專題21 圖形的相似（學(xué)生版）

知識點01：平行線分線段成比例【高頻考點精講】1、三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。2、推論（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。（2）如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（3）平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。知識點02：相似三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點精講】1、相似三角形的判定（1）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）（2）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似）（3）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似。（三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似）（4）兩三角形三邊對應(yīng)平行，則兩三角形相似。（三邊對應(yīng)平行，兩個三角形相似）（5）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（斜邊與直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似）2、相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成正比例。（2）相似三角形對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。知識點03：位似變換【高頻考點精講】1、位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。2、位似圖形與坐標：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標比等于k或﹣k。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.48一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．（2分）（2023?廣東）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)3．（2分）（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或24．（2分）（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．35．（2分）（2023?遂寧）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）6．（2分）（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與DG的交點．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B． C．2 D．37．（2分）（2023?煙臺）如圖，在直角坐標系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）8．（2分）（2023?德陽）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長線與CB的延長線相交于點F，DB的延長線與OE的延長線相交于點G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切線；③B，E兩點間的距離是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．49．（2分）（2023?綏化）如圖，在正方形ABCD中，點E為邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點F，連接BD交AE于點G，F(xiàn)H平分∠BFG交BD于點H．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB2＝BF?AE②S△BGF：S△BAF＝2：3③當AB＝a時，BD2﹣BD?HD＝a2A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．（2分）（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點P，對角線BD交AF于點H，連接HM，CM，DM，BM，下列結(jié)論正確的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當點E運動到AB的中點，tan∠BHF＝2；⑤EP?DH＝2AG?BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE，則＝．12．（2分）（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點，連結(jié)AC、DE交于點F．若，則＝．13．（2分）（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為．14．（2分）（2023?泰州）兩個相似圖形的周長比為3：2，則面積比為．15．（2分）（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點的坐標是．16．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AC，AD，CE是正五邊形ABCDE的對角線，AD與CE相交于點F．下列結(jié)論：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2＝AD?EF．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）17．（2分）（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為．（2）若，則＝．18．（2分）（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，且AD＝2，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．19．（2分）（2023?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對角線AC于點F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線所在直線分別交CD，AC于點N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN?CD＝EC?CF；④若EM＝1，MB＝4，則PM＝．其中正確的是．20．（2分）（2023?鄂州）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，則的值是．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．22．（6分）（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．23．（8分）（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．24．（8分）（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．25．（8分）（2023?江西）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對角線BD⊥AC，垂足為O．求證：?ABCD是菱形．知識應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝∠ACD，求的值．26．（8分）（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△