第八章解析幾何專題5解析幾何中動態(tài)最值問題 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題5

解析幾何中動態(tài)最值問題（浙江省臺州市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估試題）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是______．設(shè)點(diǎn)，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)），所以可設(shè)點(diǎn)，且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡可得，令，可得，化簡可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因?yàn)辄c(diǎn)，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程則或，滿足由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡可得，可得，可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為，結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案為：1．今有，點(diǎn)，又點(diǎn)是上動點(diǎn)，過作的切線，切點(diǎn)分別是，直線與交于點(diǎn)，則的最大值是．2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B均在直線上，，動點(diǎn)P滿足，則的最小值為．通過引入動點(diǎn)表示相關(guān)直線OQ、PF，解得：，表示出目標(biāo)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)法研究它的最值.令，則切線方程為，∴法線的斜率為∴，OQ的方程為：又PF的方程為：解得：，∴令，；；；即時(shí)，時(shí)，，∴∴3．已知點(diǎn)，，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為．4．已知平面向量滿足，且，則的最大值是．利用光學(xué)性質(zhì)捕捉到點(diǎn)T的動態(tài)軌跡在以F為圓心半徑為1的圓上，再通過數(shù)形結(jié)合，求得過點(diǎn)P作x軸的平行線PA交OQ于點(diǎn)B，由光學(xué)性質(zhì)得∠BPQ＝∠TPQ，又PQ⊥BT，故△PBT為等腰三角形，所以∠PTB＝∠PBT＝∠TOF，所以△OFT是等腰三角形，F(xiàn)T＝OF＝1，故點(diǎn)T在以F為圓心半徑為1的圓上，故．5．已知是圓上一個動點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上的點(diǎn)均滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．7．已知圓，點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若切線的斜率分別為，，且，則的取值范圍為．8．在中，內(nèi)角所對的三邊分別為，且，若的面積為，則的最小值是.9．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為(，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，，則的最小值為.10．已知A，B分別為拋物線與圓上的動點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P，Q為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合；當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，則.11．已知平面內(nèi)非零向量，，，滿足，，，若，則的取值范圍是.12．設(shè)點(diǎn)，，直線，于點(diǎn)，則的最大值為.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】設(shè)，利用三角形相似求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入所在的直線方程求得點(diǎn)的軌跡方程為圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，又點(diǎn)是上動點(diǎn)，所以代入，化簡得，即（不同時(shí)為零），故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（去掉點(diǎn)），所以的最大值是點(diǎn)到圓心的距離加上半徑，故的最大值是故答案為：．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，注意運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)，得出線段間的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，得出動點(diǎn)的軌跡得以解決．2．【分析】設(shè)，，根據(jù)條件可得，得到圓心坐標(biāo)后可求得圓心在直線上，利用到直線的距離減去半徑即可求得的最小值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，易得圓心在上，又點(diǎn)到直線的距離，故.故答案為：.3．【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式可表示出，令，可化簡得到；利用導(dǎo)數(shù)可求得在上的最小值，對比可得最終結(jié)果.【詳解】圓的方程可整理為：，則可設(shè)，，，；令，，，，則，，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，則；當(dāng)時(shí)，，，即，在上單調(diào)遞增，令，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；，在上的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查圓上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的最值問題的求解，解題基本思路是將所求距離之差表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性后，通過求解函數(shù)最值得到所求距離之差的最值.4．.【分析】由數(shù)量積得的值，設(shè)出、、，得到點(diǎn)C的軌跡方程，方法1：設(shè)出點(diǎn)C的參數(shù)坐標(biāo)，代入轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值即可得結(jié)果.方法2：設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最大值即可得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴，又∵，∴，∴設(shè)，，，則，，∵，∴即：，∴，則點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，又∵AB的中點(diǎn)，半徑為∴點(diǎn)C的軌跡方程為：，①方法1：∴設(shè)，則，∴，∴.故答案為：.方法2：設(shè)，則，∴，∵的幾何意義為：①上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，∴的最大值為：①的圓心到點(diǎn)M的距離與①的半徑之和，即：，∴，故答案為：.5．【分析】根據(jù)直線系求出定點(diǎn)，再由垂直確定動點(diǎn)軌跡為圓，根據(jù)圓心距離判斷圓的位置關(guān)系，利用圓的幾何性質(zhì)求出取值范圍即可.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故答案為：6．或【分析】將條件坐標(biāo)化，先轉(zhuǎn)化為恒成立，即圓上所有動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值大于，再轉(zhuǎn)化為與圓心距離的不等關(guān)系求解可得.【詳解】設(shè)，由點(diǎn)，即點(diǎn)滿足，即，設(shè)點(diǎn)，即恒成立則，圓上所有點(diǎn)到定點(diǎn)最小值大于，又圓，半徑為，圓上所有點(diǎn)到定點(diǎn)最小值即為：..即，化簡得，解得或.故答案為：或.

7．【分析】先根據(jù)題意得到直線，的方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到，結(jié)合，即可求得圓心的軌跡方程，求出，再由圓的性質(zhì)可得的取值范圍．【詳解】由題意可知，，半徑為2，直線，，因?yàn)橹本€，與圓相切，所以，，兩邊同時(shí)平方整理可得，，所以，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以．又，所以，即，則；又，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，所以，即．故答案為：.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解定點(diǎn)到圓上動點(diǎn)距離的最值問題時(shí)，一般需要先求圓心到定點(diǎn)的距離，判定定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；也可根據(jù)圓的參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.8．【分析】由三角形面積公式得到，利用角A的三角函數(shù)表達(dá)出，利用數(shù)形結(jié)合及的幾何意義求出最值.【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所以，可得，由，可得，設(shè)，其中，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖所示，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，所以斜率的最小值為，所以m的最大值為，所以，所以，即BC的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形中最值問題，要結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)或者數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)式本身的幾何意義求解.9．【分析】首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，可得，該圓對照，所以，求得點(diǎn)，再由，即可得解.【詳解】假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，則，即，該圓對照，所以，所以點(diǎn)，所以.故答案為：10．【分析】如圖，利用拋物線和圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)A為射線與拋物線的交點(diǎn)，且為射線與圓的交點(diǎn)（為線段上的點(diǎn)），取得最大值.直線、的方程分別聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：過點(diǎn)A作拋物線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最小值；直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且為線段上的點(diǎn).所以，當(dāng)且僅當(dāng)A為射線與拋物線的交點(diǎn)，且為射線與圓的交點(diǎn)（為線段上的點(diǎn)），取得最大值.直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，所以，故答案為：.11．【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由所給等式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)，由可知點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的范圍.【詳解】，，，，又，