5定積分及其應(yīng)用

定積分的概念與性質(zhì)

5.1

微積分基本公式5.2

定積分的計(jì)算5.3

應(yīng)用與實(shí)踐

5.5

目錄

第五章定積分及其應(yīng)用

廣義積分5.4

定積分的概念與性質(zhì)

5.1

微積分基本公式5.2

定積分的計(jì)算5.3

應(yīng)用與實(shí)踐

5.5

目錄

第五章定積分及其應(yīng)用

廣義積分5.4

5.1定積分的概念與性質(zhì)

復(fù)習(xí)導(dǎo)入不定積分定積分概念性質(zhì)計(jì)算應(yīng)用5.1定積分的概念與性質(zhì)?我們以前學(xué)過(guò)圖形的面積計(jì)算，請(qǐng)大家回想一下，有哪些計(jì)算公式？

正方形、矩形、三角形、梯形、圓、橢圓等。規(guī)則圖形5.1定積分的概念與性質(zhì)?不規(guī)則圖形（如圖）的面積如何求？?一、兩個(gè)引例5.1定積分的概念與性質(zhì)●曲邊梯形的面積上述圖形的面積可歸結(jié)為下列兩個(gè)圖形的面積之差，即．我們把這類幾何圖形定義為曲邊梯形．5.1定積分的概念與性質(zhì)曲邊梯形是由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形。與三條直線曲邊梯形面積如何求？●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質(zhì)abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）5.1定積分的概念與性質(zhì)解決步驟：把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間第i個(gè)小區(qū)間的寬度記為

,即(1)分割用分點(diǎn)

●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質(zhì)在第i個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)

矩形的面積相應(yīng)小曲邊梯形的面積,即

用以為寬，為高的小近似代替(2)近似代替●曲邊梯形的面積5.1定積分的概念與性質(zhì)(4)取極限令,則(3)求和

分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)無(wú)限分割時(shí)，矩形面積和無(wú)限逼近曲邊梯形面積?！袂吿菪蔚拿娣e5.1定積分的概念與性質(zhì)?且設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng),已知速度如何計(jì)算物體從時(shí)刻到時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程？●變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一、兩個(gè)引例5.1定積分的概念與性質(zhì)解決步驟：第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為

把時(shí)間區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間(1)分割用分點(diǎn)

●變速直線運(yùn)動(dòng)的路程5.1定積分的概念與性質(zhì)(3)求和(2)近似代替(4)取極限,則令●變速直線運(yùn)動(dòng)的路程5.1定積分的概念與性質(zhì)2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程1.

曲邊梯形的面積一、兩個(gè)引例兩個(gè)實(shí)例盡管實(shí)際意義差別很大，但他們的數(shù)學(xué)本質(zhì)怎樣呢？5.1定積分的概念與性質(zhì)

定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在中插入個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式如果和式的極限

存在，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)在上的定積分，記作，即定義15.1定積分的概念與性質(zhì)積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和二、定積分的概念積分分區(qū)間____5.1

定積分的概念與性質(zhì)3.

規(guī)定

2.

定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即有1.定積分是一個(gè)和式的極限，它的結(jié)果是一個(gè)常數(shù)。說(shuō)明●定積分的幾何意義定積分的值等于曲邊梯形面積；(1)(2)定積分的值等于曲邊梯形面積的負(fù)值.5.1

定積分的概念與性質(zhì)●定積分的幾何意義5.1

定積分的概念與性質(zhì)若在區(qū)間上，有正有負(fù),則等于區(qū)間上位于軸上方的圖形的面積減去軸下方的圖形的面積，如圖即有其中分別表示圖中所對(duì)應(yīng)的陰影部分的面積．5.1定積分的概念與性質(zhì)１.答案：2和０．２.答案：利用定積分的幾何意義計(jì)算

1．和.２．課堂實(shí)訓(xùn)5.1定積分的概念與性質(zhì)(k為常數(shù))三、定積分的性質(zhì)推廣性質(zhì)1性質(zhì)2不論相對(duì)位置如何，上式均成立．5.1定積分的概念與性質(zhì)(積分區(qū)間可加性)性質(zhì)35.1定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)4在區(qū)間上最小值和最大值,則上在區(qū)間如果分別是和三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)55.1定積分的概念與性質(zhì)(積分中值定理)如果函數(shù)使得至少存在一點(diǎn)上上連續(xù)，則在區(qū)間在閉區(qū)間通常稱上的平均值。在為函數(shù)當(dāng)時(shí),由曲線,直線所圍成的曲邊梯形的面積，等于以區(qū)間為底、以該區(qū)間上某一點(diǎn)處的函數(shù)值為高的矩形的面積.性質(zhì)65.2微積分基本公式一、變上限定積分設(shè)函數(shù)定義在上，x為區(qū)間上的任意一點(diǎn),定積分表示的是圖中陰影部分的面積．隨著積分上限x在區(qū)間內(nèi)變化，定積分都有惟一確定的值與之相對(duì)應(yīng),故它是x的函數(shù)，稱它為積分上限函數(shù)，記作，即5.2微積分基本公式上定理表明，是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的關(guān)系.

如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)就是，即定理15.2微積分基本公式【解】根據(jù)定理1，可得

設(shè)，求例1設(shè)，求例2公式【解】5.1定積分的概念與性質(zhì)

為方便計(jì)算，公式中的通常記為．因此上述公式可寫(xiě)成

二、牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則定理2

定積分的值等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在積分上、下限處的函數(shù)值之差。5.2微積分基本公式所以，由牛頓——萊布尼茨公式有求定積分例3

【解】因?yàn)椋?.2微積分基本公式求定積分例4【解】【思考】定積分的計(jì)算與定積分的運(yùn)算有什么異同？5.2微積分基本公式

求定積分例5【解】5.2微積分基本公式被積函數(shù)是分段函數(shù)由積分區(qū)間的可加性，得求定積分例6【解】5.2微積分基本公式※1．變上限積分函數(shù)的概念．※

2．變上限積分函數(shù)求導(dǎo)方法．

3．利用牛頓－萊布尼茲公式計(jì)算定積分．5．計(jì)算定積分的常用技巧．4．分段函數(shù)的定積分．小結(jié)5.3定積分的計(jì)算一、定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，滿足(1)(2)當(dāng)從變化到時(shí)，單調(diào)地從變化到；(3)在上連續(xù)．則上式稱為定積分的換元公式．定理2計(jì)算．所以且當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，5.3定積分的計(jì)算例1

,則,【解】令

計(jì)算,則且當(dāng)時(shí)，．所以;當(dāng)時(shí)，5.3定積分的計(jì)算例2【解】令

【解】令,則,且當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，5.3定積分的計(jì)算計(jì)算※例３設(shè)在上連續(xù)，試證明：(1)若在上為偶函數(shù)，則(2)若在上為奇函數(shù)，則令,則．在中，

當(dāng)當(dāng)時(shí)；時(shí)，?！咀C明】因?yàn)橛谑堑?.3定積分的計(jì)算※例4【證明】

(1)若為偶函數(shù),則,且(2)若為奇函數(shù)，則．且有所以5.3定積分的計(jì)算所以●重要結(jié)論(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱5.3定積分的計(jì)算【解】因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．所以且積分區(qū)間

利用重要結(jié)論，奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分計(jì)算可以得到簡(jiǎn)化，甚至不經(jīng)計(jì)算即可得到結(jié)果.5.3定積分的計(jì)算計(jì)算定積分

．例5計(jì)算定積分．對(duì)稱．所以

【解】被積函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且積分區(qū)間

關(guān)于原點(diǎn)是非奇非偶函數(shù)，5.3定積分的計(jì)算例6

或二、定積分的分部積分法5.3定積分的計(jì)算

設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定理3二、定積分的分部積分法計(jì)算【解】【解】計(jì)算5.3定積分的計(jì)算例7例8計(jì)算5.3定積分的計(jì)算例9【解】1．求定積分．*3．求定積分.（答案：）2．求定積分．（答案：）（答案：

）4．求定積分.5.3定積分的計(jì)算課堂實(shí)訓(xùn)（答案：）5.4反常積分一、無(wú)窮區(qū)間上的反常積分由曲線與軸、軸所“圍成”的開(kāi)口圖形的面積A如何求？

?5.4反常積分

【基本思路】在上任取一點(diǎn)，先求由與軸、軸及所圍成的曲邊梯形的面積，即求閉區(qū)間上的定積分然后再讓

,所得的極限即為所求開(kāi)口圖形的面積．我們把

稱為函數(shù)

在區(qū)間

上的反常積分．5.4反常積分

設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，任取,如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分，記作

,即這時(shí)也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．類似定義定義15.4反常積分

如果的原函數(shù)為，若記則三種無(wú)限區(qū)間的反常積分可形式上寫(xiě)成:用上述記號(hào)，省去了極限符號(hào)，書(shū)寫(xiě)更簡(jiǎn)便些．但應(yīng)注意，要始終理解為求極限值．5.4反常積分求例1求例2【解】【解】5.4反常積分

與軸圍成的面積.

【解】

表示由曲線(1)求例3單調(diào)增加，即

．當(dāng)時(shí),函數(shù)因此

發(fā)散．5.4反常積分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，收斂,其值為；當(dāng)時(shí)，發(fā)散．討論積分的收斂性.

※例

3【解】5.4反常積分二、有限區(qū)間上無(wú)界函數(shù)的反常積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，若存在，則稱則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分，記作，即此時(shí)也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。類似地可定義：其中定義25.4反常積分二、有限區(qū)間上無(wú)界函數(shù)的反常積分求【解】因?yàn)?，所以是反常積分，則例45.4反常積分

【解】因?yàn)?，所以是反常積分，且又由于故反常積分發(fā)散，所以也發(fā)散．討論反常積分的斂散性．例55.4反常積分

【解】

當(dāng)時(shí)，則有

當(dāng)時(shí)，則有

因此，當(dāng)時(shí)，該反常積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，該反常積分發(fā)散．討論反常積分（為常數(shù))的斂散性．例65.4反常積分1．計(jì)算．（答案：）（答案：發(fā)散）2．計(jì)算

．3．計(jì)算．（答案：）1．廣義積分的概念．3．無(wú)界函數(shù)的計(jì)算與判斂

．小結(jié)2．無(wú)窮限的廣義積分的計(jì)算與判斂

．課堂實(shí)訓(xùn)5.5應(yīng)用與實(shí)踐※一、微元法5.5應(yīng)用與實(shí)踐yf(x)dx通常將這種在微小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析的方法稱為微元法.這樣便得到了總量的積分式.5.5應(yīng)用與實(shí)踐二、平面圖形的面積1．直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積

面積的值等于圖形的上邊界所對(duì)應(yīng)的函數(shù)與下邊界所對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差在區(qū)間上的定積分．5.5應(yīng)用與實(shí)踐(２)由左、右兩條連續(xù)曲線、（）與兩條平行直線、所圍成的圖形的面積的計(jì)算公式：

面積的值等于圖形的右邊界所對(duì)應(yīng)的函數(shù)與左邊界所對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差在區(qū)間上的定積分．5.5應(yīng)用與實(shí)踐【解】畫(huà)草圖．

觀察上圖，運(yùn)用面積公式Ⅰ可得所求面積為解方程組,得【案例1】求由曲線和直線所圍成的平面圖形的積．

選作積分變量．圖形在軸上的投影區(qū)間為定積分的積分區(qū)間．5.5應(yīng)用與實(shí)踐【解】解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(1,1)．求解面積問(wèn)題的步驟：(1)作草圖：求曲線的交點(diǎn)，確定積分變量和積分限；(2)寫(xiě)出面積的定積分表達(dá)式；(3)計(jì)算定積分．【案例2】計(jì)算兩條拋物線與所圍成的面積．選取為積分變量，則積分區(qū)間為，根據(jù)面積公式(1)，所求的面積為5.5應(yīng)用與實(shí)踐

【解】因?yàn)闄E圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，所求橢圓的面積等于橢圓在第一象限部分與兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積的4倍，即令則且有【案例3】求橢圓所圍成的面積．5.5應(yīng)用與實(shí)踐5.5應(yīng)用與實(shí)踐【解】解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)和(8,4)．所求的面積為【案例4】求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積．【另解】選為積分變量，根據(jù)公式（1）得所求面積5.5應(yīng)用與實(shí)踐※2．極坐標(biāo)系中平面圖形的面積從而得所求曲邊扇形的面積為5.5應(yīng)用與實(shí)踐

【解】用曲邊扇形的面積公式計(jì)算．由于圖形關(guān)于極軸對(duì)稱，所以所求面積為【例4】求心形線所圍圖形的面面積.5.5應(yīng)用與實(shí)踐三、旋轉(zhuǎn)體的體積由平面圖形繞定直線旋轉(zhuǎn)一周生成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．

1.連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體，其體積可用微元法求得：在區(qū)間上取小間,將該小區(qū)間上的旋轉(zhuǎn)體視作底面積為、高為的薄圓柱，得體積微元5.5應(yīng)用與實(shí)踐則旋轉(zhuǎn)體的體積為2.連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積為5.5應(yīng)用與實(shí)踐【例5】求由橢圓所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【解】

由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以所求的體積是橢圓在第一象限內(nèi)形成的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積的二倍，即當(dāng)繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由公式(4)得5.5應(yīng)用與實(shí)踐當(dāng)繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由公式(5)得5.5應(yīng)用與實(shí)踐四、定積分的其他應(yīng)用(為常數(shù)）．由物理學(xué)知識(shí)知道：質(zhì)量為和，相距為的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力為【例6】設(shè)有均勻的細(xì)桿，長(zhǎng)為，質(zhì)量為，另有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于細(xì)桿所在的直線上，且到桿的近端距離為，求桿與質(zhì)點(diǎn)之間的引力．

【解】已知兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力公式，所以將細(xì)桿分成許多微小的小段，這樣可以把每一段近似看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而且這許多小段對(duì)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力都在同一方向上，因此可以相加．5.5應(yīng)用與實(shí)踐所以細(xì)桿與質(zhì)點(diǎn)之間的引力為如圖所示，取積分變量為，在中的任意子區(qū)間上細(xì)桿的相對(duì)應(yīng)小段的質(zhì)量為，該小段與質(zhì)點(diǎn)距離近似為，于是引力的微元為5.5應(yīng)用與實(shí)踐●功

【例8】

一圓臺(tái)形狀的容器高為5m，上底圓半徑為2m，下底圓半徑為3m，問(wèn)將容器內(nèi)盛