專題18 數(shù)列（解答題壓軸題）試題含解析

專題18數(shù)列（解答題壓軸題） 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 5 7 1112023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=an+1，a2=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；2n}，將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為Tn，求Tn.22023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，從n1nnn1(n已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.32023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足2=an+1，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；n11<λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.42023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為2nn+2neN*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；n}的前100項(xiàng)的和M100.52023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1,a2a3a4=64，數(shù)neN*.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；n(2bn+1)，求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n.2n1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.an 2nan 2n.2n(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； .2n，證明：Sn< .282023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列{an(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；n92023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2Sn=nan，a2=3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；n16an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.102023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，an+1=，neN*.(1)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)在bk與bk+1（其中keN*）之間插入2k個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{cn}.記Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求S36.112023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2,a6,a14成等比數(shù)列，S3=b4一1，b2,122023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=.(1)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若a2+1，a3+1，a5成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）n②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題12023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每2,12,22,32,n2,12,22,32,n3,13,23,33,13,23,3(1)設(shè)bn=an,n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；n,1，是否存在實(shí)數(shù)λ,使an,1<λSn恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，請(qǐng)說明理由.22023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)在曲線x2一2x+y=0上.(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)若bn=(1)nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足mTn2<Tn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.32023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+2n+1，neN*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式Tn>m2+7恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.42023·浙江·二模）記Sn為正數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知{Sn_an}是等差數(shù)列.(1)求0；(2)求最小的正整數(shù)m，使得存在數(shù)列{an}，Sm_a>2.52023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對(duì)于數(shù)列{xn}，{yn}，其中yneZ，對(duì)任意正整數(shù)n都有xn_yn<，則稱數(shù)列{yn}為數(shù)列{xn}的“接近數(shù)列”.已知{bn}為數(shù)列{an}的“接近數(shù)列”，且An=ain 14(1)若an=n 14（n是正整數(shù)），求b1，b2，b3，b4的值；3(2)若32（n是正整數(shù)），是否存在k（k是正整數(shù)），使得Ak<Bk，如果存在，請(qǐng)求出k的最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若{an}為無窮等差數(shù)列，公差為d，求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列的充要條件是d=Z.62023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①a2，a3+2，a6+4成等比數(shù)列；②S2，a6，S4+4成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)令〈〉是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．若n=N*，λ(Tn+2n+2-4)>8Sn-26an，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.12023·上海楊浦·復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）設(shè)y=f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的x1、x2=R(x12),f(x1)-f(x2)<x1-x2均成立，則稱y=f(x)是“平緩函數(shù)”.(1)若f1(x)=,f2(x)=sinx，試判斷y=f1(x)和y=f2(x)是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:x>0時(shí)，sinx<x恒成立)(2)若函數(shù)y=f(x)是“平緩函數(shù)”，且y=f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的x1、x2eR，均有f(x1)-f(x2)<;(3)設(shè)y=g(x)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=A.g(x)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列n22023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，g(x)=.n(2)設(shè)meZ．若對(duì)任意x>0均有f(x)>mg(x)-1成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)t使得對(duì)任意neN，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立?若存在，求t的最小可能值；若不存在，說明理由.32023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知f(x)=lnx+，g(x)=f(x)-x.(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明f(x)>1對(duì)任意的x>1都成立，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，P、Q為函數(shù)y=f(x)圖像上橫坐標(biāo)均大于1的不同兩點(diǎn)，試證明：ZPMQ<30。；42023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=eax,aeR.(1)令g(x)=，討論g(x)的單調(diào)性；,neN*；(3)若a=1，對(duì)于任意的m,neR，不等式2)+bf(lnn).f(m)+2>0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.f(x)52023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=f(x)是其f(x)x是I上的嚴(yán)格減函數(shù)，則稱y=f(x)是I上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列，而〈〉是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱n}是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)y=lnx是否為(e,+偽)上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-2x2-4x-8的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若y=f(x)是[m,n]上的“弱增函數(shù)”，求n-m的最大值；(3)已知等差數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)Tn=(n是正整數(shù)，常數(shù)λ之一2)，若存在正整數(shù)k和m，使得k>m>1且Tk=Tm，求λ所有可能的值.62023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fn(x)=xn+x+a，其中n為正整數(shù)，a<0且為常數(shù).(1)求函數(shù)y=f4(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對(duì)于任意n，函數(shù)y=fn(x)，在,1內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)設(shè)xn是函數(shù)y=fn(x)大于0的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列{xn}．問：是否存在實(shí)數(shù)a使得{xn}中的部分項(xiàng)：xn1，.xnk...其中i<j時(shí)，ni<nj）構(gòu)成一個(gè)無窮等比數(shù)列{an}若存在；求出a；若不存在請(qǐng)說明理由.72023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}公差為d(d產(chǎn)0)，前n項(xiàng)和為Sn.、a13成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p、q(p產(chǎn)q)，使得與均為整數(shù)，求ap+q的值；2x+2x+1,證明對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，不等式ai.f(ai)之0恒成立.12023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有n+1(n10)集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的n集電視劇隨機(jī)分配在2n天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第n集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第X天觀看該集.(1)求X的分布列；(2)證明：最有可能在第(2n-2)天觀看最精彩的第n集.22023春·河北唐山·高二?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍.(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1=1,p2=0.②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小.32023·全國·高三專題練習(xí)）小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.342023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，?,30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球3首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第m(1<m<28,m=N)號(hào)同學(xué)得到球后傳給m+1號(hào)同學(xué)的概率為2，傳給m+2號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第n(2<n<30,neN)號(hào)的概率為Pn.(1)求P4的值；(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大小.52023·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值x同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，經(jīng)計(jì)算1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973)(3)該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點(diǎn)擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎(jiǎng)勵(lì)0分）或第15格（獎(jiǎng)勵(lì)5分）時(shí)，游戲結(jié)束，每天的積分自動(dòng)累加，設(shè)小兔子跳到第n(1<n<14)格的概率為Pn，試證明{Pn+1-Pn}是等比數(shù)列，并求P15（獲勝的概率）的值.62023·全國·高三專題練習(xí)）2022年4月23日是第27個(gè)“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知識(shí)讓生命飛翔”主題知識(shí)競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨(dú)立的，記小明得n分的概率為p(n)，neN*.(1)求p(2)，p(3)的值；(2)求p(n).72023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，對(duì)一次性消費(fèi)超過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行9輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若累計(jì)得分為i的概率為pi(i=1,2,...,9)，初始分?jǐn)?shù)為0分，記p0=1（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.82023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動(dòng)，該學(xué)校準(zhǔn)備了100個(gè)相同的箱子，其中第k(k=1,2,…,100)個(gè)箱子中有k個(gè)數(shù)學(xué)題，100一k個(gè)物理題．每一輪競賽活動(dòng)規(guī)則如下：任選一個(gè)箱子，依次抽取三個(gè)題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動(dòng)結(jié)束；若此輪活動(dòng)中，三個(gè)題目全部答對(duì)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.(1)已知學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中，都抽中了2個(gè)數(shù)學(xué)題，1個(gè)物理題，且甲答對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)題的概率為p，答對(duì)每一個(gè)物理題的概率為q.①求學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；②已知p+q=1，學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動(dòng)才能獲得四個(gè)獎(jiǎng)品？并求此時(shí)p、q的值.(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動(dòng)，求乙第三次抽到物理題的概率.專題18數(shù)列（解答題壓軸題） 1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題 11 17 2812023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=an+1，a2=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)集合A={a1,a2,…,an}，將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為Tn，求Tn.n1），n，n綜上，an=n對(duì)任意nEN*都成立.,a2n其中最小元素為1的集合中，含1個(gè)元素的集合有1個(gè)，含2個(gè)元素的集合有C一1個(gè)，n2個(gè)，n1n2Tnn222023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，從n已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：<Tn<1.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.(2)證明見解析.n之2)，因此數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即有a2a1=2a1=2，因此vneN*，an+1an=2，即數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，Sn1n1，{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n2，32023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足2=an+1，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意n=N+，且當(dāng)n>2時(shí)，總有+++...+<λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【答案】(1)an=2n-12n-an-1-2)=0，nn-1n-an-1-2=0，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（2）因?yàn)閍n=2n-1，所以Sn==n242023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n=**).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；nn]（取整函數(shù)[x]表示不超過x的整數(shù)，如[2.1]=2求數(shù)列{cn}lanJ的前100項(xiàng)的和M100.【答案】(1)an=nn+1-Sn)， anaan anaana a (n+1)-log2n，222]log2101]，22245x552023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1,a2a3a4=64，+1-(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=an+(-1)n(2bn+1)，求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n.【答案】(1)an=2n-1，bn=n；2n【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得q>0，因?yàn)閍2a3a4=64，所以a=64，得a3=4，又a1所以an=a1qn-1=2n-1，+b2n一一一所以bn=n；n(2n則數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和為：T2n2所以：T2022n.(2.2nn2n(1)設(shè)bn=a2n+a2n一1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.【答案】(1)bn=2n+3(2)202n21所以數(shù)列{bn一3}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即a2n1nn所以{Sn}(nE**)是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)镾19=3920所以滿足題意的n的最小值是20.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；Sn，證明：S<1.lan.an+1Jn2(2)證明見解析1，一所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=一2n+1.因?yàn)閚EN*，可得>0，所以Sn<.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；nan，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：1<S2n<.(2)證明見解析所以 nn 所以所以所以所以 所以所以所以所以 2=，公差d= 22a=nnnn所以，S2n=*)n52n592023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2Sn=nan，a2=3.(2)S36=1457(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn=16an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.(3n22【詳解】（1）由2Sn=nan，則2Sn+1=(n+1)an+1，一一一記Cn=193n，設(shè)數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和T,.n235n；nnn22,nn22(3n22102023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，an+1=，neN*.(1)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)在bk與bk+1（其中keN*）之間插入2k個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{cn}.記Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求S36.【答案】(1)bn=4n(neN*)所以aneN*).（2）在b1,b2之間有2個(gè)3，b2,b3之間有22個(gè)3，b3,b4之間有23個(gè)3，b4,b5之間有24個(gè)3，45S365S361-4112023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2,a6,a14成等比數(shù)列，S3=b4-1，b2,b4,a12成等差數(shù)列.(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，：S3-1得b1：：n-1，n-1n-1nnnnn.(nn).2n，：{Tn}為遞減數(shù)列，，：).2n，：{Tn}為遞增數(shù)列，1時(shí)，Tn取最小值，且T1=，，：122023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=(1)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若a2+1，a3+1，a5成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列{bn}多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析2.n的前n項(xiàng)和Tn.（注：如果選擇 nSnn2Sn1，n，當(dāng)n=2時(shí)上述式子恒成立，na即 n即n1nn1n，所以nn1222222所以{an}是以1為首項(xiàng)，a2一1為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍2+1，a3+1，a5成等比數(shù)列，若選②bn=，則12n+12n1 ，n+1，2253n+1②數(shù)列中的恒成立（能成立）問題12023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)q,a1,1>0,a1,3(1)設(shè)bn=an,n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；n,1，是否存在實(shí)數(shù)λ,使an,1<λSn恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，請(qǐng)說明理由.n1；(2)存在，λ=.【詳解】（1）設(shè)a1,1=t，第一行從左到右成等差數(shù)列的公差為d，anλ<當(dāng)nλ< 3恒成立，則λ<，因此λ=，2所以存在λ=，使得an,1<λSn恒成立.22023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)在曲線x2一2x+y=0上.(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足mTn2<Tn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1)證明見解析；2,又S1=221，符合上式，所以an=32n(neN*)，則an+1an=2，故{an}為1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；若n=2k則Tn132k-1)42k)2-3k+易知f(n)=1-單調(diào)遞增，f(n)<1，即m>1；Tn132k-1)42k-2)易知f(n)=1+n>3)單調(diào)遞減，故1<f(n)<f(3)=3，故m￡1綜上所述，對(duì)于vneN*，m=1滿足不等式恒成立.32023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+2n+1，neN*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；27恒成立，求實(shí)數(shù)m的取n(2)設(shè)bn=，{b27恒成立，求實(shí)數(shù)m的取n值范圍.n-2,)nn-1，∴當(dāng)n>2時(shí)，an又a1n-2,nn，1nn+1，②2n-n又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n，T>n27恒成立，所以m2-m+727min，n+1nn42023·浙江·二模）記Sn為正數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知{Sn-an}是等差數(shù)列.(1)求a0；(2)求最小的正整數(shù)m，使得存在數(shù)列{an}，Sm-a>2.【答案】(1)1(2)3【詳解】（1）由題意{Sn-an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則Sn+1則Sn+1-an+1=Sna（2）由（1）可知an=d>0，一方面Sm-a=md-d2>2，另一方面，m=3時(shí)，an=﹐S3-a=3-2>2滿足條件，綜上所述，正整數(shù)m的最小值是3.nn252023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）對(duì)于數(shù)列{xn}，{yn}，其中yn=Z，對(duì)任意正整數(shù)n都有x-y<1，則稱nn2數(shù)列{yn}為數(shù)列{xn}的“接近數(shù)列”.已知{bn}為數(shù)列{an}的“接近數(shù)列”，且An=ai，Bn=bi.），（n是正整數(shù)），是否存在k（k是正整數(shù)），使得Ak<Bk，如果存在，請(qǐng)求出k的最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若{an}為無窮等差數(shù)列，公差為d，求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列的充要條件是d=Z.(2)存在，kmin=17(3)證明見解析+，又因?yàn)閧bn}為數(shù)列{an}的“接近數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=-n+1，由函數(shù)y=-x+1的單調(diào)性可知a2<an<，即an=,，得an-1=-,，進(jìn)一步有bn=1，-1n，Bn=當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令Bk-Ak>0牽-1-k>0牽k>1無解；k因此，存在k（k是正整數(shù)），使得Ak<Bk，且kmin=17；（3）充要條件為：deZ.①若deZ時(shí)，由題意對(duì)于任意正整數(shù)n均有an-bn<恒成立，且bneZ，nn+1-從而an+1-an-1<bn+1-因?yàn)閎neZ，deZ，所以bn+1-bn-d=0，即bn+1-bn=d.因此{(lán)bn}為等差數(shù)列，且公差也為d(deZ)；②若{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,(d,eZ)，an+1-a1=an+1-bn+1+bn+1-b1+b1-a1<an+1-bn+1+bn+1-b1+b1-a1<nd,+1，又an+1-a1n+1-b1-an+1-bn+1+b1-a1>nd,-1，即nd,-1<n|d|<nd,+1，亦即-<(d-d,)<對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以，d=d,，又d,eZ，得deZ.因此，所求充要條件為deZ.62023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出以下條件：①a2，a3+2，a6+4成等比數(shù)列；②S2，a6，S4+4成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；lanJnlanJnλ(T+2n+2-4)之8Sn-26an，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)an=2n；所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.解得d=2，則an=a1+(n-1)d=2n，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.選③,設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，由是與的等差中項(xiàng)，得+=，化簡得12d2-11d-26=0，即(d-2)(12d+13)=0，解得d=2，則an=a1+(n-1)d=2n，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.n4 等價(jià)于λn.2n+2之8n2-44n，于是得nEN*，λ之恒成立，n2nn+1n2n+12n2n+1n+令c=2n-11，則c-c=2(n+1)-1n2nn+1n2n+12n2n+1n+<0，即數(shù)列{cn}遞減，當(dāng)n=7時(shí)，(cn)max=，則λ之，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是,+偽.12023·上海楊浦·復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）設(shè)y=f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的x1、x2ER(x1,f(x1)-f(x2)<x1-x2均成立，則稱y=f(x)是“平緩函數(shù)”.(1)若f1(x)=,f2(x)=sinx，試判斷y=f1(x)和y=f2(x)是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:x>0時(shí)，sinx<x恒成立)1x221xx2x+x(x21x221xx2x+x(x2121122112有f(x1)f(x2)<;(3)設(shè)y=g(x)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=A.g(x)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)y=f1(x)，由對(duì)任意的x1、x2eR，可知函數(shù)y=f1(x)是R上的“平緩函數(shù)”.對(duì)于函數(shù)y=f2(x)，由對(duì)任意的x1、x2eR，一==x一xxxxx2+1xx2+xxxx2+1xx2+1x2xx2x2xx2x<x2x1|因此函數(shù)y=f2(x)也是R上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得f(0)=f(1)，由于函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，故不妨設(shè)x1、x2e[0,1].當(dāng)x1x2<時(shí)，由y=f(x)為R上的“平緩函數(shù)”得f(x1)f(x2)<x1x2<；當(dāng)x1x22x1>，此時(shí)由y=f(x)為R上的“平緩函數(shù)”得f(x)f(x)=f(x)f(0)+f(1)f(x)<f(x)f(0)+f(1)f(x)綜上所述，命題得證；1x2x1)g(x)22023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，g(x)=.n(2)設(shè)m=Z．若對(duì)任意x>0均有f(x)>mg(x)-1成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)t使得對(duì)任意n=N，n>t，都有f(n-t)<n-g(k)成立?若存在，求t的最小可能值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見詳解；【詳解】（1）即 即當(dāng)m-1<0時(shí)，h，(x)>0，所以h(x)在(0,+m)單調(diào)遞增.又h(0)=ln1-0+1=1>0，所以則h(x)>0成立.故m￡1.故h(x)min=h(m-1)<h(0)=0與h(x)>0矛盾.綜上，m￡1，所以m的最大值是1.令x分別取,,…,得 3-an+3)要使存在正整數(shù)t使得對(duì)任意n=N，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立，又n=N且t為正整數(shù)，故t之1.所以存在正整數(shù)t使得對(duì)任意n=N，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立，t的最小可能值是1.32023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知f(x)=lnx+，g(x)=f(x)-x.(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)容易證明f(x)>1對(duì)任意的x>1都成立，若點(diǎn)M大于1的不同兩點(diǎn)，試證明：ZPMQ<30。；(3)數(shù)列{an}滿足a1=(0,1)，an+(2)證明見解析(3)證明見解析的坐標(biāo)為(1,1)，P、Q為函數(shù)y=f(x)圖像上橫坐標(biāo)均(【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=lnx+，定義域?yàn)?0,+m)，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1,+m).xx2-x2+x- 3x2,當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y=-x2+x-單調(diào)遞減，又由（1）可知，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(1)=1，所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的圖象始終夾在直線y=1和直線y=(x一1)+1之間，且f(x)的圖象不會(huì)和直線y=1和直線y=(x一1)+1相交，因此經(jīng)PMQ<30。恒成立，命題得證.x2x22x(1)23(1)23x2恒成立，又由（1）可知數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+偽)單調(diào)遞增，42023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=eax,aeR.(1)令g(x)=，討論g(x)的單調(diào)性；n*；(3)若a=1，對(duì)于任意的m,neR，不等式+bf(lnn).f(m)+2之0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析ax:ex>x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，等號(hào)成立.(1)(1)1(1)n(1)n一2(1)n(1)n一2n1 e(1)2(1)3(1)n「(1)2(1)3(1)n]n1 e(1)2(1)3(1)n「(1)2(1)3(1)n](1)2m①b<0，當(dāng)n喻+偽,m喻0時(shí)，不等式顯然<0，所以此時(shí)不成立；②b=0，不等式顯然成立.2embmm-b.emln+2，bb2e22e2所以b<2e.f(x)52023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=f(x)是其定義域內(nèi)的區(qū)間f(x)x是I上的嚴(yán)格減函數(shù)，則稱y=f(x)是I上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列，而〈〉是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱{an}是“弱增數(shù)列”.(1)判斷函數(shù)y=lnx是否為(e,+偽)上的“弱增函數(shù)”，并說明理由（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)已知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-2x2-4x-8的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若y=f(x)是[m,n]上的“弱增函數(shù)”，求n-m的最大值；(3)已知等差數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4的“弱增數(shù)列”，且公差d是偶數(shù).記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)Tn=(n是正整數(shù)，常數(shù)λ之-2)，若存在正整數(shù)k和m，使得k>m>1且Tk=Tm，求λ所有可能的值.【答案】(1)y=lnx是(e,+偽)上的“弱增函數(shù)”，理由見解析(3)λ所有可能的值為-1和-2【詳解】（1）函數(shù)y=lnx是(e,+偽)上的“弱增函數(shù)”，理由如下：對(duì)于函數(shù)y=，y,=，故y=是(e,+偽)上的嚴(yán)格減函數(shù)，（2）記g(x)=-2x2-4x-8，f(x)由y=f(x)是[m,n]上的“弱增函數(shù)”可得函數(shù)y=f(x)是[m,nf(x)x嚴(yán)格減函數(shù)，函數(shù)y=2x2-4x+8圖像的對(duì)稱軸為x=1，且是區(qū)間[1,n]上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)h,(x)=0，即2-=0時(shí)，解得x=-2或x=2，當(dāng)-2<x<2時(shí)，h,(x)=2-<0，則函數(shù)h(x)在[m,2]上單調(diào)遞減，即函數(shù)h(x)是區(qū)間[m,2]上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以n-m的最大值為1.由{an}是“弱增數(shù)列”得d>0,4-d>0，即0<d<4.又因?yàn)閐是偶數(shù)，所以d=2，nn222+3nnn2故若k>m之3，則不存在k和m，使得Tk=Tm.若T2若T2若T262023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fn(x)=xn+x+a，其中n為正整數(shù)，a<0且為常數(shù).(1)求函數(shù)y=f4(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對(duì)于任意n，函數(shù)y=fn(x)，在,1內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)設(shè)xn是函數(shù)y=fn(x)大于0的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列{xn}．問：是否存在實(shí)數(shù)a使得{xn}中的部分項(xiàng)：xn，xn，xn...xn...其中i<j時(shí)，ni<nj）構(gòu)成一個(gè)無窮等比數(shù)列{an}若存在；求出a；若不存在請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）解：由題知y=f4(x)=x4+x+a，（2）解：當(dāng)x>0時(shí)，fn,(x)=nx所以函數(shù)y=fn(x)在,1內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)只需fn.fn(1)<0即可，fn(xn).），所以，{xn}是恒為1的常數(shù)列，符合題意.n由于y=fn(x)是(0,+偽)上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以1>xnn)上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以xn+1>xn.所以，{xn}是嚴(yán)格增數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列{an}也為嚴(yán)格增數(shù)列.q故2<a<0不符合題意.由于y=fn(x)是(0,+偽)上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以1<xn.n)上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以xn+1<xn.所以，{xn}是嚴(yán)格減數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列{an}也為嚴(yán)格減數(shù)列.q故a<2不符合題意.綜上，使數(shù)列{xn}部分項(xiàng)可以構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是：a=一2.72023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}公差為d(d產(chǎn)0)，前n項(xiàng)和為Sn.=12，求{an}的通項(xiàng)公式；1，a1、a3、a13成等比數(shù)列，且存在正整數(shù)p(3)若f(x)=，證明對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，不等式ai.f(ai)之0恒成立.【答案】(1)an=5n_6；(3)證明見解析.【詳解】（1）設(shè){an}的公差為d，則S3=3x(_1)+3d=12，d=5，（2）設(shè){an}的公差為d，由a1、a3、a13成等比數(shù)列得a=a1a13，anp,q都是正整數(shù)，=，=都是整數(shù)，顯然是正整數(shù)，），t，（3）f(x)的定義域是R，f(_x)=___==_f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，從而1_<1_，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是增函數(shù)，若ai+a2023_i），iai2023_i，f(ai)之f(_a2023_i)=_f(a2023_i)，f(ai)+f(a2023_i)之01<i<2022,ieN*），iai，f(ai)<f(a2023i)=f(a2023i)，f(ai)+f(a2023一i)<01<i<2022,ieN*∴f(ai)=f(a1)+f(a2022)+f(a2)+f(a2021綜上，對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，ai.f(ai)之0.12023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一部電視連續(xù)劇共有n+1(n之10)集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的n集電視劇隨機(jī)分配在2n天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第n集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第X天觀看該集.(1)求X的分布列；(2)證明：最有可能在第(2n一2)天觀看最精彩的第n集.【答案】(1)分布列見解析(2)證明見解析【詳解】（1）要在第一集后的第1~2n天中觀看后n集電視劇，考慮第n集在X=j時(shí)的概率，），在第j天看第n集，在第(j+1)~2n天要看第(n+1)集（即最后一集），nj，故X的分布列是：Xn1nLjLPC一一C+1C一一CL j12nj2L2nC2n3（2）設(shè)aj=P(X=j)，n-1<j<2n-1，下面求{aj}中的最大項(xiàng)，aj+1-2(2n-j-1)=j(j-1)…j-(n-2)+1(2n-j-1)ajC-(2n-j)(j-1)(j-2)…j-1-(n-2)+1(2n-j)j(2n-j-1)j(2n-j)-j[j-(n-2)](2n-j)j(2n-j)-(n-2)(2由于n-1<j<2n-1，則2n-j-1>0，j-(n-2)>1，所以aj+1<aj常j(2n-j)-j<j(2n-j)-(n-2)(2n-j)，即2n(n-2)<(n-1)j，所以j>2n-2時(shí)，有aj+1<aj，同理可得j<2n-3時(shí)，有aj+1>aj.所以{aj}中的最大項(xiàng)為a2n-2，即最有可能在第(2n-2)天觀看第n集.22023春·河北唐山·高二?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍.(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1=1,p2=0.②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小.【答案】(1)分布列見解析；期望為1【詳解】（1）方法一：X的所有可能取值為0,1,2,3，在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率P=xxx3=，322x所以X的分布列如下：X0123P 247291729E(X)=x1+x2+79x3==方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3，易知X~B(|（3,，故X的分布列為：X0123P82431729所以X的期望E(X)=3x1=.3（2）①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，則當(dāng)n之2時(shí)，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn-1，第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-pn-1，=-pn-1nnn2則p=p-1x0+=-pn-1nnn2即pn-=-pn-1-，又p1-=122,3n-〉是以為首項(xiàng)，公比為-的等比數(shù)列.故p10<q10.32023·全國·高三專題練習(xí)）小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.【答案】(1)0.301(2)①第2次中靶的概率為0.84，第3次中靶的概率為0.868；②小明第n次中靶的概率為1-【詳解】（1）小明射擊3次恰有2次中靶包括以下三種情況：第一種：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率為0.7根0.9根(1-0.9)=0.063；第二種：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率為0.7根(1-0.9)根0.7=0.049；第三種：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率為(1-0.7)根0.7根0.9=0.18（2）小明第2次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第一次中靶、第二次也中靶，其概率為0.7根0.9=0.第二種：第一次未中靶、第二次中靶，其概率為(1-0.7)根0.7=0.21；所以，小明第2次中靶的概率為0.63+0.21=0因此，小明第2次未中靶的概率為1-0.84=0.16同理，第3次中靶的概率包括以下兩種情況：②設(shè)小明第n次中靶的概率為Pn，則第n-1次中靶的概率為Pn-1(n>2)，第n次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第n-1次中靶，第n次也中靶，其概率為0.9根Pn-1；第二種：第n-1次未中靶，第n次中靶，其概率為(1-Pn-1)根0.7；所以，小明第n次中靶的概率為Pn=1-42023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1，2，?,30號(hào)站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號(hào)傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第m(1<m<28,m=*)號(hào)同學(xué)得到球后傳給m+1號(hào)同學(xué)的概率為，傳給m+2號(hào)同學(xué)的概率為，直到傳到第29號(hào)（投籃練習(xí)）或第30號(hào)（投籃練習(xí)）時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，30號(hào)同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第n(2<n<30,n=*的概率為Pn.(1)求P4的值；(3)比較29號(hào)和30號(hào)投籃命中的概率大小.(2)證明見解析(3)29號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率.因此P43Pn-2（2）解：依題意籃球傳到第3Pn-2 1 199所以{Pn+1-Pn}是首先為1，公比為-1的等比數(shù)列.；:PPP，2n1，1(1)27] +L4||所以P291(1)27] +L4||2827272827，所以29號(hào)投籃命中概率大于30號(hào)投籃命中概率.52023·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解該校學(xué)生“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效率，隨機(jī)抽查了高一年級(jí)100位學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均值x同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)根據(jù)整個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)成績可以認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，經(jīng)計(jì)算1）中樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，現(xiàn)任抽取一位學(xué)生，求他的數(shù)學(xué)成績恰在64分到94分之間的概率若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則(3)該年級(jí)1班的數(shù)學(xué)老師為了能每天督促學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生每天的作業(yè)質(zhì)量及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，特意在微信上設(shè)計(jì)了一個(gè)每日作業(yè)小程序，每當(dāng)學(xué)生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時(shí)，就有機(jī)會(huì)參與一次小程序中”玩游戲，得獎(jiǎng)勵(lì)積分”的活動(dòng)，開學(xué)后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領(lǐng)取相應(yīng)的小獎(jiǎng)品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點(diǎn)一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2