8.1 二元一次方程組 初中數(shù)學人教版七年級下冊大單元教學設計

8.1二元一次方程組（單元教學設計）一、【單元目標】通過情景導入，了解二元一次方程與二元一次方程組的概念與區(qū)別，學會根據(jù)題目的條件列出二元一次方程或二元一次方程組，學會根據(jù)實際情況，找出二元一次方程組的整數(shù)解情況等；（1）用生活中常見的事例，讓學生可以根據(jù)題目中所給的條件，列出二元一次方程組，從中提煉出二元一次方程和二元一次方程組的概念；由之前所學內容“一元一次方程”，歸納總結出二元一次方程與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，從而加深學生對方程的理解；（2）通過小組合作探究，讓學生參與教學過程，加深對二元一次方程和二元一次方程組解的理解，同時會根據(jù)實際情況找出滿足要求的整數(shù)解，提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學生的類比推理素養(yǎng)；（3）通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)；（4）在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉化的數(shù)學思想，同時提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；（5）通過生活中的事例，提高學生對周圍事物的感知能力，同時激發(fā)學生的學習興趣，提升學生的人文素養(yǎng)；二、【單元知識結構框架】二元一次方程組二元一次方程及其解的定義三、【學情分析】1．認知基礎二元一次方程和二元一次方程組及其解的定義，對我們后面學習的消元法解二元一次方程組和二元一次方程組的應用題具有關鍵作用，本節(jié)內容強調基礎概念，鍛煉學生的思維能力和判斷能力；2.認知障礙學生在理解二元一次方程組的概念時，會和分式方程混淆，導致概念不清晰；在講到二元一次方程的解時，要理解此時的解具有無數(shù)組，但一旦限定在整數(shù)范圍內，那就要根據(jù)題目實際含義縮小范圍；根據(jù)題意列二元一次方程組時，要讀清題意，加強對邏輯關系的分辨，準確列出二元一次方程組；四、【教學設計思路/過程】課時安排：約1課時教學重點：二元一次方程及其解的定義，二元一次方程組及其解的定義；根據(jù)實際情況列二元一次方程組；教學難點：二元一次方程組的認識與識別，根據(jù)二元一次方程組解的情況求參數(shù)的值；五、【教學問題診斷分析】情境導入小紅到郵局寄掛號信，需要郵費3元8角．小紅有票額為6角和8角的郵票若干張，問各需要多少張這兩種票額的郵票？這個問題中有幾個未知數(shù)，能列一元一次方程求解嗎？如果設需要票額為6角的郵票x張，需要票額為8角的郵票y張，你能列出方程嗎？8.1.1二元一次方程及其解的定義問題1（利用二元一次方程的定義求參數(shù)）：已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝________．【破解方法】二元一次方程必須符合以下三個條件：(1)方程中只含有2個未知數(shù)；(2)含未知數(shù)的項的最高次數(shù)均為一次；(3)方程是整式方程．【解析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)均為1的整式方程，即可求得m、n的值．根據(jù)題意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.問題2（二元一次方程的解）：已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))是方程2x－ay＝3的一個解，那么a的值是()A．1B．3C．－3D．－1【破解方法】根據(jù)方程的解的定義知，將x，y的值代入方程中，方程左右兩邊相等，即可求解．【解析】將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故選A.8.1.2二元一次方程組及其解的定義問題3（識別二元一次方程組）：有下列方程組：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,x＋y＝2；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,\f(1,x)＋y＝1；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0，,3x－y＝\f(1,5)；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋π＝3，,x－y＝1，))其中二元一次方程組有()A．1個B．2個C．3個D．4個【破解方法】識別一個方程組是否為二元一次方程組的方法：一看方程組中的方程是否都是整式方程；二看方程組中是不是只含兩個未知數(shù)；三看含未知數(shù)的項的次數(shù)是不是都為1.【解析】①方程組中第一個方程含未知數(shù)的項xy的次數(shù)不是1；②方程組中第二個方程不是整式方程；③方程組中共有3個未知數(shù)．只有④⑤滿足，其中⑤方程組中的π是常數(shù)．故選B.問題4（利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值）甲、乙兩人共同解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋5y＝15；①,4x－by＝－2.②))由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1；))乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))試計算a2014＋(－eq\f(1,10)b)2015的值．【破解方法】利用方程組的解確定字母參數(shù)的方法是將方程組的解代入它適合的方程中，得到關于字母參數(shù)的新方程，從而求解．【解析】由方程組解的定義知：甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))說明eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))是方程②的解；同樣eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))是方程①的解．解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2014＋(－eq\f(1,10)b)2015＝(－1)2014＋(－eq\f(1,10)×10)2015＝1－1＝0.8.1.3列二元一次方程組問題5：小劉同學用10元錢購買了兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元與2元．設他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，那么可列方程組()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝10，,x＋y＝8))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,10)＝8，,x＋2y＝10))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x＋2y＝8))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))【破解方法】要判斷哪個方程組符合題意，可從題目中找出兩個相等關系，然后代入未知數(shù)，即可得到方程組，進而得到正確答案．【解析】根據(jù)題意可得到兩個相等關系：(1)1元賀卡張數(shù)＋2元賀卡張數(shù)＝8(張)；(2)1元賀卡錢數(shù)＋2元賀卡錢數(shù)＝10(元)．設他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，可列方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,x＋2y＝10.))故選D.六、【教學成果自我檢測】1．課前預習設計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內容.1．下列方程組是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用二元一次方程組的定義逐一判斷即可解題．【詳解】解：A.方程組含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；B.有一個方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；C.有一個方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；D．此方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查二元一次方程組的定義，理解二元一次方程組的定義是解題的關鍵．2．下列方程的解為

的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把的值代入方程計算，即可求解．【詳解】解：選項，，符合題意；選項，，不符合題意；選項，，不符合題意；選項，，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．3．已知是二元一次方程組的解，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，將代入方程組，進而求得的值，進而即可求解．【詳解】解：∵是二元一次方程組的解，∴即，∴，故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．二元一次方程組的兩個二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．4．若方程是關于，的二元一次方程，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為，然后進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義問題，掌握定義是解題的關鍵．5．已知是方程的一個解，那么a的值是______．【答案】2【分析】把代入，即可求解．【詳解】解：把代入得：，解得：．故答案為：2【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關鍵．6．哪些是二元一次方程？為什么？（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1.【答案】（3），見解析【詳解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．2．課堂檢測設計意圖：例題變式練.【變式1】在下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)由兩個結合在一起的共含有兩個未知數(shù)的一次方程叫二元一次方程組進行判斷即可．【詳解】解：A.是二元一次方程組；B.是二元一次方程組；C.是二元一次方程組；D.不是二元一次方程組；故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組是由兩個共含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且都是整式的方程組成是解題的關鍵．【變式2】已知是二元一次方程的解，則k的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入二元一次方程，得到關于的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：依題意，解得：故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．【變式3】已知是方程的解，則代數(shù)式的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，得出，整體代入代數(shù)式求值即可求解．【詳解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【變式4】已知是二元一次方程的一個解．(1)則_________(2)試直接寫出二元一次方程的所有正整數(shù)解．【答案】(1)5(2)，【分析】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值；（2）將a的值代入方程2x+y=a，再用列舉法求出方程的解即可．【詳解】（1）將代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案為：5（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整數(shù)解為：，．【點睛】考查二元一次方程的解，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關系．3．課后作業(yè)設計意圖：鞏固提升.1．下列是二元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各選項代入方程的左邊計算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．【詳解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項不符合題意；B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本選項符合題意；C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項不符合題意；D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關鍵．2．下列方程組中，表示二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷即可．【詳解】解：因為A選項中含有三個未知數(shù)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因為B選項中含有分式，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因為C選項中含有二次項，因此不是二元一次方程組，不符合題意；因為D選項中是二元一次方程組，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題關鍵是掌握其中的三個條件：①是整式方程，②方程組中一共只含有兩個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的次數(shù)是1．3．下列方程中，二元一次方程的個數(shù)是（

）①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：①只含有一個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；②不是整式方程，因此不是二元一次方程；③中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，因此不是二元一次方程；④是二元一次方程；⑤是二元一次方程；⑥含有一個未知數(shù)，且最高次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；⑦含有3個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；⑧是二元一次方程；⑨中未知數(shù)的次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；綜上分析可知，二元一次方程的個數(shù)是3個，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程的定義，如果一個方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項的次數(shù)為1次，那么這個整式方程就叫做二元一次方程．4．方程是關于，的二元一次方程，則的值為______．【答案】3【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得，進一步即可求出結果．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：，所以；故答案為：3．【點睛】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個