2023-2024學年江蘇省蘇州市高一年級下冊期初數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省蘇州市高一下冊期初數(shù)學試題

一、單選題

1.cos120=()

A.1B.--C.—D.-3

2222

【正確答案】B

【分析】根據(jù)誘導公式即可.

【詳解】cos120°=cos(l80-60)=-cos60=--.

2

故選：B.

2.由英文單詞中的字母構成的集合的子集個數(shù)為()

A.3B.6C.8D.16

【正確答案】C

【分析】首先寫出該集合，即可判斷集合的元素個數(shù)，根據(jù)含有"個元素的集合的子集個數(shù)

為2"個計算可得.

【詳解】解：由英文單詞”。。廣中的字母構成的集合為｛仇。，身，集合中含有3個元素,

所以該集合的子集為2，=8個.

故選：C

3.己知xeR,那么"0<x<2”是“丄>1”的()

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】判斷"0<x<2"和“丄>1”之間的邏輯推理關系，即可判斷出答案.

X

3121

【詳解】取尢=2,滿足0<x<2,但—=彳<1,推不出—>1；

2x3x

當丄>1時,則Ovxvl,則必有0<x<2成立，

x

故"0vxv2”是“丄>1”的必要不充分條件，

X

故選：B

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,"0)上單調遞增的是()

A.y=cosxB.y=|nx|D.y=2兇

【正確答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調性與奇偶性判斷即可.

【詳解】解：對于A：V=cosx為偶函數(shù)，但是函數(shù)在(0,—)上不具有單調性，故A錯誤;

對于B：y=|lnR定義域為(0,+8),函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C：).=%=正定義域為［0,+8),為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；

2A,x>0

對于D：y=/(x)=/=CY,且〃T)=2T="X),故y=2同為偶函數(shù)，

當X€(0,*o),y=2*函數(shù)單調遞增，符合題意，故D正確；

故選：D

5.若a為第二象限角，則()

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2tz>0D.sin2a<0

【正確答案】D

【分析】取a=?3萬可判斷AB選項的正誤；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項的正誤.

4

【詳解】取夕=3子7r，則a為第二象限角，cos2a=cos37yr=0,AB選項錯誤；

因為a為第二象限角，則sin(z>0,cosa<0,所以，sin2?=2sin?cosa<0,C錯D對.

故選：D.

sin(兀+a)+cos(2兀+a)

為角a終邊上一點，則2sM的值為(

-cos

【正確答案】B

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到P點坐標，由三角函數(shù)的定義求出tana,再由誘導

sin(n+a)+cos(2n+a)

公式化簡兀兀亠”)「c/3兀最后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，代入計

(2丿I2丿

算可得.

【詳解】解：因為tan￡=K,sin^=所以尸(百,更］,

所以「，

idmn（Xa_——2——_—1

62

sin（7c+a）+cos（2兀+a）

-sina+cosa

2cosa+sina

4.1

_-tan4-12_1

2+tana2+15

2

故選：B

7.已知函數(shù)f(x)=sin(x-：)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的最大值是()

ItC冗-3兀C

A.—B.-C.—D.兀

424

【正確答案】A

【分析】根據(jù)/(x)=sin卜-的單調區(qū)間可求.

【詳解】令一二+2E4X-工4工+2版，keZ,解得一二+2也4犬4処+2&兀，keZ.

24244

TT37r

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為一二+2也,丁+2E，丘Z.

44_

又f(x)在區(qū)間[一。㈤上單調遞增，.,.[-a,a]^一f+2E,=+2也JGZ,:.--<-a<Qf即

L」|_44J4

0<?<^(則實數(shù)”的最大值是;.

44

故選：A.

8.設函數(shù)f(x)的定義域為[0,3),滿足/(X+1)=2/(X)+L，且當xe[0,l)時，/(x)=Ml-x).

4

則不等式/(X)2羨的解集是()

8

-571「451「571「45-

A.小;U⑵3)B.J[2,3)C..(2,3)D.(2,3)

_44J\_33J|_44J|_33_

【正確答案】A

【分析】分xeOD,xe[l,2)和xe[2,3)進行分類討論，即可求解

【詳解】當xe[0,l),/(》)=X(1-》)二，解得x無實數(shù)解；

O

當xe[l,2),x-le[0,l),則由f(x+1)=2/(公+丄可得

/(X)=2f(x-D+丄=2(X-1)(2-X)+丄，

44

令2(X-1)(2-X)+!N￡,整理得16d-48x+3540,解得

48

57

WW-<x<-,

44

當xw[2,3),x-le[l,2),則由/(x+1)=2/(x)+丄可得

/2/(X-1)1=21“c、,c、3/5丫7

W=+2(x-2)(3-x)+-+-=4(x-2)(3-x)+-=^lx--+-,

444I2丿4

L-37r

-,所以f(x)w|恒成立,

因為xe[2,3),所以〃尤)e-4-4

」

一O

5「57-

綜上所述，不等式小)、的解集是"(2,3)

故選：A

多選題

9.在./IBC中，下列關系式成立的是()

.A+B.C

A.sin(A+B)=sinCDB.sin-------=sin—

22

nA+8.c

C.cos(A+B)=cosCD.cos-------=sin—

22

【正確答案】AD

【分析】由A+8+Cs,管+弓=]及誘導公式逐一判斷即可.

【詳解】在一ABC中，A+8+CM,管+'!=]，

sin(A+B)=sin(Tt-C)=sinC,故A正確；

sin^—=sinly-yl=COSy,故B錯誤；

cos(A+B)=cos(7r-C)=-cosC,故C錯誤；

COS—y-=cosl--yl=Siny,故D正確.

故選：AD.

10.下列不等式成立的是()

A.cos225°>sin390°B.出

3兀

C.tanD.1,703<0.931

【正確答案】BC

【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A,利用募函數(shù)的性質判斷B,根據(jù)正切

函數(shù)的性質判斷C,利用指數(shù)函數(shù)的性質判斷D.

【詳解】解：對于A：因為COS225°=COS(180°+45°)=-COS45°=-5-,

sin3900=sin(360°+30°)=sin30°=p所以8s225°<sin390°,故A錯誤；

對于B：因為>在(0,田)上單調遞增且所以故B正確;

3兀

對于C：y=tanx在上單調遞增，^>-|>-y>-p所以tan

故C正確；

對于D：因為1.703>1.70=1,0<0.93|<0.9°=1,所以1.7°3>0.93」,故D錯誤;

故選：BC

11.已知函數(shù)函x)=sin|x|+|sinx|,則()

JT

A./(*)是偶函數(shù)/a)在區(qū)間萬,不上單調遞減

C./(x)在區(qū)間［-兀，兀］上有四個零點D./(x)的值域為［0,2］

【正確答案】ABD

【分析】由定義判斷A；由正弦函數(shù)的單調性判斷B；由Ax)在［0,句上的零點結合奇偶性

判斷C；討論［0,+8)的值域，結合奇偶性判斷D.

【詳解】對于A：其定義域為R,/(-%)=sin|-x|+1sin(-x)|=sin|x|+1sinx|=f(x),即函數(shù)

/(x)是偶函數(shù)，故A正確；

對于B：xe萬時，sinx20,/(x)=sinx+sinx=2sinx,由正弦函數(shù)的單調性可知，f(x)

在區(qū)間3,冗上單調遞減，故B正確；

對于C：工￡［0,句時，sinx>0,f(x)=sinsinx=2sinx,此時2sinx=0,可得工=0或%=兀,

因為/(x)是偶函數(shù)，所以/(X)在區(qū)間［-兀，兀］上的零點為-九，0,兀，故C錯誤；

對于D：當+且wZ時，sinxe［0,1］,f(x)=sinx+sinx=2sinxe［0,2］.

當4+2左萬,且ZNOMcZ時，sinx<0,/(x)=sinx-sinx=O.

又/(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的值域為[0,2],故D正確；

故選：ABD

12.已知集合厶={-1,1},非空集合3={琲八加+法+c=0},下列條件能夠使得3aA的

是()

A.a=-3,b=3,c=-\B.a=-3,b--3,c=l

C.a=-\,b=-\,c=\D.a+b+c+1=0且(a+1)2+4c<0

【正確答案】ACD

【分析】把三次方程因式分解求根，即可化簡集合B,然后利用集合關系即可判斷.

【詳解】對于選項A,方程/一3/+3犬—1=0,因式分解得a-i)3=o,

解得x=l,所以8={1},滿足所以選項A正確；

對于選項B,方程丁-3/-3犬+1=0,因式分解得(X+D(X2-4X+1)=0,

解得x=-l或x=2±0,所以8=卜1,2-栃,2+6},不滿足8勺4,所以選項B錯誤；

對于選項C,方程V—Y—X+JO,因式分解得(X+I)(X-1)2=O,

解得x=±l,所以8={-1,1},滿足B=所以選項C正確；

對于選項D,因為a+b+c+l=0,所以x=l是方程的解，

所以方程^+以2+法+。=0變形為(x-l)[x2+(a+i)x-c]=。，

因為(a+庁+4c<0,所以方程*2+(°+1及-。=0無解，

所以方程(x-l)，+(a+l)x-c]=0有唯一解x=l,

所以B={1},滿足B=A,所以選項D正確；

故選：ACD.

三、填空題

7TJT

13.已知某扇形的圓心角為：，面積為9，則該扇形的周長為__________.

36

TT

【正確答案】-+2

【分析】由扇形面積公式求出扇形半徑，根據(jù)扇形弧長公式求出弧長，即可得解.

【詳解】設扇形的半徑為『，由扇形的面積公式得：戸=7,解得r=l，

230

7T7T7T

該扇形的弧長為：X1=￡,故該扇形的周長為g+2.

333

故答案為.^+2

14.寫出一個非常數(shù)函數(shù)同時滿足條件：①/(x+2)=/(x),②尸(1-x)=H1+X).則

/(x)=.

7LVTCX

【正確答案】cosxr(形如acosTix+b或asin?+Z?或a|sinnx|+6或acos5+人)

【分析】根據(jù)函數(shù)所滿足的周期性、對稱性寫岀滿足條件的函數(shù)即可.

【詳解】因為解x+2)=/(x),f(1-x)=f(1+x),

所以函數(shù)周期T=2,函數(shù)對稱軸為x=l,

故可取函數(shù)/(X)=cos口，

7tx71X

故COSTLY(答案不唯一，形如acos兀r+匕或“Sin^+/?或a|sin兀r|+6或acosf+6都可以)

四、雙空題

15.已知函數(shù)/(x)=|lgx|,(1)當。=/(2)時，則實數(shù)a,b之間的大小關系是

；(2)若帆>">0,且/(，〃)=/'(〃)，貝i」2m+”的取值范圍是.

【正確答案】a>b(3,+?))

【分析】(1)利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷；

(2)畫出函數(shù)圖象,整理可得加=1,構造函數(shù)g(x)=2"+丄，由對勾函數(shù)的性質求出2m+n

m

的取值范圍.

【詳解】a=/(：)=lg；=|-lg4|=lg4,fe=/(2)=|lg2|-lg2,：.a>b.

作出函數(shù)圖象如圖，

由圖可知,當/(加)=/(〃)時,Q<n<\<m,：.f(n)=-\gn,f(m)=1gm

lgm+Ign=0,/.Igmn=0,mn=\,即〃=丄

m

CC1

/.2tn+n=2m-\——

m

令g(x)=2m+j-,m>1,由對勾函數(shù)的性質得g(x)在(1,木?)上單調遞增.g(x)>g⑴=3,

即2m+n>3.

故”>〃；(3,+00).

五、填空題

x2-2x,x<m

16.已知函數(shù)f(x)=2的值域為R,側實數(shù)機的取值范圍是.

——x,x>m

3

3

【正確答案】0<m<-

2

【分析】令％=-：x、y=f-2x,求出函數(shù)%=f-2x的最小值及函數(shù)的單調性，再求

岀兩函數(shù)的交點坐標，最后對加分類討論，分別計算可得.

【詳解】解：對于函數(shù)y=/-2x,則y當且僅當x=l時取等號,

且函數(shù)在(—』)上單調遞減，在(1,田)上單調遞增,

23

對于函數(shù)%令力=-1，則x=且函數(shù)在定義域上單調遞減，

74?

令一—2%=—(X,解得％=0或%=］，所以％=-(X與y=/-2九的兩個交點分別為(0,0)、

4_8

3，-9

顯然機＜-1,此時函數(shù)“X）的值域不為R,不符合題意;

當機＜0時,當x＞加時/（x）e當xKm時/(x)G[m2,

BPITT-2m>——m此時函數(shù)“力的值

域不為R,不符合題意;

4

2

當0工機工§時，在xe(Ofm)時內>ylf即m-2m<——m,

此時“戈）的值域為R,符合題意,

當tv",時，當了＞〃2時〃力￡（-00,-當X4利時/（工閆一1*）,

此時T-（一■|根）=|m740,即_”_|機，此時函數(shù)f（x）的值域為R,符合題意;

3

綜上可得0?加4二.

2

3

故0WmK—

2

六、解答題

17.（1）已知10”=2,10”=3,求］（）7的值；

（2）已知/+._3，求/+広2的值；

C＜ICI-J

門、臉31

2

（3）計算.已丿x44-log23xlog34-3°

【正確答案】（1）述；（2）47；（3）|

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)基的運算法則計算可得；

（2）將消+/=3兩邊平方求出。+才、再平方即可求出/+/的值；

（3）根據(jù)對數(shù)的運算法、換底公式及對數(shù)的運算性質計算可得.

【詳解】解：（1）因為1（F=2,10"=3,

333

所以］著J10渣_（1吁_2己_2夜;

10"10"33

I1（1_iY

（2）因為。2+小=3，所以=a+〃7+2=9,所以Q+〃T=7.

7

所以/+CT?=(a+J-2=47；

(\、臉31

2

(3)I—Ix4+log,3xlog34-3°

=2-1%3x2+妲x處-1

lg2lg3

=2旳x2+妲x些-1

lg2lg4

=-x2+2-l=-.

33

18.已知函數(shù)，(x)=2sin(2x-]

(1)求fM的最小正周期及fM取得最大值時自變量》的集合;

⑵記集合M=(y|y=/(x),xe

集合N={“a喈一艮0,XGO,|jj,求McM

5IT

【正確答案】⑴7=兀，*1戸E+五,&eZ}；

⑵{1}.

【分析】(1)根據(jù)周期公式計算即可，由2x-W=2E+],k€Z,解岀自變量x的集合即可；

TF兀

(2)根據(jù)xe,求出函數(shù)/(x)的值域，即得集合M,由正切函數(shù)的性質，解出集合N,

由交集的定義求解即可.

【詳解】⑴解：因為/(x)=2sin12xj)

所以7吟=公,

IT7T57r

當2x-7=2E+],ZeZ,即產時，函數(shù)f(x)取得最大值2,

所以此時自變量x的集合為{x|x=E+工,ZeZ}；

TTTTTT57rTT

(2)解：因為,所以2工一工￡一--,

44J3[_66_

所以$布(2人一三)￡一l,g,

所以M=[-2,1].

因為xw。,T)，所以/e0，今)，

由tan/■-620,可得tan三26,

所以,7LV丁「七兀兀丿1

所以xe1，|)，N=1,1^,

所以MN={1}.

2

19.已知f(x)=a+—(“eR)為奇函數(shù).

72T+1

(口求0的值及^:^^當^的最大值；

f(x)+1

(2)若關于X的不等式/(如2)+f(-nvc-2)>0恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【正確答案】⑴…‘浮

(2)-8<m<0

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質”0)=0,求出。的值，再代入檢驗，則y=優(yōu);:=詔,

利用基本不等式計算可得；

(2)解法一：利用定義法證明函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的奇偶性得到,我2-,我-2<0恒成

立，再分帆=0和加工0兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍；

解法二：依題意可得2/v2〃"+2恒成立，即fnx2-阿I-2<0恒成立，再分機=0和〃7w0兩種

情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍.

2

【詳解】(1)解：因為/(x)=a+k匚定義域為R,且為奇函數(shù)，

所以/(0)=〃+1=0,所以。=7,

當。=一1時/(x)=F^,所以，(_幻==;=-叁三=-/(*)，符合題意；

,_f(2x)+l_2、+1_______22+1________

由戶/。)+1=門=(2*+1『_2-(2，+1)+2

1/1x/2+l

=--------------工------------------------

2-+六一2一2即工-221

當且僅當2'+1=白，即》=1暇(&-1),等號成立，

所以y=的最大值為也里?

4〃TXV）+T12

（2）解法一：設

272（2&-2為）

I"'丿2',+12"2+1（2*'+1）（2也+1）

所以f（x）在R上單調遞減，

又因為f（x）是奇函數(shù)，且/（/nd）+/（―儂—2）>0,

所以/（如2）>/（〃1r+2）,

所以加<〃優(yōu)+2恒成立，即爾2-/m一2<0恒成立，

當〃7=0時一2<0恒成立，

fm<0W<0

當〃2。0則<,即2/z八，解得一8<機<0,

[A<0l（-/n）-4mx（-2）<0

綜上可得-8〈機WO.

解法二：又因為/（X）是奇函數(shù)，且f（〃zd）+/（Tnx-2）>0,

所以f（W）>/（如+2）,

22

所以T+西f>T+產工J，

所以2gv2Mx隹，

所以znr2<mr+2恒成立，即mx2-nvc-2<0恒成立，

當桃=0時一2<0恒成立，

[w<0p?<0

當'"0則八，即/d,/八八，解得一8<加<0,

[AA<0[（-/M）-4wx（-2）<0

綜上可得-8<，〃W0.

20.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是年C,空氣的溫度是*C,那么rmin

后物體的溫度（單位：。C）可由公式e=%+（4-q）e*（e是自然對數(shù)的底數(shù)）求得，其

中人是一個隨著物體與空氣接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有65℃的物體，放在15c的空氣中冷

卻，Imin以后物體的溫度是55℃.

⑴求A的值；

（2）若要將物體冷卻到35C,求需要冷卻的時間；再經(jīng)多長時間，可以冷卻至25℃（精確到

1)?

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10,ln5?1.61)

【正確答案】(l)ln。

4

(2)要將物體冷卻到35℃,需要冷卻4min：再經(jīng)3min時間，可以冷卻至25℃

【分析】⑴把4=654=15,/1,9=55代入公式即可;

4

(2)把數(shù)據(jù)代入公式，結合(1)中的e"=],即可求得結果.

【詳解】(1)由題意可知，4=65,%=15,當r=l時，9=55

于是55=15+(65-15)陵

405

所以一女=ln新=21n2-ln5,%=ln1.

(2)當，=35時，35=15+(65-15)e-A,,

所以e*=],由⑴可知屋=:，所以佇1=2,所以

55(5丿5

E°g42527n5.0.697.61=4

員5In4-ln52x0.69-1.61

當6=25時，25=15+（65-15）e^,

.1<4Y1,1-ln5-1.61_

所以eY'=±,所以3=丄，^\^t=log4-=-??=7

5(5丿551n4-In52x0.69-1.61

Z=1-4=3

故要將物體冷卻到35℃,需要冷卻4min：再經(jīng)3min時間，可以冷卻至25℃.

21.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-In(l-x).

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調性，并證明；

(2)若g(x)=2cos]x,記版x)=/(x)-g(x),求證：人。)有且只有一個零點.

【正確答案】(l)/(x)單調遞增，證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)定義域，判斷單調性，根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可證明結論;

(2)先判斷g(x)=2cos^|x的單調性，當xe(-l,O］時，推出〃(x)=/(x)-g(x)<0,可判斷

無零點；當xe(Ql)時，判斷力(x)的單調性，結合零點存在定理可判斷零點情況，綜合即可

證明結論.

fx+l>0

【詳解】(1)由，八，所以—所以/(x)的定義域(7,1),

判斷：/(X)在(-1,1)上單調遞增.

證明如下：任取士,々€(-1,1)且X1<W，

(x,+l)(l-x)

所以f(石)-f(3)=In-In2

—

1Xj1—x2(l-xJG+l)’

Xx,+1>0,1-x2>0,l-x)>0,x2+1>0,

(%1+1)(1-^)-(1-XI)(X2+1)=2(X1-X2)<0,

所以<I,所以。即/(動</(毛)，

U-XIAX2+1)(1-x丿(W+I)

所以f(x)在(T,I)上單調遞增.

(2)證明：因為g(x)=2cos]x在(-1,0)上單調遞增；在(0,1)上單調遞減;

7T

當x￡(-l,0]時，^(x)=2cos—x>0；

爐=2-l€(0,l]J(x)=ln曰=ln(F-l]40,

1—X1—X1—Xy1-X)

此時,Mx)=f(x)-g(x)<0,所以Mx)在(-1,0]上沒有零點；

當xe(0,l)時，二一—1遞增，故/5)=111*=113-1遞增，

1-x1-X11一彳)

則h(x)=f(x)