山東省濰坊市2023屆高三年級(jí)下冊(cè)高中學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué) 含解析

2023年濰坊市高中高三學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)

數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

iim/(l)-/(l+2Ax)_2

1.設(shè)“力為R上的可導(dǎo)函數(shù)"(X)在點(diǎn)(6(1))

且A3°X,則曲線處的切

線斜率為()

1

A.2B.-lC.1D.一一

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算得到答案.

[詳解]f(1)=hm——------------lim——-------------1.

'7A9o-2Ax2A*一。Ar

故曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線斜率為1.

故選：C

2.已知全集小卜,—9<0卜集合4=則①A=()

A.[0,1]B.(-3,O]u[l,3)c.(-3,3)D.(-3,O]u(l,3)

【答案】D

【解析】

【分析】求解全集U以及集合A,根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算補(bǔ)集即可求出結(jié)果.

詳解]解：0={*,2_9<0}=卜卜3Vx<3},A=<y—>l|={y|0<y<l},

所以=-3<x?0或1<%<3}.

故選：D

3.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在8場(chǎng)比賽中的單場(chǎng)得分用莖葉圖表示(圖1),莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)

丟失，但甲得分的折線圖(圖2)完好，則()

八得分

30

25

甲乙20/

9915

3245897610

86005

0123456789蜴次

圖1圖2

A.甲的單場(chǎng)平均得分比乙低B.乙的60%分位數(shù)為19

C.甲、乙的極差均為11D.乙得分的中位數(shù)是16.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)莖葉圖、直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)、百分?jǐn)?shù)、極差的求法判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】A：由莖葉圖和直方圖，甲比賽得分為{9,12,13,14,15,20,26,28},平均得分為

9+12+13+14+15+20+26+28137

88

9+14+15+16+17+18+19+20128

乙比賽得分為{9,14,15,16,17,18,19,20},平均得分為-------------------------------二——，甲身

88

于乙，錯(cuò)誤;

B：由8x60%=4.8,故乙的60%分位數(shù)為17,錯(cuò)誤;

C：甲的極差為28—9=19,乙的極差為20—9=11,錯(cuò)誤;

D：乙得分的中位數(shù)是巫衛(wèi)?=16.5,正確.

2

故選：D

，，函數(shù)y=&(2x)_曰在0,^

4.已知函數(shù)(x)=sin"x+cos"x(〃eN，上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

4o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

3

【分析】首先求出力（x）的解析式，即可得到＞=力（2月-屋再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閒n(x)=sin"x+cos"xfneN*),

所以力(x)=sin4x+cos4x=sin2x+cos2x)-2sin2xcos2x

,1.2c,1l-cos4x1.3

=1——snr2x=l——x------------=—cos4x+—,

22244

z.

在正棱錐中，以。為原點(diǎn)，平行C8為X軸，垂直C8為V軸，0。為z軸，如上圖示,

則A(0,-l,0),B(—,-,0),C(-—,-,0),￡>(0,0,A/3).且尸(0,0,⑨),

2222

所以AP=(0,l,也㈤，PB=q~,g,—&)，C5=(73,0,0),

PBm-^-x+—y—^32.z=0

若加=(x,y,z)為面P8C的法向量，貝卜22"，令z=l，則

CB-m==0

根=(0,26,1),

’2&入k=1

故石等

又P4_L平面P8C,則AP=kw且4為實(shí)數(shù)，&

0<2<1

故選：D

6.阿基米德螺線是一個(gè)點(diǎn)勻速離開(kāi)一個(gè)固定點(diǎn)的同時(shí)又以固定的角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡.如

圖，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A(一1，0)，4(0,-2),4(3,0),4(°，4),

A(-5,0),A(o,-6),4(7,0),4(0,8),并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去.若四邊形4k,用4+24+3的面

枳為760,則n的值為()

A.18B.19C.21D.22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)四邊形的特點(diǎn)，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)直角三角形的面積，即可求解.

【詳解】如圖，四邊形A“A“+IA,+24"+3的面積由四個(gè)直角三角形構(gòu)成，

得(〃+l)+g(〃+l)(〃+2)+g(〃+2)(〃+3)+：〃(〃+3)=760,

〃(〃+1+〃+3)+("+2)(〃+1+〃+3)=1520,

(2〃+4)(2〃+2)=152(),

即(〃+2)(〃+1)=380,neN*.

解得：〃=18

故選：A

2

v-2v

7.已知雙曲線6：=一々=1(。>0/>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,點(diǎn)鳥(niǎo)與拋物線

a"b~

。2：丁=2〃彳(〃>0)的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)2為。|與。2的一個(gè)交點(diǎn)，若耳的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為

..Q

4,。2的準(zhǔn)線與G交于A，B兩點(diǎn)，且|第=則G的離心率為()

9597

A.-B.-C.-D.一

4454

【答案】B

【解析】

【分析】令《(一。,0),8(c,0),由題設(shè)知c=5>0且|AB|=生求得4〃=9a，再由內(nèi)切圓中切線長(zhǎng)

性質(zhì)及雙曲線定義、性質(zhì)確定與6K的切點(diǎn)C的位置，進(jìn)而求離心率.

所以g(x)<g(O)=O,故尸(無(wú))<0在(0,1)上恒成立，則f(x)在(0,1)上遞減，

所以/(x)</(0)=。，即f(0.1)<0,則c<a；

由。-a=e°，-71+2x0,1，令t(x)-e'-Jl+2x且0<x<1,

所以t'(x)=e'--在(0,1)上遞增，故t'M>f'(0)=0,

Jl+2x

故r(x)在(0,1)上遞增，心)>&0)=0,即，(0.1)>0,則%>“；

綜上，b>a>c.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用作差法得到某種函數(shù)形式，并構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號(hào)即可.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得。分，

9.假設(shè)某廠有兩條包裝食鹽的生產(chǎn)線甲、乙，生產(chǎn)線甲正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的包裝食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布

N(500,52)(單位：g),生產(chǎn)線乙正常情況下生產(chǎn)出來(lái)包裝食鹽質(zhì)量為xg,隨機(jī)變量x服從正態(tài)密度函數(shù)

]*-1000)2

(p(x\=一二e―一亞廣，其中xeR，則()

'’1()后

附：隨機(jī)變量J—,貝P(M-cr<J<4+b)=0.683,尸(〃-2b<J<〃+2cr)=0.954,

P"-3<y<&<畔3b)=0.997.

A.正常情況下，從生產(chǎn)線甲任意抽取一包食鹽，質(zhì)量小于485g的概率為0.15%

B.生產(chǎn)線乙的食鹽質(zhì)量x~N(1000,lGO?)

C.生產(chǎn)線乙產(chǎn)出的包裝食鹽一定比生產(chǎn)線甲產(chǎn)出的包裝食鹽質(zhì)量重

D.生產(chǎn)線甲上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g,于是判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常

是合理的

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的參數(shù)，以及結(jié)合3cr原則的參考數(shù)據(jù)，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】由條件可知，設(shè)生產(chǎn)線甲正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的包裝食鹽的質(zhì)量為X，

其中X-N(500,52),其中〃=500,0=5,

I_n097

則P(X<485)=P(X<3b)=-^-=0.0015=0.15%,故A正確；

[(x-1000)2

B.隨機(jī)變量X服從正態(tài)密度函數(shù)9(x)=—\=e200,可知，"=1000,CT=1O,

1(),2乃

所以生產(chǎn)線乙的食鹽質(zhì)量x~N(1000,l()2),故B錯(cuò)誤；

C.不一定，可能小概率事件發(fā)生，生產(chǎn)線乙產(chǎn)出的包裝食鹽比生產(chǎn)線甲產(chǎn)出的包裝食鹽質(zhì)量輕，故C錯(cuò)

誤；

1-0997

D.P(X〉515)=P(X>〃+3b)=—半二■=0.0015=0.15%,說(shuō)明生產(chǎn)線甲抽到質(zhì)量大于515g的

可能性很低，所以隨機(jī)抽取兩包質(zhì)量均大于515g,說(shuō)明判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常是合理的，故D正確.

故選：AD

10.已知非零向量are,同=1,對(duì)任意teR,恒有,一招隹卜一^,則()

A.&在e上的投影的數(shù)量為1B.\a+e\>\a-2^\

C.a_L(d-d)D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得a??,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選

擇.

【詳解】由14一1由14一11可得同2一2得.0+戶討之同2一2d*同2,

又同=1,令“卷=根則上式等價(jià)于產(chǎn)一2的+2機(jī)—120,對(duì)任意的teR恒成立，

故A=4>一4(2加-1)40,解得(〃L1)2?0,解得機(jī)=1,即a?e=l；

對(duì)A：由a-e=|aH4cos〈d-g)=l,且同=1,故同cos(d?C)=l,即a在e上的投影的數(shù)量為1,故

A正確；

對(duì)B：伍+用=宗+2黑+當(dāng)<2+3,a21『=M一2建+4」2=a+2,

：.\a+ef>\a-2ef,即也+,粱筌,，故B正確；

對(duì)C：a-(a-e)=|a『一=|a『一1,不確定其結(jié)果，故a_L(a-e)不一定成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：e(a-e)-a-e-1-Q,故e_L(a-e),D正確；

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(X)的定義域。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，三機(jī)€。,機(jī)>0且〃根)=1,當(dāng)xe(0，M時(shí)，/(%)>0；

f(x)/(y)+i

且對(duì)任意為6。,丁€。,萬(wàn)一丁€。且工工3；者B有/(x-y)=,則()

/(>)一〃x)

A./(X)是奇函數(shù)B./(3m)=0

C./(x)是周期函數(shù)D.〃力在(2加,3加)上單調(diào)遞減

【答案】ACD

【解析】

/(x)/(y)+i

【分析】對(duì)于A,令r=x-y,根據(jù)/(x-y)=證明/?)=-/(-)即可判斷；對(duì)于B,

根據(jù)“叩，結(jié)合小一加需工

即可求得〃2加),/(3m)，即可判斷；對(duì)于C,先求出

，再根據(jù)=求出/(x-2根)，即可判斷;對(duì)于D,令2〃?<y<x<3根，

f(x)/(y)+i

先判斷了(x)J(y)的符號(hào)，再根據(jù)/(%->)=比較/(x)J(y)即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,令「=%一九

“x)/(y)+i

則/(f)=/(x-y)==-/(y-x)=-/(T),

小)-小)

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，故A正確;

/(2〃?)/(〃？)+1_/(2加)+1

對(duì)于B,由/(根)=1,得〃m)=〃2加—加)

所以/(2/n)=0,

7(3加)/(m)+1/(3㈤+L()

則/(2〃?)=/(3加一〃。

所以/(3機(jī))=—1,故B錯(cuò)誤;

■ZW3+1

對(duì)于C,由“x-y)=

fM-fM,

/(x)/(M+l=/(x)+l

得/(X_〃?)=

f(x)+l]1

二確備

則/(x—4〃z)=(二詞=〃X),即f(x+4m)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4機(jī)為周期的周期函數(shù)，故C正確;

對(duì)于D,令2〃zvy<x<3相，則x-y￡(0,加)，工一2機(jī)￡(0,“)，),一2根￡(0,加)，

則”“一2加卜犬木右=一刀鏟°，所以山)<。，

小一2力瑞號(hào)+一意〉。，所以小)<。，所以小)小)>。，

"x)“)')+i

“x-y)=>o,

因?yàn)?(x)/(y)>。，所以〃x),f(y)+l>0,

所以/(y)-/(x)>。，即/(y)>/(x)，

所以〃x)在(2九3機(jī))上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，周期性及單調(diào)性，c選項(xiàng)的關(guān)鍵在于根據(jù)

f^x-2in)~〃T-〃7-根)判斷與/(x)的關(guān)系，D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于令2根<y<x<3根，

判斷出的符號(hào).

12.設(shè)xeR,當(dāng)〃-gWx<〃+g(〃eZ)時(shí)，規(guī)定〈x)=",如(1.2)=1,(-4.5)=-4.則()

A.(a+Z?)W(a)+匕eR)

B.(J”。+〃)=〃(〃eN*)

C.設(shè)函數(shù)y=kinx)+〈cosx)的值域?yàn)镸,則仞的子集個(gè)數(shù)為32

d(x4)+(x44)+(x4+i)++卜彳+-卜小.勺口”)

【答案】BCD

【解析】

【分析】結(jié)合特例，可判定A錯(cuò)誤；結(jié)合〃<J〃2+〃<〃+_1,可判定B正確；結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的

2

值域，得到y(tǒng)=(sin?+〈cos*的值域?yàn)榧?{-2,—1,0,1,2},可判定C正確；設(shè)

+\x~^+~~}~\nx~^}'得到的周期為L(zhǎng)證

得/(X)恒為0,可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，例如〈-0.6〉=一1,〈-0.6)=—1,則

(-0.6-0.6)=(-1.2)=-1,(-0.6)+(-0.6)=-2,

可得(-0.6-0.6)〉(-0.6)+(-0.6),所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B中，由"2+”<〃2+〃+,=("+')2,所以+〃<“+],

422

所以+〃<〃+,,所以

+〃)=〃，所以B正確;

2

-l<sin%<lsinxe{-1,0,1)

對(duì)于C中，因?yàn)椤?,，可得(

-1<COSX<1cosxe{-1,0,11,

當(dāng)x=兀,,i，0時(shí)，可得y=(sinx)+(cosxj=—2,—1,0,1,2,

即函數(shù)y=〈sinx〉+〈cosx)的值域?yàn)镸={-2,-1,0,1,2),

所以集合M的子集個(gè)數(shù)為2、=32,所以C正確;

若〃eN*，可得(a+n)=(a)+n,所以

則/(x+5-〃x)=

所以的周期為L(zhǎng)

n

又當(dāng)時(shí)，可得一_L<_L__L<_L,此時(shí)[尤―L)=o；

n22n22\2/

止匕時(shí)=0；

22+n2+nn22\2n

11H-11n-l11

—W---1----x-----1----<一，此…時(shí)口/一不^--”----I=0；

22〃2n2\2n

I11,此時(shí)（心一萬(wàn)卜。,

——<nx——<—

222

所以〃X）=0（04X<L，結(jié)合周期為L(zhǎng)即“X）恒為0,所以D正確.

nn

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)的新定義試題的求解:

1、根據(jù)函數(shù)的新定義，可通過(guò)舉出反例，說(shuō)明不正確，同時(shí)正確理解新定義與高中知識(shí)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化;

2、正確理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性和周期等性質(zhì)）

進(jìn)行推理、論證求解.

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

?2023

13.已知ER,(2+3i~3=(/?+i)（i為虛數(shù)單位），則a+b=

【答案】-2

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及乘法運(yùn)算計(jì)算，再借助復(fù)數(shù)相等求解作答.

【詳解】由a+BLMHiyg得：a+3i=(b+i)(—i),即a+3i=l—例，而a,beR,則

。==—3,

所以a+/?=-2.

故答案為：一2

14.已知圓M滿足與直線/：%—6=0和圓"：（*-1）2+（>一2）2=9都相切，且直線MN與/垂直，請(qǐng)寫(xiě)

出一個(gè)符合條件的圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（x-5y+（y-2）2=1（答案不唯一）

【解析】

【分析】不妨設(shè)圓M與圓N外切，根據(jù)直線MN與/垂直，可得圓M縱坐標(biāo)，由兩圓的位置關(guān)系列出

橫坐標(biāo)和半徑的等量關(guān)系，求解可得圓〃的一個(gè)方程.

【詳解】由條件可知：直線x=6與圓N相離，不妨設(shè)圓M與圓N外切，

設(shè)半徑為「，

因直線M/V與/垂直，所以人=2,

,a=5

r=6-a

則有《，，解得："=2,

a—l=r+3

i[r=1

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-5y+（y—2）2=1.

故答案為：（％-5丫+（丁一2）2=1

-x+3y

15.若x>0,y>0,則?.孑”的最大值為_(kāi)___________.

x2+3y+4

【答案】y##0.5

【解析】

x+3yx+3y

【分析】由工2+3y2+4=+1）+（3/+3]再利用基本不等式即可得解.

x+3y_x+3yx+3y_x+3y_1

【詳解】產(chǎn)+3/+4+]）+0y2+3）_2&x]+24y2x32x+6y2,

當(dāng)且僅當(dāng)/=1且3：/=3,即x=y=l時(shí)，取等號(hào)，

x+3yi

所以2的最大值為;.

x+3y+42

故答案為：y.

16.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時(shí)提到祖眶的開(kāi)立圓術(shù).祖曬在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原

理：“累勢(shì)既同，則積不容異”.“累”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.意思是兩個(gè)同高的幾何體，

若在等高處的截面積相等，則體積相等.如圖是某廠家生產(chǎn)的游泳池浮漂實(shí)物圖及設(shè)計(jì)圖，則/?的長(zhǎng)度

【答案】①.476②.647薪

【解析】

【分析】根據(jù)設(shè)計(jì)圖截面結(jié)構(gòu)，結(jié)合球體軸截面的性質(zhì)確定球體半徑、實(shí)物高及中間柱體底面半徑的關(guān)系

求/?;應(yīng)用祖隨原理求圓柱兩端處球冠的體積，然后用球體體積減去圓柱體積、兩個(gè)球冠體積即可得實(shí)物

體積.

【詳解】由實(shí)物軸截面如下圖示：。為球心，

結(jié)合設(shè)計(jì)圖知：Q4=5,O8=l,/z=2A8,故1+4_=25,可得/z=4Ccm；

由題設(shè)知：若匕為球體體積，匕為圓柱體積，匕為圓柱一端的球冠體積，

由祖昭原理知：匕=2兀x53—Ex52x2n一1兀x（2遙）3]=型兀一34"兀，

333

所求體積為V=匕一%—2匕=g兀x53—兀xFx4指一當(dāng)生+68遙兀=64"兀cm3.

故答案為：4\/6，64兀

【點(diǎn)睛】關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空，求柱體兩端球冠體積要模仿祖眶原理求球體體積的思路計(jì)算得出，然后

求實(shí)物體積.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.將正奇數(shù)數(shù)列1,3,5,1,9…的各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫(xiě)成如圖的三角形數(shù)表.

1

35

7911

13151719

（1）設(shè)數(shù)表中每行的最后一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛叫，求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

2〃（1一力）

(2)設(shè)求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和7.

2

【答案】（1）an=n+n-2

2n+l

(2)2-

〃+1

阿斤】

【分析】（1）題意三角形數(shù)表可知4-勺T=2〃，利用累加法和等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算可得

2

an=n+n-\,檢驗(yàn)即可；

（2）由（1）可得〃=工一工二，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解

n〃+1

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，4-4=4,小一%=6,....an-an_{=2n,

所以，(3一4)+(q—<x))+L+一a,』)=4+6+8+L+2〃

2(2+〃1),

2(2+3+4+L+〃)————^=n2+n-2,

2

得a“—q=〃-+〃—2,因?yàn)?=1,所以a“=〃-+〃-1,

經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以&=/+〃-1；

【小問(wèn)2詳解】

2"(1-")2"2,,+1

由題意得，bn=—"=---------

n\n+\)nn+I

++-------=2------.

n+\)H+1

18.設(shè)鈍角△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且（/+〃一才）R=ak,其中R是

_ABC外接圓的半徑.

7兀

（1）若8=——，求。的大小；

12

TT

⑵若CD=2DA，=證明：.工5c為等腰三角形.

7T

【答案】（1）c=—

12

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

TT

【分析】（1）應(yīng)用正余弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)得8=。+—,即可求C的大小；

2

（2）由（1）及題設(shè)易知AABCADB,則有應(yīng)用余弦定理可得

22,2

“3。，進(jìn)而確定三角形形狀.

cosC=------------=——

lab2b

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋ǘ?82加，由余弦定理得：2RabcosC=ab1，所以2火cosC=6,

由正弦定理得：2HcosC=2RsinjB,所以cos。=sin6,

7T7T/7TJT

又AJ?,CG(O,TI),B+Cw—,所以B=C+—,又5=——，所以。=一.

221212

【小問(wèn)2詳解】

由題意得=CD=-b,

33

IT

由(1)知：ZABC=ZC+-,所以ZAB￡)=NC,

2

AB4/)|

所以aA6C4ADB,則---=---->即AB?=AD?AC，即f-=—匕一，

ACAB3

在MBC中c.sC=*二^匕：

在Rtz^ABC中cosC=一，

2b

2ablab

2

22

Q+-力

所

以33a,解得&=避~^，故cosC=^=立,

^732b2

又Ce（O,兀），故C=—,A=--2C=-,

626

所以一ABC為等腰三角形.

19.如圖，直角梯形ABCO中，AB//DC,AB工BC,AB=BC=2CD=2,直角梯形A3。繞3C旋轉(zhuǎn)

一周形成一個(gè)圓臺(tái).

又平面ABC。的一個(gè)法向量n=（0,1,0）,設(shè)4。與平面A8CD所成的角為a,

/uuirr、_|-2sin^|_|2sinO\_721

則sina=8s（A2〃）=，

兩邊平方并結(jié)合sin?d+cos?8=1,

解得cos。=，或cos8=---，故cos。=工時(shí)所求0的最小值為—.

21423

20.某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二

班（30人）進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中

有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨

機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱.并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長(zhǎng)王

剛和二班班長(zhǎng)李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累

計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次.

（1）環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)

量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1,方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為

1.5,方差為0.25,求這20人答對(duì)題目的均值與方差；

（2）環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽

取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

【答案】（1）樣本均值為1.2,樣本方差為0.76

6

（2）—

13

【解析】

【分析】（1）首先求分層抽取的兩個(gè)班的人數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)

和方差公式，代入求值；

（2）根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

一班抽取竺x20=12人，二班抽取的x2（）=8人，

7575

一班樣本平均數(shù)為亍=1,樣本方差為s；=i；二班樣本的平均數(shù)為y=1.5,樣本方差為“2=025；總

樣本的平均數(shù)為石=12x1+8x15=]2.

12+8

記總樣本的樣本方差為$2,

則812X[1+”L2）[+8X[0.25+（L542）[_（）76

20

所以，這20人答對(duì)題目的樣本均值為1.2,樣本方差為0.76.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個(gè)題是選擇題”，

事件為為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，

事件當(dāng)為“王剛同學(xué)從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，

事件鳥(niǎo)為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，

則與、與、層，彼此互斥，且與^當(dāng)口員二。，

「⑻=|U|,尸出）=等。闖=裊得，

P（川4）=“尸（A區(qū)）=5,P（A|B3）=-,

oZo

P（A）=P（4）xP（A.J+P但）xP（A忸2）+P（4）XP（A?）

25811313

=-x—Hx—dx—=—

5815215824

所求概率即是A發(fā)生的條件下與發(fā)生的概率：

25

P⑻仆號(hào)上

v"7P（A）P（A）1313

24

3

2i.已知?jiǎng)狱c(diǎn)p與兩定點(diǎn)a（-2,o）,4（2,0）,直線尸4與P4的斜率之積為—1,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲

線c.

（1）求曲線c的方程；

（2）設(shè)￡）（a,0）（l<a<2）,E為直線x=2a上一動(dòng)點(diǎn)，直線OE交曲線C于G,H兩點(diǎn)，若|G&、

|"國(guó)、|GE|、|他依次為等比數(shù)列出｝的第n〃、p、4項(xiàng)，且加+〃=〃+q,求實(shí)數(shù)a的值.

r2v2

【答案】（1）一+2-=1（XH±2）

43、'

⑵a=6

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)，依據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)可求出軌跡方程；（2）依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得

|GZ）HH￡|=|G耳,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)結(jié)合韋達(dá)定理可求出”的值.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,

由題意得，」——匚=—3

x+2x—24

r22

化簡(jiǎn)得：二+2v-=l（x聲±2）,

43、'

22

故所求c的方程為2+匕=l（x/±2）.

43V'

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)E（2a,7）,