高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第33講 8.5.3 平面與平面平行（教師版）

第10講8.5.3平面與平面平行課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握平面與平面平行的判定定理。②理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理。1.通過對平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺以及運用圖形語言、符號語言進行交流的能力；2.進一步了解空間平面與平面平行關(guān)系的基本性質(zhì)及判定方法，學(xué)會準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言表述幾何對象的位置關(guān)系，并能解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題；3.進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去，為后面學(xué)習(xí)面面垂直打下基礎(chǔ)；知識點01：平面與平面平行的判定定理（1）兩個平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.（定理簡述：線面平行，則面面平行。）（2）符號語言（3）圖形語言（4）定理應(yīng)用線線平行面面平行【即學(xué)即練1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，，，分別是，，的中點.給出下列四個推斷：

①平面；②平面；③平面；④平面平面，其中推斷正確的序號是.【答案】①③【詳解】對于①：因為在正方體中，，，分別是，，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，故①正確；對于②：因為，與平面相交，所以與平面相交，故②錯誤；對于③：因為，，分別是，，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故③正確；對于④：與平面相交，所以平面與平面相交，故④錯誤.故答案為：①③.

知識點02：平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個平行平面，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.（2）符號語言（3）圖形語言（4）定理應(yīng)用面面平行線線平行【即學(xué)即練2】（2023上·上海浦東新·高二上海市進才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則.【答案】【詳解】因為平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理得，所以，所以，即，解得，故答案為：.知識點03：直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化由直線與直線平行可以判定直線與平面平行;由直線與平面平行的性質(zhì)可以得到直線與直線平行;由直線與平面平行可以判定平面與平面平行;由平面與平面平行的定義及性質(zhì)可以得到直線與平面平行、直線與直線平行.這種直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.題型01判斷，證明面面平行【典例1】（2023下·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判斷兩個平面α與β平行的條件有個．【答案】2【詳解】如圖取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α與β相交，不平行，故排除①；若存在平面γ，使α、β都平行于γ，則可以判斷兩個平面α與β平行.②是正確的；若α與β相交，如圖所示，,，且l與m，n兩直線等距離，則α內(nèi)不共線的三點A，B，C到β的距離相等.所以排除③；存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ.則可以判斷兩個平面α與β平行.④是正確的．故答案為：2【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【詳解】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.又，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié).因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)、、.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接，因為為所在棱的中點，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點，G，H分別為，中點，O為平面中心．證明：平面‖平面；【答案】證明見解析【詳解】連接，，∵為正方體，為平面的中心，∴‖，‖，，為中點，∵為中點，為中點，∴‖‖，，∴四邊形為平行四邊形，‖，∵分別為中點，分別為中點，∴‖，‖，∴‖，∵平面，平面，∴‖平面，∥平面，∵，平面，∴平面∥平面．【典例4】（2023下·遼寧阜新·高一?？计谀┮阎谡襟w中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關(guān)系是．【答案】平行【詳解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,故答案為：平行【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是.【答案】平行【詳解】，，分別為，，的中點，

，，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又平面，平面，且，∴平面//平面DEF平面平面．故答案為：平行.【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）已知S是等邊△ABC所在平面外一點，D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是．【答案】平行【詳解】∵分別是的中點，∴是的中位線，∴.又∵平面，平面，所以平面.同理平面.∵，所以平面平面.故答案為：平行.【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，幾何體為直四棱柱截去一個角所得，四邊形是正方形，，，為的中點．證明：平面平面；【答案】證明見解析【詳解】解：連接，如圖所示：依題意，，則四邊形是平行四邊形，于是，而平面，平面，因此平面，同理平面，∵，平面，∴平面平面．題型02補全面面平行的條件【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖平面，是矩形，，，點是的中點，點是邊上的任意一點．當(dāng)是的中點時，線段上是否存在點，使得平面平面，若存在指出點位置并證明，若不存在說明理由．【答案】存在為中點使面面，理由見解析【詳解】存在為中點，使得平面平面，理由如下：當(dāng)為中點，連接，又是的中點，是的中點，所以，，而平面，平面，所以平面，同理可證面，又，即平面平面，綜上，為中點時平面平面．【典例2】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正三棱柱的高為，底面邊長為2，點，分別為，上的點.

(1)在棱，上是否存在點，使得平面平面？如果存在，在此條件下證明平面平面；(2)在（1）的條件下，求幾何體的體積.【答案】(1)存在，證明見解析(2)2【詳解】（1）與的中點，可以使得平面平面，證明：在三棱柱中，∵與為與的中點，∴與平行且相等，故四邊形為平行四邊形，∴，∵與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形

故，因為，平面，平面，所以平面，同理可證平面，而，

平面，平面，∴平面平面；

（2）∵，，.【典例3】（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面

(1)證明：為的中點；(2)在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為中點【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為平行四邊形，所以為的中點，所以為的中點．（2）存在，為中點時，平面平面，因為為中點，為的中點，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于，平面，所以平面平面.

【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為底面的中心，是的中點，設(shè)是上的點，問：當(dāng)點在什么位置時，平面平面？【答案】當(dāng)為的中點時，證明見解析.【詳解】當(dāng)為的中點時，平面平面．連接，因為為的中點，為的中點，所以．又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．連接，則，又為的中點，為的中點，所以．平面，平面，所以平面．又，所以平面平面．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點，使平面平面請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【詳解】（1）證明：因為，分別為線段的中點所以A.因為，所以B.又因為平面，平面，所以平面．（2）取的中點，連接，因為為的中點所以．因為平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因為，，平面，所以平面平面故在線段上存在一點，使平面平面．【變式3】（2023下·陜西銅川·高一?？计谥校┤鐖D所示，底面為正方形的四棱錐中，，，，與相交于點O，E為中點．

(1)求證：平面；(2)上是否存在點F，使平面平面．若存在，請指出并給予證明；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點，證明見解析【詳解】（1）因為分別是的中點，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，點是的中點，此時，連結(jié)

因為分別是的中點，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中點，使平面平面.題型03面面平行證明線線平行【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在四棱柱中，連接，F(xiàn)G，如圖，

因為平面平面，平面平面，平面平面，則，于是，平面平面，而平面，則平面，在平面內(nèi)存在與不重合的直線，又平面平面，平面，則平面AEF，在平面AEF內(nèi)存在與不重合直線，從而，平面AEF，平面AEF，則平面AEF，又平面，平面平面，因此，BG，AF可確定平面，因為平面平面，平面平面，平面平面，于是，即有，所以.故選：B【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【答案】證明見解析【詳解】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，則，而且，又，因此且，則四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.點在線段上，且平面，試確定點的位置.【答案】點為線段上靠近點的三等分點【詳解】點為線段上靠近點的三等分點，證明如下：在取點，連接，，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點為線段上靠近點的三等分點.【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.【答案】證明見解析【詳解】因為平面平面，四點共面，且平面平面，平面平面，所以．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．【答案】證明見解析【詳解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【變式3】（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．【答案】證明見解析【詳解】由四棱柱可知，，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，平面，平面；所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.題型04面面平行證明線面平行【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．求證：∥平面.【答案】證明見解析【詳解】由題意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【詳解】證明：如圖所示：

取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以且，因為為的中點，所以且，因為、分別為、的中點，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面．【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當(dāng)為多少時，直線平面？【答案】.【詳解】當(dāng)點是線段上靠近點的三等分點，即時，平面.過點作交于點，過點作交于點，連接，平面，平面，平面，，面，平面，平面，又，平面，平面，∴平面平面，平面，平面．∴，當(dāng)時，平面．【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

【答案】證明見解析【詳解】因為直四棱柱中，又，且平面，平面，平面，平面而，平面,平面平面，又平面平面【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，M為PA的中點，E是PC靠近C的一個三等分點．

(1)若N是PD上的點，平面ABCD，判斷MN與BC的位置關(guān)系，并加以證明．(2)在PB上是否存在一點Q，使平面BDE成立？若存在，請予以證明，若不存在，說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)存在，證明見解析【詳解】（1），理由如下，因為平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．又因為，∴；（2）當(dāng)Q是PB的中點時，平面BDE成立，理由如下，取PE的中點F，連接QF，又Q為PB的中點，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，連接AC交BD于點O，則O為AC的中點，又E是PC靠近C的一個三等分點，∴E為CF的中點，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，又，∴平面平面BDE，∵平面AQF，∴平面BDE．

【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對角線、上的點，且．求證：平面．

【答案】證明見解析【詳解】證明：過點作交于點，連接，

因為，則，又因為，則，所以，，因為四邊形為矩形，則，所以，，因為，平面，平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，所以，平面.題型05空間平行的轉(zhuǎn)化【典例1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）正四棱柱中，，M是的中點，點N在棱上，，則平面AMN與側(cè)面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取,的中點為,，連接，則,且，在平面中，過點作交于，則為平面AMN與側(cè)面的交線，且,由于,故選：C

【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；【答案】作圖見解析，證明見解析【詳解】如圖，延長交的延長線于，連接交于，則所在的直線即為平面與平面的交線.證明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.【變式1】（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，過點做平面，使得平面平面，則平面與正方形的交線的長度為．【答案】【詳解】取的中點，連接，如下圖所示：因為平面平面，所以平面；因為平面平面，所以平面；又因為平面，，所以平面平面．因此平面即為平面，即平面與正方形的交線即為．所以．故答案為：【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，，E，F(xiàn)，H，G分別是棱PA，PB，PC，PD的中點．(1)求證：；(2)判斷直線EF與直線GH的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)直線與直線相交，理由見解析.【詳解】（1）解：因為平面，平面，平面平面，所以.（2）解：直線與直線相交，理由如下：連接，因為分別是棱的中點，所以，同理可證：，因為，所以，所以四點共面，因為，所以，所以與不平行，即與相交.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D可利用線面平行的判定定理證得.【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不平行，A錯誤；

B錯誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯誤；

C選項，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯誤；

D選項，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.故選：D2．（2024上·北京·高三階段練習(xí)）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面面平行的性質(zhì)可判斷.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，.對于A，，，故A正確；對于B，因為與相交，所以與不平行，故B錯誤；對于C，因為與不平行，所以與不平行，故C錯誤；對于D，因為與不平行，所以與不平行，故D錯誤；故選：A.

3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在正四棱柱中，為底面的中心，是的中點，設(shè)是上的點，則點滿足什么條件時，有平面∥平面．（

）A．Q為的三等分點 B．Q為的中點C．Q為的四等分點 D．Q與C重合【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理易證Q為的中點時滿足題意．【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點，連接PQ，∵為的中點，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，故四邊形BAPQ是平行四邊形，∴QB∥PA，又QB面，PA面，∴PA∥面．連接，則DB過O，且O是DB中點，又∵是中點，∴∥PO，又面，PO面，∴PO∥面．又，PA，PO面，∴平面∥平面，故為的中點時，有平面∥平面．故選：B

4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點，F(xiàn)是棱上的點，且，過作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.【詳解】

如圖，取的中點M，在上取一點H，使得，連接，如上圖，則，平面，平面AEF，平面平面；即過點平行于平面AEF的平面截四棱柱的圖形是三角形，其中，，故選：A.5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③【答案】C【分析】把圖形還原為一個四棱錐，然后根據(jù)線面、面面平行的判定定理逐一判斷即可.【詳解】把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，對于①，因為，分別是，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，又因為，，平面，所以平面平面，故①正確；對于②，因為，平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，因為，平面，平面，所以平面，故③正確；對于④，平面平面，故④錯誤;所以正確的有①②③.故選：C.6．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】延拓過點三點的平面，再根據(jù)平面與平面的判定定理，即可容易判斷選擇.【詳解】由題意可知經(jīng)過P、Q、R三點的平面即為平面，如下圖所示：對選項：可知N在經(jīng)過P、Q、R三點的平面上，所以B、C錯誤；對：MC1與是相交直線，所以A不正確；對：因為//，，//，又容易知也相交，平面；平面，故平面//平面故選：.7．（2023下·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線，平面，則下列條件能推出的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A.，且，由于無法得知是否相交，所以不能得到，對于B.，且，則，故B正確，對于C.，且，此時可能相交，對于D.，且，則可能相交，故選：B8．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】A選項中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項中，因為，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項中，因為，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點B，故錯誤；D選項中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點M作CQ的平行線交于點D，則點D是在上靠近點的四等分點，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.二、多選題9．（2023下·陜西渭南·高一?？计谀?，，是三個平面，，是兩條直線，下列四個命題中錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】BD【分析】運用面面平行的性質(zhì)、面面平行的判定可判斷各個選項.【詳解】對于A項，若，，，由面面平行的性質(zhì)可得，故A項正確；對于B項，，，，則與平行或相交，故B項錯誤；對于C項，若，，由面面平行的性質(zhì)可得，故C項正確；對于D項，若，，，則與平行或相交，故D項錯誤.故選：BD.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，設(shè)P，Q分別為，的中點，則過點P，Q的平面截正方體所得截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體六個面即三對互相平行的平面的性質(zhì)，結(jié)合空間直觀想象作出截面圖形即可.【詳解】對選項A，假設(shè)過點P，Q的平面截正方體所得截面的形狀為三角形，則必為三角形的一條邊，但線段不在正方體的任一表面上，不可能為截面圖形的邊.故A項錯誤；對選項B，如圖，取AB的中點為，連接PM，過點P，Q，M的平面作截面，則平面，設(shè)平面，且點，由平面平面，則，又，且，又，則，故所在直線與重合，又，連接MD，，則四邊形為平行四邊形，且，故此時過點P，Q，M的平面截正方體所得的截面為四邊形，故選項B正確；對選項C，如圖，連接，過點的平面作截面，則平面，設(shè)平面，且點，由平面平面，則，取上靠近的四等分點為，連接，再分別取的中點，連接，由，，可得四邊形為平行四邊形，則，同理可證，又由分別為的中點，則，則由平行的傳遞性可得，，即所在直線與重合，即平面；同理，取上靠近的三等分點為M，連接，由平面平面，可得，平面；連接，此時過點的平面截正方體所得的截面為五邊形PBNQM，故C項正確；對選項D，如圖，取M，N，E，F(xiàn)分別為對應(yīng)棱的中點，連接PF，F(xiàn)Q，QE，EN，MN，PM，與BC項同理可由平面平面，平面平面，平面平面，得，，，即此時過點的平面截正方體所得的截面為六邊形PMNEQF，故D項正確.故選：BCD．三、填空題11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側(cè)面上的動點，且面AEC，則動點F在側(cè)面上的軌跡長度為．【答案】【分析】根據(jù)已知，利用面面平行得到線面平行，再根據(jù)正方體的性質(zhì)計算求解.【詳解】如圖，取的中點，并連接、、，因為E在棱上且滿足，即E是棱的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以動點F在側(cè)面上的軌跡即為，因為正方體的棱長為1，由勾股定理有：.

故答案為：.12．（2024·黑龍江伊春·高二伊春二中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知是三條不重合直線，是三個不重合平面，下列說法：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，.其中正確的說法序號是（注：把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）【答案】②④【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義，性質(zhì)和判定定理進行判斷.【詳解】①若，，則可能平行或相交或異面，故①錯；②根據(jù)平行公理，故②正確；③若，，也可能相交，只要保證平行于的交線，故③錯；④利用平面與平面平行的性質(zhì)與判定，可得，故④正確；⑤若，，則也可能成立，故⑤錯；⑥若，.，則也可能成立，故⑥錯.故答案為：②④.四、解答題13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，先證明平面平面，進而利用面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，．求證：平面平面.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，由線面平行的判定定理分別證明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得到證明.【詳解】

在圓柱中，，平面，平面，故平面；連接，因為等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，，故，則為正三角形，故，則，平面，平面，故平面；又平面，故平面平面．15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【分析】連接交于，連接，即可得到，從而證明平面，再說明四邊形是平行四邊形得到，即可得到平面，從而得證.【詳解】連接交于，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面．16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，平面，可得平面平面，進而可得結(jié)論.【詳解】因為直四棱柱中，又，且平面，平面，平面，平面而，平面,平面平面，又平面平面B能力提升1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動點（含邊界）．若平面，則動點F的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，取AD的中點M、CD的中點N，連接，因為E為BC的中點，M為中點，由正方體的性質(zhì)可得，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，又因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，由正方體的性質(zhì)可得,，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為M為中點，N為中點，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，因為平面，所以平面，所以動點F的軌跡為線段，又，故動點F的軌跡長度為．故選：D．2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在四棱柱中，連接，F(xiàn)G，如圖，

因為平面平面，平面平面，平面平面，則，于是，平面平面，而平面，則平面，在平面內(nèi)存在與不重合的直線，又平面平面，平面，則平面AEF，在平面AEF內(nèi)存在與不重合直線，從而，平面AEF，平面AEF，則平面AEF，又平面，平面平面，因此，BG，AF可確定平面，因為平面平面，平面平面，平面平面，于是，即有，所以.故選：B3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】對于A選項，如下圖所示，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，

因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，故A滿足；對于B選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，

因為、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、