2022-2023學(xué)年山西省陽高縣校高二年級下冊期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省陽高縣校高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合A={4-1令<2),8={中>1},貝?。軦UB=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.

【詳解】???A={X［T<X<2},8={X|>1},

Ai8=(-1,+8),

故選C.

【點睛】考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)xeR,則“0<x<5”是“卜-1|<1"的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】求出的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】卜一［<1等價于0<x<2,故0<x<5推不出

由|x-1<l能推出0<x<5.

故"0<x<5"是“|》-1|<廣’的必要不充分條件.

故選B.

【點睛】充要條件的三種判斷方法：

(1)定義法：根據(jù)p=>q,進(jìn)行判斷;

(2)集合法：根據(jù)由p,q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；

(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判

斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.

3.若函數(shù)y=/,一?的定義域為凡則實數(shù)。的取值范圍是()

\Jax--4ov+2

A.(0,1]B.(0,1)C.[0,D.[0,y)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為二次型不等式恒成立問題，結(jié)合對參數(shù)。的討論，根據(jù)△即可求得

結(jié)果.

【詳解】要滿足題意，只需加-4or+2>0在R上恒成立即可.

當(dāng)。=0時，顯然滿足題意.

當(dāng)。>0時，，只需△=16/v0,

解得

綜上所述，0,；)

故選：D.

【點睛】本題考查二次型不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄

法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力

的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()(曬”1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【分析】根據(jù)LW關(guān)系，當(dāng)乙=4.9時,求出IgU,再用指數(shù)表示V,即可求解.

【詳解】由乙=5+lgV,當(dāng)L=4.9時,lgV=-0.1,

則V=10-。,=10「而=-；!="一!一”0.8.

順1.259

故選：C.

5.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./'(x)=上上)與g(x)=x-lB.f(句=2國與g(x)="?

x+1

C.〃x)=G^g(x)=(4)D.y="x+ljx-l與y=Jx2-1

【答案】B

【分析】通過考察函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系可得.

【詳解】A中，Ax）的定義域為{X|XN-1},g（x）的定義域為R,故A錯誤；

B中,g（x）=\l4x2=2|x|=f（x）,B正確;

C中，/*）的定義域為R,g（x）的定義域為［0,+8）,故C錯誤；

D中，y=^/77T^/^1的定義域為［l,+?））,由x2-l±0可得丫=正二I的定義域為（T，-1］5L+8）,

D錯誤.

故選：B

6.已知復(fù)數(shù)z滿足：=i+2i，則z-（3-2i）=（）

A.l+8iB.l-8iC.-l-8iD.-l+8i

【答案】C

【分析】由題意得復(fù)數(shù)z,代入z-（3-2i）即可得到答案.

【詳解】由1=l+2i，得z=l—2i,z-（3-2i）=（l-2i）（3-2i）=-l-8i

故選：C.

7.“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側(cè)面及上、下底面均相切，則該圓柱的

體積與球的體積之比為（）

37T

A.2B.—C.-JjD.一

23

【答案】B

【分析】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積與球的

體積，進(jìn)而求出圓柱的體積與球的體積之比.

【詳解】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，

設(shè)球的半徑為R,

則圓柱的體積為：nR：2R=2R%,

球的體積為g兀內(nèi)，

2R、_3

所以圓柱的體積與球的體積之比為金；=5

3

故選：B

8.是“3xwR,x2-2x+a<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也

不必要條件

【答案】B

【分析】3xeR,x2-2x4-6/<0,列出不等式，求出av1,從而判斷出答案.

【詳解】AeR,x2-2x+a<0,則要滿足A=4-4a>0,解得：a<1,

因為石”1,但a<1navi1

故"a<11”是"mxeR,爐-2x+a<0”的必要不充分條件.

故選：B

9.新能源汽車的核心部件是動力電池，碳酸鋰是動力電池的主要成分.從2021年底開始，碳酸鋰的

價格一直升高，下表是2022年我國某企業(yè)前5個月購買碳酸鋰價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù).由下表可知

其線性回歸方程為？=0.28x+0.16,則表中。的值為()

月份代碼X12345

碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.5a11.41.5

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】B

【分析】由于線性回歸直線一定過樣本中心點，所以將樣本中心點坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.

1+2+3+4+5.0.5+〃+1+1.4+1.54.4+ci

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得嚏=------------=3,y=

555

44+〃

將（3,代入？=0.28x+0.16解得a=0.6.

故選：B.

10.+展開式中/的系數(shù)為()

A.200B.210C.220D.230

【答案】A

【分析】根據(jù)(1+丁)(1-力'°=(1-X)'°+/(1-X)\再根據(jù)二項展開式的通項公式求解(1-X)'°中/和

x的項即可

【詳解】(1+巧(171=(1—引°+41一“°,又(17-中含/的項為c：o(r)4=21Of,(17-中

含X的項為C：o(—x)i=-10不，故(1+丁)(1一工廠展開式中含/的項為210丁_104.4=200/，故

(1+巧(「引。展開式中一的系數(shù)為200

故選：A

11.導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)是()

X

4

①導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）在x=1處有極小值

②函數(shù)在戶-1處有極大值

3

③函數(shù)/（X）在上是減函數(shù)

④函數(shù)“X）在［-2,7］是增函數(shù)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系逐項分析可得.

【詳解】由y=/'（x）的圖象可知，故①正確；

在-1兩邊用x）>0,所以〃X）在尸-1無極值，②錯誤；

"3"1「3-

由圖象可知，在-1,-上/（X）先大于0,后小于0,故/（X）在-1,-上先增后減，③錯誤；

在［-2,-1［上制x）>0,所以函數(shù)〃x）在上單調(diào)遞增，④正確.

故選：B

12.在一ABC中，點。是線段BC上任意一點（不包含端點），若花=〃；％+〃品，則工+士的最小

mn

值是（）

A.4B.9C.8D.13

【答案】B

【解析】由B,D,C三點共線得到根+〃=1,再利用基本不等式中力”的替換求得最小值.

【詳解】因為點。是線段8C上任意一點（不包含端點），所以30=出C（0<f<l）,

innmu/iiiuiuun、uunuuw

L1UULILUL1LU1L1LIU()

則/1D=A5+RD=A8+tBC=AB+tAC-AB\=(\-tAB+tACf

因為A￡>=mA3+〃AC，所以m=1T,〃=乙所以m+〃=l.因為0v，<l,

]4(I4A4/?in]2

所以〃2〉0,n>0,則一+_=(/〃+〃)一+—=—+—+524+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)加二彳，一時,,

mnn)nm33

等號成立.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：注意當(dāng)A,B,C三點共線時，若OA=/IOB+〃OC,則必有義+〃=1成立.

二、填空題

13.函數(shù)、=[￡|',(_34》41)的值域是.

【答案】；，8

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合定義域，即可得答案.

【詳解】因為指數(shù)函數(shù))，=(g)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以當(dāng)尸-3時，函數(shù)有最大值為(g)=8,

當(dāng)ml時，函數(shù)有最小值為3.

所以值域為.

故答案為：；，8

14.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足/(x+1)是偶函數(shù)，且當(dāng)xe[O,l]時，/(x)=x(3-2x),則

《卜——?

【答案】T

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及已知條件，求得了(x)的周期性；再根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇偶性

即可求得函數(shù)值.

【詳解】y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，.?."T)=-〃X),

函數(shù)y=/(x+1)是定義在R上的偶函數(shù)，=+=f(x+2)=-f(x),

可得/(X+4)=—/(X+2)=/(X),則/(x)的周期是4,

.?.鳴="4_；10=_嗎卜_*<(3_]卜；

故答案為：T.

15.如圖，在中，M為A8的中點，點。滿足OC=-2QM，OAOB=0,若。.。8=8,則

\OA+OB\=

【答案】2

【分析】利用向量的線性運算及數(shù)量積的運算律可得C4CB=80M2,進(jìn)而即得.

【詳解】VCA=CO+OA,CB=CO+OB,例為AB的中點，

OA+OB=2OM<又0408=0，OC=-2OM,

：.CACB=（CO+04）（CO+03）=CO'+COOA+COOB+OAOB

=C02+CO^OA+OB）=（2OM『+2OM（20M）=80M:

又C4CB=8，

???8OM—8,即=

：.\0A+0B\=\20M\=2.

故答案為：2.

16.假設(shè)云南省40萬學(xué)生數(shù)學(xué)模擬考試的成績X近似服從正態(tài)分布N（98,100）,已知某學(xué)生成績排

名進(jìn)入全省前9100名，那么該生的數(shù)學(xué)成績不會低于分.（參考數(shù)據(jù)：

P（〃-b<X<〃+cr）=0.6827,P（〃-2。<X<〃+2cr）=0.9545）

【答案】118

【分析】求出從40萬名學(xué)生任取1名，成績排名在前9100名的概率，再利用正態(tài)分布的對稱性求

出對應(yīng)分?jǐn)?shù)作答.

【詳解】從40萬名學(xué)生任取1名，成績排名在前9100名的概率為小黑=0.02275,

400000

因為成績X近似服從正態(tài)分布N（98,100）,則〃=98,。=10,

尸(〃一2cr<Xv〃+2b)=尸(78<X<118)=0.9545,

p(X>118)=0.5X(1-0.9545)=0.02275,從而數(shù)學(xué)成績大于等于118分的人數(shù)恰好為9100,

所以要進(jìn)入前9100名，成績不會低于118分.

故答案為：118

三、解答題

17.如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖.

注：年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2016~2022.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和，的關(guān)系，請建立y關(guān)于/的回歸方程，并預(yù)測2025

年該企業(yè)的污水凈化量；

(2)請用相關(guān)指數(shù)說明回歸方程預(yù)報的效果.

參考數(shù)據(jù)：下=54,￡(-)(必-刃=21,舊=3.74,￡(

Z&—7)(％一》)

參考公式：線性回歸方程y=a+bt,b=----------,a=y-bT；

?=1

相關(guān)指數(shù)：&=1-勺--------

/=!

3

【答案】(1)"/+51,58.5噸

4

(2)答案見解析

【分析】(1)結(jié)合題目數(shù)據(jù)利用最小二乘法求出線性回歸直線方程，代入計算即可；

(2)利用己知數(shù)據(jù)求出相關(guān)指數(shù)，利用統(tǒng)計知識說明即可.

【詳解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得7=4，歹=54,

b0_上j________________________________________2_1__________________________=213°

2222222

_-)2-(1-4)+(2-4)+(3-4)+(4-4)+(5-4)+(6-4)+(7-4)"28"4,

;=1

所以&=，_涼=54--x4=51,

4

八3

所以y關(guān)于，的線性回歸方程為》=初+2=3+51,

4

、.3

將2025年對應(yīng)的U10代入得夕=-xl。+51=58.5,

4

所以預(yù)測2025年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸.

7

獷9117

（2）因為川=1-^--------=1-7x77=1-o=?=0-87^

/—、

二（%-、）241ooo

i=i

所以“污水凈化量的差異'’有87.5%是由年份引起的，說明回歸方程預(yù)報的效果是良好的.

18.如圖，在四棱錐P-AfiCD中，ZPAB=90°,C8J_平面%B,AD//BCH

PB=BC=2AD=2AB=2,尸為PC中點.

⑴求證：￡）F〃平面出8；

（2）求直線PO與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）取P8邊的中點E,連接AE,FE,由三角形的中位線定理和平行四邊形的判定，可

得四邊形AEFZ）為平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，即可得證；

（2）過點A作于點N,即可得到4V1平面PCB,再根據(jù)AP〃8C,可得Z）到平面PCB的

距離即為AN,求出4V、PD,再根據(jù)銳角三角函數(shù)計算可得；

【詳解】（1）證明：如圖，取PB邊的中點E,連接FE,

則三角形中位線可知，EF//BC且EF=；BC,

由題可知，A￡>〃BC且AE>=g8C,所以AD〃燈且AO=砂,

所以四邊形但D為平行四邊形，所以DF//AE,

又因為。尸式平面R4fi,A￡u平面P4B,

故DFII平面PAB；

(2)解：過點A作AN_LPB于點N,

因為C3_L平面R4B,ANu平面

所以Q3_LAN,因為PBcCB=B,所以AN1平面PC5,

又AD//BC,所以O(shè)到平面PCB的距離即為AN,

pEABPAIxGg「-------

又AN=------=——=——，PD=^PA2+AD27=2>

PB22

所以直線PD與平面PBC所成角為。，所以sin?=4^=@；

PD4

19.為加強(qiáng)素質(zhì)教育，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)，立德中學(xué)為高一年級提供了“書法”和"剪紙”兩門選修課.

為了了解選擇“書法”或“剪紙”是否與性別有關(guān)，調(diào)查了高一年級1500名學(xué)生的選擇傾向，隨機(jī)抽取

了100人，統(tǒng)計選擇兩門課程人數(shù)如下表:

（1）補全2x2列聯(lián)表;

選書法選剪紙共計

男生4050

女生

共計30

（2）依據(jù)小概率值夕=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為選擇“書法”或"剪紙”與性別有關(guān)？

參考附表:

a0.1000.0500.025

%2.7063.8415.024

n^ad-hcy

參考公式：Z2其中n-a+b+c+d.

(a+0)(c+")(“+c)(b+d)

【答案】（1）列聯(lián)表見解析

⑵能

【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表即可；

（2）計算卡方，再對比表中數(shù)據(jù)進(jìn)行獨立性檢驗即可

【詳解】（1）根據(jù)題意補全2x2列聯(lián)表，如下：

選書法選剪紙共計

男生401050

女生302050

共計7030100

（2）零假設(shè)為“。：選擇"書法”或"剪紙”與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得八筆黑蒜町―

根據(jù)小概率￡=0.050的獨立性檢驗，推斷”。不成立，即有95%的把握認(rèn)為選“書法”或“剪紙”與性別

有關(guān).

20.設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分

比依次為25%,35%,40%,它們的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

⑵已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率.(精確到0.01)

【答案】⑴0.0345；

(2)0.36.

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，結(jié)合條件概率計算公式，即可求解.

【詳解】(1)設(shè)事件與，B2,2分別表示取出的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，A表示“取到的是

次品.

易知名，B2,巴兩兩互斥，根據(jù)全概率公式,

可得P（A）=gP（"/川）=0.25x0.05+0.35x0.04+0.4x0.02=0.0345.

故取到次品的概率為0.0345.

「（4）P（A|4）_O25XO05

（2）P（S|A）=之0.36

P（A）一尸（A）0.0345

故已知取到的是次品，它是甲車間生產(chǎn)的概率為0.36.

21.已知函數(shù)=J(x>0),^(x)=(x>l).

xInx

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)4=1時，函數(shù)〃x)、g(x)滿足下面兩個條件:①方程f(x)=g(x)有唯一實數(shù)解%?1,2)；②

直線y=〃?(，〃>"不))與兩條曲線y=和y=g(x)有四個不同的交點，從左到右依次為演,4,

工3，七.問是否存在1,2,3,4的一個排列i,j,k,I,使得占七=々為？如果存在，請給出證明;

如果不存在，說明理由.

【答案】(1)答案見解析

(2)存在，證明見解析

【分析】(1)分類討論參數(shù)”的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)/(x)的單調(diào)性即可;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)〃x)、g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)〃x)、g(x)的最值，結(jié)合已知條件

①、②畫出函數(shù)個)，g(x)的簡圖，可得，釐=；六=凡進(jìn)而得到m-e'，,

即可證明工2七=入園.

【詳解】(1)解:由題可知:(力=?(以-1),x>0,

當(dāng)“40時，r(x)<0,函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)”>0時，對于f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；m)，函數(shù)"外單

調(diào)遞增；

(2)解：由a=l,/(x)=—,當(dāng)X-0時，/(x)^+oo；當(dāng)Xf+8時，〃x)f+oo,

又因為廣(力=提(1),所以〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在a+8)上單調(diào)遞增，/(%=/(i)；

由g(x)=l^，知當(dāng)Xfl時，g(x)->+8;當(dāng)Xf+8,g(x)f+8,

又g'(x)=；3,可知g(x)在(l,e)上單調(diào)遞減,在(e,+8)上單調(diào)遞增，g(x)nin=g(e)=e,

^-h(x)=f(x)-g(x)=—-^-,即當(dāng)xf1時，h(x)<0；當(dāng)x=e時，h(x)>0,

結(jié)合條件①中方程/(x)=g(x)有唯一實數(shù)解占e(l,2),知：

當(dāng)XG(1,%)時，〃x)<g(x),當(dāng)xw(%,+00)時，〃x)〉g(x),

綜上，畫出函數(shù)/(x),g(x)的簡圖:

其中《吟｝《孫舟，q吟)，*舟，「a'/㈤),

則無1＜1＜々＜/＜七，e＜%,

v,

即J=-^―=—=-^―=m,得e=inxx,Inx4=—,

%lnx2Xjlnx4m

lnX4

e"3%e

因為—————----,由七>1,Inx4>1,得毛=In/,

七Inx4Inx4

因為盧一=J=7^V，由為<1,lnx2<1,因此無=e$,

1

Inx2%Ine

所以，xx=eA,Inx=tnx?—=%^,

234xm4

所以存在滿足條件的一個排列，如i=2,/=3,k=\,/=4,使々￡=%筋.

22.已知函數(shù)/(》)=加+(匕-8)》一。一用，當(dāng)xw(-3,2)時，f(x)>0,當(dāng)xe(-oo,-3)52.+8)時,

/(x)<0.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若不等式ai+bx+cVO的解集為R,求。的取值范圍；

⑶當(dāng)x>T時，求.=/(力-21的最大值

X+1

【答案】⑴/(X)=-3X2-3X+18(2)(-8,哈(3)最大值為-3.

【詳解】試題分析：(1)由已知條件有-3,2是方程G2+S-8)x-a-"=0的兩根，由韋