高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第27講 8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積（教師版）

第04講8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式。②理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積。1.通過閱讀課本培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和抽象思維能力；2.柱、錐、臺的側(cè)面積和體積問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，現(xiàn)就柱、錐、臺的側(cè)面積和體積的常見問題分類解析以下。對于棱柱、棱錐、棱臺的表面積，多采用面積累加的方式求解；3.特別地，若為正棱柱（錐、臺），各側(cè)面積相等，可用乘法計算；計算其體積時，關(guān)鍵是求底面積和高，并注意公式的運(yùn)用；知識點1：棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）正方體、長方體的表面積正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和長、寬、高分別為的長方體的表面積：棱長為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:棱錐的側(cè)面展開圖由若干個三角形拼成如圖棱臺的側(cè)面展開圖由若干個梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺的表面積：知識點2：棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺的體積①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長②棱臺的體積：(,分別為上下底面面積，為臺體的高)題型01棱柱的表面積【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【詳解】當(dāng)該幾何體為正四面體時，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正四棱錐時，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正三棱柱時，其表面積為．當(dāng)該幾何體為正方體時，其表面積為．故選：D．【典例2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）棱柱中，底面三角形的三邊長分別為3、4、5，高為（）.過三條側(cè)棱中點的截面把此三棱柱分為兩個完全相同的三棱柱，用這兩個三棱柱拼成一個三棱柱或四棱柱，小明嘗試了除原三棱柱之外的所有情形，發(fā)現(xiàn)全面積都比原三棱柱的全面積小，則a的取值范圍是.【答案】【詳解】由題知，原三棱柱是直三棱柱，設(shè)底面是以為直角頂點的直角三角形，且，，，設(shè)棱、、的中點分別為、、.原三棱柱的全面積（）.由題意，將原三棱柱分為兩個完全相同的三棱柱，記為直三棱柱和直三棱柱，如圖所示：當(dāng)拼成一個三棱柱時，有兩種情況，如圖①和②：圖①的全面積（），圖②的全面積（），當(dāng)拼成一個四棱柱時，有四種情況，如圖③、④、⑤、⑥：圖③的全面積（），圖④的全面積（），圖⑤的全面積（），圖⑥的全面積（），由上得，兩個三棱柱拼成一個新的三棱柱或四棱柱的全面積最大是（），則（），解得：，故a的取值范圍是.【典例3】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知一個正四棱柱的對角線的長是9，表面積等于144，求這個棱柱的側(cè)面積（）.【答案】112或72【詳解】設(shè)底面邊長、側(cè)棱長分別為，，則，解得或，所以或.【變式1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）在長方體中，.該長方體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，在長方體中，連接,

，，該長方體的表面積為.故選：D.【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，用若干棱長為的小正方體組成一個模型，該模型的表面積是.【答案】【詳解】根據(jù)所給幾何體，分別求得每層的側(cè)面積，再加上下底面積，減去覆蓋部分的面積，可知表面積為：故答案為：.【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.【答案】(1)2(2)【詳解】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1的中點，故側(cè)棱長為2.（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面積為S=S1+S2=12+2.題型02棱柱的體積【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為，互相平行的兩個側(cè)面的距離為2m，則這個六棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．以上都不對【答案】B【詳解】設(shè)六棱柱的底面邊長為，高為.則，，，故，.故選：B.【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.【答案】【詳解】設(shè)正方體的棱長為，體積為，則，因為E是棱的中點，所以，，..故答案為：【典例3】（2023下·福建寧德·高一校聯(lián)考期中）如圖，三棱柱內(nèi)接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.

(1)求圓柱的底面半徑；(2)求三棱柱的體積.【答案】(1)1(2)【詳解】（1）設(shè)底面圓的直徑為2r，由題可知,圓柱的體積，解得，即圓柱的底面半徑為1（2）因為為正三角形，底面圓的半徑為1，由正弦定理，邊長，所以三棱柱的體積【變式1】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝8．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點．當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為．【答案】6【詳解】當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則S梯形S，水的體積V水S×AA1＝6S，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有V水＝Sh＝6S，得h＝6，即當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6．故答案為：6．【變式2】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直四棱柱的底面為菱形，底面菱形的兩對角線長分別為，，側(cè)棱長為，求：該直四棱柱的體積；

【答案】；【詳解】由底面菱形的兩對角線長分別為，，不妨設(shè)，，則底面菱形的面積（）所以該棱柱的體積為（）【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某自來水廠要制作一個無蓋長方體水箱，所用材料的形狀是矩形板，制作方案如圖（單位：dm），求水箱的容積．

【答案】立方分米.【詳解】由題設(shè)可得長方體的底面為邊長為10的正方形，高為5，故體積為（立方分米）.題型03棱錐的表面積【典例1】（2023下·甘肅酒泉·高二校考期末）如果一個正四棱錐的底面邊長為6，高為3，那么它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，連接交于點，取的中點，分別連接，因為四棱錐為正四棱錐，所以底面，且，在等腰中，為的中點，所以，即為正四棱錐的斜高，在直角中，，可得，所以正四棱錐的側(cè)面積為.故選：B.

【典例2】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校├忾L為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將四點兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為．

【答案】【詳解】在原正方體紙盒上，分別將四點兩兩相連，如圖所示，因為為正方體的面對角線，所以，所以為正四面體，所以表面積為：，故答案為：．

【典例3】（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖一，將邊長為2的正方形剪去四個全等的等腰三角形后，折成如圖二所示的正四棱錐.記該正四棱錐的斜高為（側(cè)面三角形的高），.(1)求證：；(2)將折起來后所得正四棱錐的表面積記為，請將表示為的函數(shù)，并求的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)，；（2）用正方形面積減去4個全等的等腰三角形面積可得.【詳解】（1）作，垂足分別為M，N，由題可知，M，N分別為EF，AB的中點，所以在中，，，所以，易知，在中，所以，即（2）在中，易知，所以，又正方形ABCD的面積為，所以正四棱錐的表面積記因為，所以，所以【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┮阎忮F的底面邊長為6，高為3，則該三棱錐的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，正三棱錐中，為正三棱錐的高，則，取的中點，連接，，則在上，且，又，，所以，所以，則，所以，故三棱錐的表面積為.故選：B【變式2】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）如圖，正四面體的各棱長均為1，則它的表面積是.【答案】【詳解】因為是正三角形，其邊長為1，所以,因此，四面體的表面積.故答案為:.【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，正四棱錐的底面邊長為4，頂點S到底面中心O的距離為4，求它的表面積．

【答案】【詳解】作，垂足為點E，連接OE．因為，所以．因為，，,平面SOE，所以平面SOE，而平面SOE，所以，故．又，所以．又底面周長，所以正棱錐側(cè)．又底，因此，該正四棱錐的表面積為表．題型04棱錐的體積【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐中，四邊形為平行四邊形，分別為側(cè)棱的中點，過三點的平面將該四棱錐分成兩部分，兩部分的體積分別記為，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，，，如圖，連接，則平面就是截面，將四棱錐分成的兩部分分別是四棱錐和五面體．連接三棱錐和三棱錐的底面共面，三棱錐和三棱錐的高相等，它們體積的比值等于底面積的比值．又，（在邊上的高和在邊上的高相等），.因為點為的中點，點和點到平面的距離相等，.因為四邊形為平行四邊形，．設(shè)四棱錐的體積為，則，，又，即，.故選：C.【典例2】（2024上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為．【答案】【詳解】在平面上的投影是，因為是正四棱錐，所以是正方形對角線的交點，連結(jié)，，，所以，于是.故答案為：.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，用截面截下一個三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.【答案】【詳解】設(shè)，，，所以長方體體積三棱錐的體積，∴剩余部分的體積∴三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.故答案為：.【典例4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；(2)求六棱錐的表面積和體積．【答案】(1)高為6，斜高為，側(cè)棱長為(2)表面積為，體積為【詳解】（1）如圖：

在正六棱錐中，，H為中點，所以．因為是正六邊形的中心，所以為正六棱錐的高．，在中，，所以．在中，．在中，，，所以．故該正六棱錐的高為6，斜高為，側(cè)棱長為．（2）的面積為，的面積為，所以正六棱錐的表面積為，體積為【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的體積為分別為的中點，則三棱錐的體積為．【答案】/0.25【詳解】設(shè)點到平面的距離為，因為分別為的中點，則點到平面的距離為，又因為分別為的中點，則，由題意可知：，整理得，即三棱錐的體積為.故答案為：.【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正四棱錐的底面邊長為4，高為1，求：(1)求棱錐的體積和側(cè)棱長；(2)求棱錐的表面積．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可知底面四邊形是正方形，設(shè)其對角線交于O點，則，所以四棱錐的體積為：，側(cè)棱長；（2）取的中點E，連接，易知，由上可知，所以棱錐的表面積為.題型05棱臺的表面積【典例1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖正四棱臺中，連接，，過點、分別作、，交于點、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺的斜高為，所以正四棱臺的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B【典例2】（2023下·福建南平·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2.該正四棱臺的表面積為.【答案】/【詳解】因為正四棱臺的側(cè)面等腰梯形，

又正四棱臺的上、下底面的邊長分別是4、8，高為2，所以側(cè)面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺的表面積為．故答案為：．【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐．(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐的側(cè)棱長為，小棱錐的底面邊長為，求截得的棱臺的側(cè)面積與全面積．【答案】(1)(2)側(cè)面積為，全面積為【詳解】（1）設(shè)正六棱錐的高，底面邊長，因為正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐，所以小棱錐的高為，底面邊長，在中，因為，所以，于是有：，因此大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比為；

（2）由（1）可知：，已知大棱錐的側(cè)棱，顯然在中，上的高長為，所以，所以，由（1）可知：截得的棱臺的側(cè)面積為，截得的棱臺的全面積為.【變式1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側(cè)棱長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】設(shè)正四棱臺側(cè)面的高為，則，所以側(cè)棱長為.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，高是.則三棱臺的側(cè)面積為（

）A．27 B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，，分別是上、下底面中心，則cm，連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，過作于點，在中，，，所以，所以．故選：B【變式3】（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將正四梭臺（上?下底面均為正方形）稱為“方亭”.現(xiàn)有一方亭，高為2，上底面邊長為2，下底面邊長為4，則此方亭的表面積為.【答案】【詳解】如圖所示，分別是正四梭臺不相鄰兩個側(cè)面的高，，則即為正四梭臺的高，，由，得，所以此方亭的表面積為.故答案為：.

題型06棱臺的體積【典例1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是正四棱臺，，，側(cè)面以及對角面為等腰梯形，故，，，所以，所以該四棱臺的體積為，故選：B.【典例2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長分別為的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，該香料收納罐的容積為．故選：C．【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱臺中，，．若該四棱臺的體積為，則．【答案】【詳解】如圖，連接，交于點，連接交于點，連接，則，底面，平面，．過作于點，則，底面．該四棱臺的體積，．又，，，．故答案為：【變式1】（2023上·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正四棱臺的兩底面均為正方形，且邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面積為，則其體積為．【答案】【詳解】如圖，取的中點、的中點，上、下底面的中心、，則為斜高，四邊形為直角梯形．正四棱臺的側(cè)面積，，在直角梯形中，過點作⊥于點，則，，因為，，所以cm，cm，該四棱臺的體積為故答案為：【變式2】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為，則該方亭的上底面邊長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【詳解】因為上底面與下底面的面積之比為，設(shè)，則，故方亭的高為，故方亭的體積為，解得，故m，即該方亭的上底面邊長為3m.故選：A【變式3】（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為4、6，高為，則正四棱臺的體積為，外接球的半徑為.【答案】【詳解】根據(jù)題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：，所以正四棱臺的體積為；連接，交于點，連接，交于點，如圖所示：當(dāng)外接球的球心在線段延長線上，設(shè)，外接球半徑為R，則，因為，上、下底面邊長分別為4、6，則，，所以當(dāng)外接球的球心在線段延長線上，顯然不合題意；當(dāng)球心在線段之間時，則，同上可得，，不符舍去．故答案為：；.題型07求簡單組合體的表面積和體積【典例1】（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【答案】D【詳解】圓柱體積為，圓錐體積為，所以，該組合體的體積為.故選：D【典例2】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不完全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，二十四等邊體就是一種半正多面體，如圖，棱長為2的正方體截去八個一樣的四面體就得到二十四等邊體，則該二十四等邊體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)，該二十四等邊體是正方體去掉八個角得到，各頂點在正方體棱的中點上，如下圖，故該二十四等邊體的體積為.故選：A【典例3】（多選）（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由兩個完全相同的正六棱柱垂直貫穿構(gòu)成，若該正六棱柱的底面邊長為2，高為8，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該幾何體的體積為B．該幾何體的體積為C．該幾何體的表面積為D．該幾何體的表面積為【答案】AC【詳解】過直線和直線分別作平面，平面（圖略），平面和平面都平行于豎直的正六棱柱的底面，如下圖所示：

如下圖所示，易知正六邊形的對角線，底面面積為；

則該豎直的正六棱柱夾在平面和平面之間的部分的體積為；將多面體分成三部分，，三棱柱的體積為，所以多面體的體積為.兩個正六棱柱重合部分的體積為.一個正六棱柱的體積為.故該幾何體的體積為，即A正確，B錯誤；梯形的面積為，正六棱柱側(cè)面除梯形外的面積為，所以水平的正六棱柱的側(cè)面積，豎直的正六棱柱的側(cè)面積，正六棱柱的底面面積，兩個正六棱柱側(cè)面的公共面積.故該幾何體的表面積為，即C正確，D錯誤；故選：AC【變式1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊(yùn)含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理．如圖是乾隆時期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個正四棱臺的組合體，其中茶碗上底面的邊長為﹐下底面邊長為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（

）A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗【答案】C【詳解】由條件可得，茶碗的上底面面積，茶碗的下底面面積，茶碗高，則茶碗的體積，所以，即茶水至少可以喝9碗.故選：C【變式2】（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，底層圓臺的上下底面圓半徑分別為，且,則青銅器的體積為，故選：D【變式3】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）第19屆亞洲運(yùn)動會于2023年9月23日10月8日在我國杭州成功舉辦，中國國家隊以201金、111銀、71銅的優(yōu)異成績位列獎牌榜榜首．此次亞運(yùn)會的頒獎花束——“碩果累累”，由花材和花器兩部分組成，如圖1．其中花器的造型靈感來自中國南宋時期官窯花解，由國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)東陽木雕制作而成，可以近似看作由大、小兩個圓臺拼接而成的組合體，如圖2．已知大圓臺的兩底面半徑和高分別為，小圓臺的兩底面半徑和高分別為，則該幾何體的體積為．【答案】【詳解】根據(jù)圓臺的體積公式，可得（），故答案為：A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)1．（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎庵欣忾L均為2，則該正三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【詳解】,故選:A2．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）A．12 B． C． D．【答案】C【詳解】棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，其表面積為：.故選：C3．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)母線長為，依題意得，，解得，于是圓錐的高為，根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：.故選：B

4．（2023上·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）一個正四棱臺形狀的魚塘，灌滿水時，蓄水量為，若它的兩底面邊長分別為和，則此時魚塘的水深（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)水深為，則，解得，故此時水深為.故選：C.5．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）棱臺的上、下底面面積分別為2、4，高為3，則棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)棱臺的上、下底面面積分別為,則，所以.故選：A.6．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點.若，則三棱錐的體積為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】因為面所以.故選：D.7．（2024上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為（

）A．26 B．28 C．30 D．32【答案】B【詳解】由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.故選：B.8．（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（

）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個四棱錐的底面邊長為，設(shè)正四棱臺的高為，因為每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則，可得，可得，所以，該正四棱臺的體積為.故選：C.9．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）在長方體上任意選取不共面的4個頂點，由這4個頂點構(gòu)成的幾何體中，則（

）A．存在三個面為直角三角形的四面體B．存在每個面都是直角三角形的四面體C．存在每個面都是全等三角形的四面體D．四面體的體積為該長方體體積的六分之一【答案】ABC【詳解】如圖一四面體符合A選項的要求；如圖一四面體符合B選項的要求；如圖二當(dāng)為正方體時容易知道正四面體符合C的要求，且的體積不是長方體的六分之一故D不正確.故選：ABC10．（多選）（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設(shè)翻折前，則翻折后，斜高，該四棱錐的高，則.該四棱錐的表面積.因為該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，所以，即，則，解得或或（舍）故或.故選：BC.11．（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤粽睦忮F的底面邊長是2，高為，棱錐被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱臺的上、下底面邊長之比為，則該棱臺的體積是．【答案】/【詳解】如圖，因為棱臺的上、下底面的邊長之比為，正四棱錐的底面邊長是，高為，所以正四棱錐的底面邊長為，高為，所以該棱臺的體積為.故答案為：.12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐，則它的體積與正方體體積的比為；它的表面積與正方體表面積的比為.

【答案】/【詳解】設(shè)正方體棱長為1，由圖知，切去的4個三棱錐體積相等，故截去的三棱錐的體積之和為，而正方體的體積為，所以正三棱錐的體積為，故正三棱錐與正方體體積之比為；因為正三棱錐的每條棱長為，所以表面積為，又正方體的表面積為，故表面積之比為.故答案為：；四、解答題13．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；(2)三棱錐的體積．【答案】(1)10；(2).【詳解】（1）長方體中，，，因此長方體的側(cè)面積，所以長方體的表面積.（2）的面積，顯然三棱錐的高為，所以三棱錐的體積.

14．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點．(1)求四邊形的周長；(2)求多面體的體積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）連接，因為、分別是棱、的中點，故且，又，，，所以四邊形的周長.（2）多面體為三棱臺，又，，高，所以.15．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.【答案】(1)；(2)側(cè)面積；表面積.【詳解】（1）設(shè)小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，所以大棱錐的側(cè)面積為，小棱錐的側(cè)面積為，棱臺的側(cè)面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面積之比.（2）因為小棱錐的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，因為大棱錐的側(cè)棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側(cè)面積為，所以棱臺的側(cè)面積為，棱臺的上，下底面的面積和為，所以棱臺的表面積為.B能力提升1．（2024上·山西·高三期末）如圖，瑪雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每個側(cè)面都是等腰梯形，并且梯形兩腰延長得到的三角形是一個呈“金”字的等邊三角形，它的底面是邊長為的正方形，塔高為．該金字塔的體積約為（

）．（參考數(shù)據(jù)，）

A．120