2023年山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（附答案解析）

2023年山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。={0,1,2,3,4},A={1,2,3},3={2,4},則G(AuB)=

A.{2}B.{0}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z滿足zi=I+i,則2=()

A.-1+iB.-1-iC.l+iD.1-i

3.已知函數(shù)/(%)=]：若f(a)=6,

則〃二()

[5x+6,x<0

A.0B.2C.-3D.2或3

4.從五件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一

件次品的概率是().

5.已知偶函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=V-2x+l,貝i」f(2)=()

A.3B.-3C.-5D.5

6.已知tan(a+^■，tan存乙

|=則tan(a-20=()

A.-2B.-Ac.WD.2

1311115

7.如圖的曲線是幕函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)的圖象.已知〃分別取士2,土;四個值，與曲

線￡、C”G、C,相應(yīng)的〃依次為(

1cc1

C.--,-2,2,-

22

8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,cf若。=6,b=7,c=5,則sinC

A.B.-C.辿D.也

7776

9.如圖，在正方體ABCO-A4G。中，E、F、G、”分別為AA、AB、BB,、B￡

的中點(diǎn)，則異面直線E尸與G”所成的角等于（）

C.90°D.120°

10.在三棱錐P-4BC中，姑_1_平面ABC,AB=AC,ZBAC=90,且AB+PA=6,

當(dāng)三棱錐尸-ABC的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的體積是（）

A.27兀B.367tC.54兀D.72兀

二、多選題

II.已知拋物線C：V=x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線交尤軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作傾斜角為，（，為

銳角）的直線交拋物線于48兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限）.如圖，把平面仞尸沿x軸

折起，使平面平面瓦不，則以下選項(xiàng)正確的為（）

B.折疊前O尸平分NAD8

C.折疊后三棱錐七一八8體積為定值!

48

D.折疊后異面直線428萬所成角隨夕的增大而增大

12.如圖，已知直線“〃2,點(diǎn)A是4,&之間的一個定點(diǎn)，點(diǎn)A到/-4的距離分別為1,

2.點(diǎn)8是直線4上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC_LM,交直線乙于點(diǎn)C,GA+G8+GC=0,

試卷第2頁，共4頁

則（）

7

B.AGAB面積的最小值是:

c.|AG|>ID.G4GB存在最小值

三、填空題

13.若a,b>0,Ka2+b2=ab+3,則的最大值為.

14.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），若尸（X5）=0.2,則P（X<3）=

15.已知“=（1,2）/=（2,-2）,c=（2,-l）,c〃（2a+4，則2等于.

16.數(shù)列｛。,,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4，=而=耳，則5,=.

四、解答題

17.已知tana=2,求下列各式的值：

,八3sina-5cosa

(1)------——:

cosa+2sina

(2)2sin2a-3cos2cr.

18.如圖，四棱柱ABC。-AgCQ的底面A8CD是菱形，平面A6CQ,AB=l,

AA=2,NB4D=60。，點(diǎn)P為OR的中點(diǎn).

⑴求證：直線8R〃平面PAC；

(2)求證：BD{±AC;

(3)求二面角耳-AC-P的余弦值.

19.已知函數(shù)/(x)=-x2+，nr+2,xwR.

⑴當(dāng)機(jī)=3時(shí)，求/⑴值；

(2)若Ax)是偶函數(shù)，求，(x)的最大值.

20.已知，橢圓C過點(diǎn)兩個焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0).

(I)求橢圓C的方程；

(II)E,尸是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與"的斜率互為相反數(shù)，證明

直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

21.已知數(shù)列僅,｝的前”項(xiàng)和為3，『=2.

從下面①②③中選取兩個作為條件,剩下一個作為結(jié)論.如果該命題為真,請給出證明；

如果該命題為假，請說明理由.

①％=3《；②為等差數(shù)列；③a“+2-%=2.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【詳解】試題分析：AkJB={l,2,3,4},孰(478)={0}.故選8.

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法公式即可求解.

【詳解】由zi=l+i得z=\i=—i(l+i)=l-i

故選：D

3.B

【分析】由題意分類討論aNO,a<0,解方程可求解a

【詳解】當(dāng)aNO時(shí)，貝1」/(。)=/+。=6,解得：a=2或a=-3(舍去)

當(dāng)“<0時(shí)，則/(a)=5a+6=6,解得：a=0(舍去)

綜上所述：a=2

故選：B.

4.A

【分析】記五件正品為a,"c，d,e,次品為A,由列舉法結(jié)合概率公式得出所求概率.

【詳解】記五件正品為a,Ac,4e,次品為A,從五件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件的所

有基本事件為：{a,/>},{a,c},{a,d},{a,A},{a,e},{b,c},{h,d},{8,A},{c,d},{c,A}{b,e},

{d,A},{c,e},{4*{"},共15種，其中取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一件次品的有

5種,即所求概率為1=

故選：A

5.B

【分析】利用偶函數(shù)定義，結(jié)合已知解析式求解可得.

【詳解】因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，

所以“2)=〃—2),

又當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=X3-2X+1,

所以/(一2)=(-27-2x(-2)+l=-3,

答案第1頁，共12頁

所以〃2)=〃-2)=-3.

故選：B

6.B

【分析】利用二倍角正切公式求得tan(k+2￡j,再利用拆角的方法結(jié)合兩角差的正切公式，

即可求得答案.

【詳解】由tan信+￡)=；得，tane+26)=——~\=-^-=-,

S)316J…匕+勾1一鏟4

而tan(?+5=g,

Jr71

(?兀、tan(a+-)-tan(2/7+-)

故tan(a-2")=tan(a+2)一(2,+工)=-------1------------

')I+tan(a+—)-tan(2/?+-)

66

!_3

=^4_=-1,

411

24

故選：B

7.A

【分析?】作直線X=2分別與曲線。卜。2、。3、。4相交，結(jié)合函數(shù)y=2'的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>=2、為增函數(shù)，所以22>2：>2^>2-2，

所以作直線x=2分另IJ與曲線￡、C”G、Q相交，交點(diǎn)由上到下分別對應(yīng)的n值為2.1,-1-2,

由圖可知，曲線G、C2、C3、C4相應(yīng)?值為2,1-1,-2.

故選：A

8.C

答案第2頁，共12頁

【分析】根據(jù)余弦定理求得cosC,判斷角C的范圍，繼而求得答案.

【詳解】因?yàn)?=6,6=7,c=5,所以cosC="―+b_￡_=3、+二勿=\,

2ab2x6x77

則C為銳角

故sinC=>/1-cos2C=,

7

故選：C.

9.B

【分析】連接AR,BG，AG，證明異面直線EF與G”所成的角是NA8G或其補(bǔ)角，由正方

體性質(zhì)即可得結(jié)論.

【詳解】如圖，連接A8,8G，AG，

由題意GH//BQ,所以異面直線EF與GH所成的角是或其補(bǔ)角，

由正方體性質(zhì)知V48￡是等邊三角形，NABG=60°,

所以異面直線EF與GH所成的角是60。.

故選：B.

10.B

【分析】設(shè)43=x,則三棱錐P-ABC的體V=-!/+/,構(gòu)造函數(shù)

6

/(》)=-,V+f(0<x<6),利用導(dǎo)數(shù)求最值可得X,再求三棱錐P-ABC外接球半徑可得

O

答案.

【詳解】設(shè)AB=x,則/<4=6-x,故三棱錐P-ABC的體積

V=--ABACPA=-X2(6-X)=--%3+X2,

3266

答案第3頁，共12頁

設(shè)fM=——x3+x2（0<x<6）,則f\x）=--x2+2x（0<x<6）,

62

由廣。）>0,得0c<4,由（。）<0,得4Vx<6,則/*）在。4）上單調(diào)遞增，

在（4,6）上單調(diào)遞減，從而/（初皿=〃4）號，

即三棱錐P-A8C體積的最大值是g,此時(shí)x=4,即A8=AC=4,PA=2,

因?yàn)?4,平面A8C,A8_LAC,把三棱錐P-ABC不成一個長方體，則三棱錐P-A8C與所

補(bǔ)成的長方體有相同的外接球，

所以外接球的半徑R=]"2+42+22=3,則三棱錐尸-ABC外接球的體積為彳兀R'=36兀.

故選：B.

【分析】對于A：利用弦長公式結(jié)合點(diǎn)到直線的距離運(yùn)算求解；對于B：利用韋達(dá)定理證明

6+1^,=0,即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；

對于D：根據(jù)題意利用悄尸|=匚梟，忸日=五￡^結(jié)合空間向量可得

I/UIX111皿\|2

\cos（D^DB）\=Jz--1,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

I\八，l+sin'e

【詳解】由題意可得：拋物線。:丁二了的焦點(diǎn)為尸（；,。），準(zhǔn)線x=q,貝

設(shè)直線48:工=沖+；,4（%,乂）,3（工2，%），

1

x=my+—,,°1

聯(lián)立方程■4,消去x得y__“zy_；=0,

24

j=尤

可得△=4-4x根2+]>0,必+%=相，必%=一；

則才+￡=（乂+為,-4yy2=nr+\,

對于選項(xiàng)A：因?yàn)閨洗8|u'l+nj?,加2-4xj=

m2+1,

答案第4頁，共12頁

點(diǎn)到直線A8:x-g，-=0的距離方_2_?

14J4行一^

可得折疊前△43。的面積山.=[x"+1）/1,=業(yè)*,

2、W1+二4

所以當(dāng)〃?=0時(shí)，折疊前△ABD的面積的最小值為《，故A錯誤;

4

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?/p>

c1/'11

Vv2/ny,y2+-（＞',+y2）+

kAD+kBD=—^+—^Ji+__________Z_______________，L______0

，陰+;，佻+;（沖l++j（町+

x'+4超+彳

即折疊前直線ARB。關(guān)于x軸對稱，所以折疊前。尸平分一皿?，故B正確;

對于選項(xiàng)C：因?yàn)槠矫鍭DF,平面8￡/，則可知點(diǎn)4到平面8。尸的距離即為點(diǎn)A到x軸

的距離|引，

V3DF的面積=|xlx|y2|=l|y2|,

所以折疊后三棱錐體積匕”「=上|仆；%|=占加2|=±（定值），故C正確；

341248

11

對于選項(xiàng)D：由拋物線的性質(zhì)可知”八川二2二1二5二1

1-cos02（l-cos。）'1+cos02（l+cos0）

可得益=（+M耳8s0=^^，%=|AF|sin0=1fl

&=；-|"|8S'=x=-忸F|sin°

根據(jù)題中所給的空間直角坐標(biāo)系，可得

f*os。osin?j（/os?sin。。[，心,0,o],產(chǎn)化0,0

（4（1一cos。）2（1-cos6）J（4（l+cos。）2（l+cos6）JI4）U

「I燈1+cos。1_sinI1八sin。

貝UDA=-----------+—,0,-----------=—7-----------,0,—；----------T

4（1-cos。）42（1-cos0）j（2（l-cos，）2（1-cos。）

uir’1-cos^1sin。0、cos0sin0

FB

\4（1+856）一廠2（1+856）',2（1+cos6）'2（1+cos。）

答案第5頁，共12頁

cos。

I/LUXULI\|4(1-COS2

可得卜。S啊=

2222

sin。cos。sin。

++

2(1-cos。)2(l-cos/9)2(1+COSe)2(1+cos9)

cos8__________

4sin2.cosd_/l-sin26>/21

l+sin;(9」_Vl+sin2(9Vl+sin26?Vl+sin26>>

4(l-cos6>)24(l+cos61)2

I/UinuunxiI2

所以咐RE?”

即折疊后異面直線AR8廠所成角的余弦值為、，

Vl+sin26>

因?yàn)閥=sin6在10馬上單調(diào)遞增，則y=2-1在卜再上單調(diào)遞減,

v211+snr。I2)

且y=五在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則)，=J2,_］在卜1上單調(diào)遞減，

V1+sin-6V2)

所以折疊后異面直線AD,BF所成角隨9的增大而增大，故D增大；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

(I)數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；

(2)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不

等式或?qū)?shù)法求最值(注意：有時(shí)需先換元后再求最值).

12.ABC

【分析】取BC中點(diǎn)尸，利用向量運(yùn)算判斷A；設(shè)的)=9,利用三角形面積公式結(jié)合正弦

函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷CD作答.

【詳解】取BC中點(diǎn)F,連接GF,如圖，

由GA+G8+GC=0,得GF=g(GB+GC)=_gGA,因此點(diǎn)AG,F共線,

2211

且AG=—AF=—x—(AB+AC)=—(AB+AC),A正確；

3323

答案第6頁，共12頁

TTTT

設(shè)N8AO=e(0<6<5),由于。EJ_4，DEJ_/2，而ACLAB,則/"。=5-6,

21

由AO=2,AE=1,得48=-----,AC=——,顯然點(diǎn)G為；ABC的重心,

cos8sm8

111222

則△G4B的面積SG.=qS=-x-ABxAC=-x---------------=---------->-,

CAB3232cos6sin63sin263

當(dāng)且僅當(dāng)2”?即e｛時(shí)取等號'B正確;

22

|AG\=^\AB+AC\=^y]AB2+AC114sin0""cos0

3Vcos20sin'0

4sin20竺幺，即tan?=變時(shí)取等號，C正確;

,當(dāng)且僅當(dāng)

cos20sin?。2

1121

由AG=§(A8+AC),得G4=-§(A8+AC),GB=AB-AG=-AB--AC9

i1221sl

H^GA.GB=--(AB+AC).(2AB-AC)=--(2AB--AC)=--(-^--^)

1_8sin20cos28、人sin202八小、m.r8sin26>cos2<9

=30z+W3)，令"嬴7tan-匹(。,+8)'則7+=7+8f—,

rcos26sin29

而函數(shù)17+8~在(。收)上單調(diào)遞增,值域?yàn)閞所以6—和+8~)值域?yàn)樾?/p>

無最小值，D錯誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用向量解決問題，可以選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表

示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

13.3

【分析】根據(jù)從而可得必+322",求解即可.

【詳解】因?yàn)閍?+匕2=“6+3,所以q〃+3=42+力?2,ab&3,

當(dāng)且僅當(dāng)4=匕=石時(shí)，等號成立,

所以質(zhì)的最大值為3.

故答案為：3

14.0.8

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)即可求解概率.

【詳解】解：因?yàn)镻(XN3)=尸(XMl)=0.2,

所以尸(X<3)=l-P(X23)=1-02=0.8,

答案第7頁，共12頁

故答案為：0.8.

15.-2

【分析】根據(jù)向量平行列方程，化簡求得4的值.

【詳解】24+6=（2,4）+（2,-2）=（4,2）,

由于C〃（2a+b）,所以2/t=jU=-2.

故答案為：-2

,4

16.y/0.8

【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.

【詳解】5=-~~~~-

41x22x33x44x5

,111111114

=]--------1-------------1------------k---------=1-------=-

223344555,

4

故答案為：—

17.⑴g

（2）1

【分析】(1)根據(jù)絲4=tana,分式同除cosa可得.

cosa

(2)根據(jù)sin%+cos2a=1先將2sin%-3cos%轉(zhuǎn)化為空~女°鼠",再將分式同除cos%

sirra+cos-a

可得.

*、4皿、/?、3sina-5cosa3tana-53x2-51

【詳解】(1)------------=--------=-------=-

cosa+2sinal+2tana1+2x25

/c、c-2r22sin2a-3cos2cr2tan2a-32x22-31

(2)2sm-a-3cosa=---；-----；——=---；----=——；-----=1

sirra+cos,atan-a+l2~+1

18.(1)證明見解析；

（2）證明見解析:

81底

o----?

85

【分析】（1）設(shè)AC和8。交于點(diǎn)0,連接PO,根據(jù)線面平行的判定定理求解；

（2）由線面垂直可得線線垂直，再由菱形對角線垂直可得線面垂直，即可得證;

答案第8頁，共12頁

(3)連接87,Bfi,可證明N50P為二面角片-AC-P的平面角，利用余弦定理求解余

弦值即可.

【詳解】(1)設(shè)AC和3。交于點(diǎn)。，連接P。，如圖,

由于P,。分別是DR,8。的中點(diǎn)，故.P0〃BD、,

：POu平面PAC,8。仁平面P4C,所以直線8?！ㄆ矫鍼AC.

(2)在四棱柱A8C￡)-ABCP中，底面ABCD是菱形，則

又。R_L平面ABC。，且ACu平面ABC。，則力。_LAC,

：B￡>u平面80。百，ROu平面B。。用，BDcD、D=D

：.ACJL平面用.

BD、u平面BDD[B],BD、J.AC.

(3)連接用P,BQ,

因?yàn)镻A=PC,。是AC中點(diǎn)，所以POLAC,

因?yàn)锳C_L平面8。"與，80u平面B。。與，所以B0L4C,

NB0尸為二面角瓦-AC-P的平面角,

4P=,『+12=0，

PO2+OB^-PB^7廊

由余弦定理可知cosN80P=

2Po385

答案第9頁，共12頁

...二面角片-AC-P的余弦值為逅.

85

19.(1)4

(2)2

【分析】(1)先得到函數(shù)f(x),再求值；

(2)先利用函數(shù)是偶函數(shù)，求得Ax),再求最值.

【詳解】(1)解:當(dāng)帆=3時(shí)，/(x)=-/+3x+2,

所以/(1)=一/+3*1+2=4；

(2)因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，

所以/(-x)=/(x)成立，

即一(—x)+???(—x)+2=-X2—2-—+tnx+2成1A

所以機(jī)=0,貝!]/(x)=-x2+2,

所以f(x)的最大值為2.

20.(1)—+-^-=1(2)直線AE的斜率為定值;

432

X2V23

【詳解】試題分析：(1)由題意c=l,設(shè)橢圓方程為一二+4=1,將A(l,；)代入即可求出

從=3,則橢圓方程可求.

(2)設(shè)直線AE方程為：y=Z(x-l)+I，代入入三+工=1得

243

(3+4k2)x2=4^(3-2k)x+4^2-12Zr-3=0,再由點(diǎn)4(1,|)在橢圓上，根據(jù)結(jié)直線AE的斜率

與AF的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合直線的位置關(guān)系進(jìn)行求解.

(1)由題意c=l,設(shè)橢圓方程為三+耳=1,

\+b2b2

323

因?yàn)辄c(diǎn)41,立在橢圓上，所以1|，解得從=3,/舍去

2