜交時(shí)，得到的截面形狀是橢圓；對(duì)于選項(xiàng)D：截面的形狀不可能是等腰梯形；故選：D知識(shí)點(diǎn)02：圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.故選：A.知識(shí)點(diǎn)03：圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)【即學(xué)即練3】（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中學(xué)?？计谀┮阎硤A臺(tái)上底面和下底面的半徑分別為1和2，母線長(zhǎng)為3，則該圓臺(tái)的高為【答案】【詳解】根據(jù)題意，作出圓臺(tái)的圖形，如圖所示：圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，母線長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的高．故答案為：．知識(shí)點(diǎn)04球的結(jié)構(gòu)特征（1）定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球（2）相關(guān)概念：球心：半圓的圓心半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線段【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）銅錢(qián)又稱(chēng)方孔錢(qián)，是古代錢(qián)幣最常見(jiàn)的一種．如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”，由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個(gè)球B．一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球挖去一個(gè)正方體【答案】B【詳解】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱，故選：B.題型01圓柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2023上·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)?？计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中的一個(gè)問(wèn)題，其意思為“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為一丈，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)幾丈幾尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少長(zhǎng)是．【答案】尺【詳解】將圓柱形圓木沿一條母線剪開(kāi),兩個(gè)側(cè)面展開(kāi)圖沿母線拼接，得如下長(zhǎng)方形尺，尺，

所以葛藤最少長(zhǎng)為尺.故答案為：尺【典例2】（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則的面積的范圍．【答案】【詳解】解：如圖1，設(shè)上底面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則，根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長(zhǎng)短變化而變化，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)取得最大值為；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取最小值2，此時(shí)取得最小值為，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓柱的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線.若直線與所成角的大小為，則.【答案】/【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作與母線平行的母線,則即為直線與所成角，故，在中，,則,故答案為：【變式2】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱的軸截面面積為，求該等邊圓柱的底面周長(zhǎng)和高.【答案】該等邊圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為【詳解】如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD，由題意知，四邊形ABCD為正方形設(shè)圖柱的底面半徑為r，則.軸截面ABCD的面積，解得.所以該等邊圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為.題型02圓柱截面有關(guān)計(jì)算【典例1】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P，Q分別為線段BC，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接EC，將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到的位置，

且在AB的延長(zhǎng)線上．則，由于圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，故，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，即的最小值為，故選：C【典例2】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)當(dāng)x＝3時(shí)，S最大，最大值為6.詳解：畫(huà)出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(1)圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S最大，最大值為6.【變式1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓柱的底面半徑為2，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在圓柱的下底面圓上，若圓柱的側(cè)面積為，且，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【詳解】如下圖所示：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，由圓柱的側(cè)面積為可得，得，連接AE，則，連接BE，則，故，故.故選：A.【變式2】（2023上·上海浦東新·高二校考期末）從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個(gè)深度為米的圓錐筒（如圖2）.若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.（1）求圓錐筒的容積；（2）在（1）中的圓錐內(nèi)有一個(gè)底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱（如圖3），求內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時(shí)的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)圓錐筒的半徑為，容積為，∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，∴，解得，∴，∴.∴圓錐筒的容積為.（2）設(shè)內(nèi)接圓柱高為則有，由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖，得，所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積，所以當(dāng)時(shí)內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大.題型03圓柱展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一個(gè)矩形邊長(zhǎng)為1和4，繞它的長(zhǎng)為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開(kāi)口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過(guò)的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高將圓柱的側(cè)面（一半）展開(kāi)后得矩形，其中，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)，使最短，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，則得的最小值就是為．故選：A【典例2】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，在圓柱中，，分別為圓，的直徑，，，為的中點(diǎn)，則一只螞蟻在圓柱表面從爬到的最短路徑的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，把半圓柱側(cè)面展開(kāi)，得到側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，在圓柱中，因?yàn)?，可得，即矩形中，，，則最短路徑的長(zhǎng)度為．故選：A.

【典例3】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點(diǎn)，且，在母線上取一點(diǎn)，使，則圓柱側(cè)面上P、Q兩點(diǎn)的最短距離為．

【答案】【詳解】如圖，把圓柱的半個(gè)側(cè)面展開(kāi)，是一個(gè)下長(zhǎng)為，寬為的矩形，

，，過(guò)作，為垂足，所以，即可把放在一個(gè)直角邊為和的直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：.故答案為：.【變式1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖在一根長(zhǎng)11，外圓周長(zhǎng)6的圓柱形柱體外表面，用一根細(xì)鐵絲纏繞，組成10個(gè)螺旋，如果鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線上，則鐵絲長(zhǎng)度的最小值為（

）

A．61 B． C． D．【答案】A【詳解】圓柱形柱體的高為11，外圓周長(zhǎng)6，又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則我們可以得到將圓柱面展開(kāi)后得到的平面圖形如下圖示：其中每一個(gè)小矩形的寬為圓柱的周長(zhǎng)6，高為圓柱的高11，則大矩形的對(duì)稱(chēng)線即為鐵絲的長(zhǎng)度最小值．此時(shí)鐵絲的長(zhǎng)度最小值為：．故選：A．

【變式2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）邊長(zhǎng)為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是（

）A．10cm B．5cmC．5cm D．cm【答案】D【詳解】圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，

展開(kāi)后，∴，即為所求最短距離．故選:D.【變式3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，圓柱高為2，底面半徑為1，則在圓柱側(cè)面上從A出發(fā)經(jīng)過(guò)母線到達(dá)的最短距離為.【答案】【詳解】把圓柱側(cè)面沿母線剪開(kāi)攤平為一個(gè)矩形，如圖，，所求最短距離為．故答案為：．題型04圓錐的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)四分之一圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.故選：C.【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）圓錐的軸截面有多少個(gè)？母線有多少條？圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線嗎？【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】如圖，因?yàn)樗羞^(guò)直線與圓錐所截的面，都是圓錐的軸截面，例如圖中面與面，所以圓錐的軸截面有無(wú)窮多個(gè)，因?yàn)閳A錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線稱(chēng)為圓錐的母線，所以圓錐的母線有無(wú)窮多條，例如圖中等，故此，圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.【變式1】（2023上·四川樂(lè)山·高二統(tǒng)考期末）如圖，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為（

）A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺(tái) D．球【答案】A【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐故選：A【變式2】（2023上·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是，則圓錐的高為；母線的長(zhǎng)為.【答案】2【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)檩S截面的面積為，可得a2＝，解得，由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為，圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長(zhǎng)為.故答案為：；；題型05圓錐截面有關(guān)計(jì)算【典例1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐底邊的半徑r滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則，.故選：D.

【典例2】（2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）圓錐的母線長(zhǎng)為4，側(cè)面積是底面積的倍，過(guò)圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（

）A．8 B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為，則，得，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，即，則θ為鈍角，所以當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時(shí)，截面面積最大，最大值為.故選：A.【典例3】（2023上·重慶·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓錐的底面面積為，高，則該圓錐的母線長(zhǎng)為【答案】11【詳解】

如圖，作出圓錐的軸截面，點(diǎn)為底面圓心.設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為由已知可得，，解得，所以.又，所以，，解得，即.故答案為：11.【變式1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，，解得，由圓錐母線長(zhǎng)為2，可得圓錐軸截面的頂角為，當(dāng)截面頂角為時(shí)，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大，此時(shí).故選：C.【變式2】（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積是.【答案】【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)?，所以，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故答案為：【變式3】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為．若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則其高度應(yīng)為（精確到）．【答案】【詳解】如下圖所示：在圓錐中，為圓的一條直徑，由題意可知，，，所以，，由，故.故答案為：.題型06圓錐展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題【典例1】（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）某景區(qū)為提升游客觀賞體驗(yàn)，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1）．現(xiàn)測(cè)量其中一個(gè)屋頂，得到圓錐的底面直徑長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為（如圖2）．若是母線的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S），從點(diǎn)A到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線展開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇形，則的長(zhǎng)度即為燈光帶的最小長(zhǎng)度，

，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長(zhǎng)度為.故選：C.【典例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為（

）A． B．16 C．24 D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為，則由題可得，則，在中，，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為.故選：A.【典例3】（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，，點(diǎn)在底面圓周上，且.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為

【答案】【詳解】連接，依題意平面，而平面，所以，，是的中點(diǎn)，則，由于，所以，則三角形是等邊三角形，三角形是等腰直角三角形，

將三角形和三角形展開(kāi)在同一個(gè)平面，如下圖所示，

連接，交于，在三角形中，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)最小值為.故答案為：【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長(zhǎng)SA為4，若小蟲(chóng)P從點(diǎn)A開(kāi)始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲(chóng)爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長(zhǎng)等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得2π＝，解得n＝90，所以展開(kāi)圖中∠PSC＝90°，故PC＝2，所以小蟲(chóng)爬行的最短距離為2.故選：A【變式2】（2023上·廣東佛山·高三佛山一中校考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為2，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于．【答案】【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線展開(kāi)成如圖所示的扇形，則為小蟲(chóng)爬行的最短路徑.依題意：小蟲(chóng)爬行的最短路程為.因?yàn)槟妇€長(zhǎng)，所以在中．則由弧長(zhǎng)公式得：．設(shè)圓錐底面圓的半徑為r.則，解得故答案為：【變式3】（2023上·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長(zhǎng)為40公里，母線一點(diǎn)，且公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路，則這段鐵路的長(zhǎng)度為公里.

【答案】50【詳解】

如圖，將圓錐沿剪開(kāi)，則圓錐的母線即扇形的半徑，圓錐底面圓的周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)為，所以圓心角，即.又，，所以，.所以，這段鐵路的長(zhǎng)度為公里.故答案為：50.題型07圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2023下·陜西榆林·高一?？计谥校┫铝薪o出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺(tái)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】由圖可知，A選項(xiàng)中的直角梯形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺(tái)，B選項(xiàng)中的半圓繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成球體，C選項(xiàng)中的矩形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓柱，D選項(xiàng)中的直角三角形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓錐．故選：A【典例2】（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）設(shè)圓臺(tái)的上底面和下底面的半徑分別為和，母線長(zhǎng)為，則該該圓臺(tái)的高為.【答案】【詳解】作出圓臺(tái)的軸截面，如圖示為等腰梯形，

梯形的高即為圓臺(tái)的高，即高為，故答案為：【變式1】（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為，截得圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．【答案】．【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為，．過(guò)軸作截面，如圖所示．則，，所以，所以，解得，即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）—個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5，兩底面直徑分別為2和8，求圓臺(tái)的高.【答案】4.【詳解】圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其中，，，為高，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，在中，，，∴.故圓臺(tái)的高為4.

題型08圓臺(tái)展開(kāi)圖【典例1】（2023下·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為，其中，則該圓臺(tái)的高為（

）

A．1 B． C． D．4【答案】C【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為，所以在圓錐中有：，所以，又在圓錐中有：，所以，所以該圓臺(tái)的高為：，故選：C.【典例2】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6.求軸截面相對(duì)頂點(diǎn)A、C在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離.【答案】.【詳解】如圖所示：沿母線剪開(kāi)將圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)圖中線段的長(zhǎng).設(shè)圓臺(tái)的上底面、下底面半徑分別為、，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖圓心角，，且B、C分別為所在弧的中點(diǎn)，所以在等腰三角形中，，則是等邊三角形，因?yàn)?，所以，而，C為的中點(diǎn)，所以，即A、C兩點(diǎn)在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離為.【變式1】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，上、下底面半徑分別為和，從母線的中點(diǎn)M拉條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩長(zhǎng)的最小值．【答案】．【詳解】作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示，由軸截面中與相似，得，可求得．設(shè)，由于的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，而底面圓Q的周長(zhǎng)為,扇形的半徑為，扇形所在圓的周長(zhǎng)為．所以的長(zhǎng)度為所在圓周長(zhǎng)的，所以．所以在中，，所以，即所求繩長(zhǎng)的最小值為．【變式2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為，從母線AB的中點(diǎn)拉一條細(xì)繩，圍繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的點(diǎn)，求BM間細(xì)繩的最短長(zhǎng)度.

【答案】【詳解】如圖所示：圓臺(tái)的展開(kāi)圖，設(shè)，，為最短距離，

則，，解得，，故.故BM間細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為.題型09球的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2023上·四川樂(lè)山·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個(gè)幾何體是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺(tái) D．球【答案】D【詳解】對(duì)于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；對(duì)于B：由于圓錐的軸截面是一個(gè)等腰三角形，故B不符合題意；對(duì)于C，圓臺(tái)軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；對(duì)于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．故選：D．【典例2】（2023下·四川成都·高一樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）半徑為1的球放在教室的墻角，緊靠?jī)蓧γ婧偷孛?，墻角頂點(diǎn)到球面上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)球心到墻角的距離為，球心半徑為，則，則距離為棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即，則墻角頂點(diǎn)到球面上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離等于.故選：D.【變式1】（2023下·山東棗莊·高一?？茧A段練習(xí)）下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（

）A．五棱柱 B．六棱錐 C．八棱臺(tái) D．球【答案】D【詳解】根據(jù)一個(gè)平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，判斷球是旋轉(zhuǎn)體；一個(gè)幾何體圍成它的各個(gè)面都是多邊形，這個(gè)幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、六棱柱、八棱臺(tái)都是多面體．故選：D【變式2】（2024上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）東方明珠廣播電視塔是上海的標(biāo)志性文化景觀之一，塔高約468米，上球體的直徑為45米，且上球體的球心O到塔底的距離與塔高的比值為黃金分割比(約為0.618)．若P為上球體球面上一點(diǎn)，且與地平面(塔頂與O的連線垂直地平面)所成的角為，P在上球體的上半部分，則P到地平面的距離約為(

)A．297米 B．300米 C．303米 D．306米【答案】B【詳解】∵上球體的球心O到塔底的距離米，∴P到地平面的距離為米．題型10球的截面性質(zhì)及計(jì)算【典例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期末）已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺(tái)的外接球球心為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，如圖所示，因?yàn)椋?，所以，解得，所?故選：B.【典例2】（2023下·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知球的半徑為5，球心到平面的距離為3，則平面截球所得的小圓的半徑長(zhǎng)是（

）

A．2 B．3 C． D．4【答案】D【詳解】如圖所示，為球面上一點(diǎn)，則，球心到平面的距離為3，即，且，則小圓的半徑長(zhǎng)即為，在中，由勾股定理可得，解得.故選：D【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩(shī)為“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過(guò)八萬(wàn)里路程.詩(shī)中所提到的八萬(wàn)里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯（即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為），且.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過(guò)的路程約為萬(wàn)里.【答案】6【詳解】由題意可知，赤道周長(zhǎng)為萬(wàn)里，則地球半徑萬(wàn)里.

設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn)，所形成圓的半徑為，則萬(wàn)里，則該圓的周長(zhǎng)萬(wàn)里.故答案為：6.【變式1】（2023上·北京·高二清華附中?？计谥校┮阎矫媾c平面間的距離為3，定點(diǎn)，設(shè)集合，則S表示的曲線的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在空間中，集合表示以點(diǎn)A為球心，半徑的球面，記表示平面，可知，所以S表示的曲線球A與平面所截得的圓周，設(shè)其圓心為，半徑為，

可知，則，所以S表示的曲線的長(zhǎng)度為.故選：B.【變式2】（2023下·北京東城·高一北京二中?？茧A段練習(xí)）經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱(chēng)，它們組成一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，稱(chēng)為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是利用三維空間的球面來(lái)定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系.能夠標(biāo)示地球上任何一個(gè)位置，其中緯度是地球重力方向上的鉛垂線與赤道平面所成的線面角.如世界最高峰珠穆朗瑪峰就處在北緯30°，若將地球看成近似球體，其半徑約為，則北緯30°緯線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】按照緯線的垂直方向，作圖如下，為所求緯線圈的直徑，過(guò)圓心作的垂線，垂足為，連接，在直角三角形中，，則北緯緯線的長(zhǎng)為．故選：A．

【變式3】（2023上·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知球的半徑為10，若它的一個(gè)截面圓的面積為，求球心與截面圓圓心的距離（）.【答案】8【詳解】

如圖，設(shè)截面圓的半徑為r，球心與截面圓圓心之間的距離為d，球半徑為R.由圖易得與圓面垂直，在中，由可得，又，所以()，即球心與截面圓圓心的距離為8.題型11球面距【典例1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)地球的半徑為，在北緯圈上有兩個(gè)點(diǎn)、．在西經(jīng)，在東經(jīng)，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖示：取球心為，取北緯緯線圈的圓心為，則⊥平面，則，，所以，因?yàn)樵诒本暼ι嫌袃蓚€(gè)點(diǎn)、，在西經(jīng)，在東經(jīng)，所以，在中，，所以為等邊三角形，則，所以、兩點(diǎn)的球面距離為.故選：A【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)在球心為O，半徑為R的球面上，，且，那么A，B兩點(diǎn)的球面距離為，球心到平面的距離為.【答案】【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，所以是截面的直徑，又，所以是等邊三角形所以，故兩點(diǎn)的球面距離為于是,所以球心到平面的距離：故答案為：；【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度（大圓就是經(jīng)過(guò)球心的平面截球面所得的圓），我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.已知正的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，球心到所在平面距離為，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)球心為點(diǎn)，平面截球所得截面圓的半徑為，由正弦定理可得，，又，所以，為等邊三角形，則，因此，、兩點(diǎn)間的球面距離為.故選：C.【變式2】（2023·上海浦東新·?？家荒＃┰诘亩娼莾?nèi)放置一個(gè)半徑為6的小球，它與二面角的兩個(gè)半平面相切于、兩點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)在球面上的距離是【答案】【詳解】設(shè)球心為O，由球的性質(zhì)知，OA，OB分別垂直于二面角的兩個(gè)面，又二面角的平面角為120°，故∠AOB＝60°，∵半徑為6的球切兩半平面于A，B兩點(diǎn)∴兩切點(diǎn)在球面上的距離是6×＝2π．故答案為2π．題型12簡(jiǎn)單組合體【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎(jiǎng)杯，該幾何體由（

）A．一個(gè)球、一個(gè)四棱柱、一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成B．一個(gè)球、一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)棱臺(tái)構(gòu)成C．一個(gè)球、一個(gè)四棱臺(tái)、一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成D．一個(gè)球、一個(gè)五棱柱、一個(gè)校臺(tái)構(gòu)成【答案】B【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)球、一個(gè)長(zhǎng)方體、一個(gè)棱臺(tái)構(gòu)成.故選：B.【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若正五邊形的中心為，以所在的直線為軸，其余五邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則（

）A．該幾何體為圓臺(tái)B．該幾何體是由圓臺(tái)和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體C．該幾何體為圓柱D．該幾何體是由圓柱和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體【答案】B【詳解】由題意可知形成如圖的幾何體，

該幾何體是由圓臺(tái)和圓錐組合而成的簡(jiǎn)單組合體.故選：B【典例3】（2024上·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知“水滴”的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱(chēng)為“球冠”）所圍成的幾何體．如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段AB，AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)B，C所在直線與水平面平行，AB和AC與圓弧相切．已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)優(yōu)弧BC所在圓的圓心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，如圖所示．易知“水滴”的“豎直高度”為，“水平寬度”為2R，由題意知，解得．因?yàn)锳B與圓弧相切于點(diǎn)B，所以．在Rt△ABO中，，又，所以．由對(duì)稱(chēng)性知，，則，所以．故選：D.【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的簡(jiǎn)單組合體的組成是（

）A．棱柱、棱臺(tái) B．棱柱、棱錐C．棱錐、棱臺(tái) D．棱柱、棱柱【答案】B【詳解】由圖知，簡(jiǎn)單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.故選：B.【變式2】（2024上·河南漯河·高三漯河高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在處的離散曲率為其中，為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，…，，遍歷多面體的所有以為公共點(diǎn)的面，如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體（每個(gè)面都是全等的正多邊形的多面體是正多面體），若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于正四面體，其離散曲率；對(duì)于正八面體，其離散曲率；對(duì)于正十二面體，其離散曲率；對(duì)于正二十面體，其離散曲率；因?yàn)椋?，故選：B.【變式3】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是.①該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體；②該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)；③該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形；④該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形．【答案】④【詳解】平面ABCD可將該幾何體分割成兩個(gè)四棱錐，因此該幾何體是這兩個(gè)四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個(gè)截面，而不是一個(gè)面.故答案為：④.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（

）．A． B． C．3 D．2【答案】B【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，由題得,所以.所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.故選：B2．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，其母線長(zhǎng)度為2，則底面半徑為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】設(shè)圓的半徑為，則底面圓的周長(zhǎng)為.由題意得：弧長(zhǎng)度為.根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)，可得：，解得.故選：A.3．（2023下·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐B．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形D．直角三角形繞一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐【答案】C【詳解】對(duì)于A，有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形構(gòu)成的幾何體是棱錐,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（

）A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面D．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【答案】A【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的特點(diǎn)，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故A正確；對(duì)于B，以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓柱、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面，而圓錐只有一個(gè)底面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：A.5．（2023下·甘肅酒泉·高二校考期末）以下說(shuō)法正確的是（

）A．半圓弧以其直徑所在的的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球；B．球的大圓的半徑等于球的半徑；C．球面和球是同一個(gè)概念；D．經(jīng)過(guò)球面上不同的兩點(diǎn)只能做一個(gè)最大的圓.【答案】B【詳解】對(duì)于A，半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，而球面圍成的幾何體叫球，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，球的大圓的半徑等于球的半徑，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)榘雸A繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，而球面圍成的幾何體叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，如果球面上的兩點(diǎn)是球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則可以作無(wú)數(shù)個(gè)大圓，所以D錯(cuò)誤，故選：B6．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）如圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱，不合題意；B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓錐，合題意.故選：D.7．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，對(duì)其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱 B．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐C．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱 D．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺(tái)【答案】C【詳解】螺母這個(gè)組合體的外部輪廓圖是六棱柱，由于螺母是旋擰在螺桿上的，則挖去的部分是圓柱，選項(xiàng)C表述準(zhǔn)確.故選：C8．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將圓柱側(cè)面展開(kāi)半周，則展開(kāi)矩形長(zhǎng)為，，.故選：C.9．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》一書(shū)中定義了圓錐與直角圓錐這兩個(gè)概念：固定直角三角形的一條直角邊，旋轉(zhuǎn)直角三角形到開(kāi)始位置，所形成的圖形稱(chēng)為圓錐；如果固定的直角邊等于另一直角邊時(shí)，所形成的圓錐稱(chēng)為直角圓錐，則直角圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖（為一扇形）的圓心角的大小為（

）A． B．C． D．與直角圓錐的母線長(zhǎng)有關(guān)【答案】B【詳解】

設(shè)直角圓錐底面半徑，直角圓錐母線，直角圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為，由直角圓錐的定義可得，，則，由可得，.故選：B10．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩(shī)為“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過(guò)八萬(wàn)里路程.詩(shī)中所提到的八萬(wàn)里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯（即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為），且.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過(guò)的路程約為（

）A．萬(wàn)里 B．萬(wàn)里 C．萬(wàn)里 D．萬(wàn)里【答案】A【詳解】由題意可知，赤道周長(zhǎng)為萬(wàn)里，則地球半徑萬(wàn)里.設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn)，所形成圓的半徑為，則萬(wàn)里，則該圓的周長(zhǎng)萬(wàn)里.故選：A.二、多選題11．（2023下·廣東深圳·高一深圳市建文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑可能是A． B． C． D．【答案】AD【詳解】設(shè)底面半徑為,若矩形的長(zhǎng)恰好為圓柱的底面周長(zhǎng),則,所以；同理,若矩形的寬恰好為圓柱的底面周長(zhǎng),則,所以.故圓柱的底面半徑為或.故選：AD.12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，則（

）A．圓錐側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，扇形的圓心角為C．圓錐的體積為D．過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形的面積最大值為【答案】AB【詳解】由題意可知，該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為，弧長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面積為，故A正確；設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，扇形的圓心角為，又因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，所以，故B正確；如圖所示，圓錐的高為，圓錐的體積為，故C錯(cuò)誤；如圖，在中，，所以，所以軸截面三角形中，，設(shè)過(guò)過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形，其中，如下圖所示：過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形的面積為，當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)的截面三角形的面積最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13．（2023上·上海浦東新·高二?？计谥校┤魣A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為，面積為的扇形，則由它的兩條母線所確定的該圓錐的截面面積的最大值為.【答案】【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐軸截面的頂角為，則，解得，由余弦定理可得，則為鈍角，故當(dāng)兩條母線垂直時(shí)，圓錐的截面面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.14．（2023下·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知圓柱體的底面半徑為，高為，一只蝸牛從圓柱體底部開(kāi)始爬行，繞圓柱體4圈到達(dá)頂部，則蝸牛爬行的最短路徑長(zhǎng)為．【答案】【詳解】根據(jù)題意，從圓柱底部點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的點(diǎn)，沿將側(cè)面展開(kāi)后，最短路程，如圖所示，其中矩形的高等于圓柱的高，矩形的寬等于圓柱的底面圓的周長(zhǎng)的4倍，即，所以蝸牛爬行的最短路徑為.故答案為：.15．（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)