流體靜力學流體力學

關于流體靜力學流體力學

本章學習要點：作用在流體上的力、靜止流體中應力的特性、流體平衡微分方程、等壓面、靜止液體和相對靜止液體壓強的分布、壓強的表示方法、液體作用在平面及曲面壁上的靜水總壓力、壓力中心。第2頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)、靜止流體中應力的特性一、基本概念（一）靜壓力靜止流體對受壓面所作用的全部壓力。（二）靜壓強受壓面單位面積上所受的靜壓力。

靜止流體表面應力只能是壓強（壓應力），流體不能承受拉力，且具有易流動性。二、靜止流體中應力的特性（一）壓強的基本特性:

靜壓強的方向垂直指向受壓面?；蛘哒f靜壓強的方向沿著受壓面的內(nèi)法線方向。為了論證這一特性，在靜止流體中任取截面N—N將其分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，取Ⅱ為隔離體，Ⅰ對Ⅱ的作用由N—N外面上連續(xù)分布的應力代替(圖2—1)。第3頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共62頁，2024年2月25日，星期天（二）靜壓強的特性

靜壓強的大小與作用面的方位無關，即在僅受重力作用的靜水中，任意一點處各個方向的靜壓強均相等。即有：

（2-1）

第5頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

證明：從平衡狀態(tài)下的流體中取一微元四面體OABC，如圖所示取坐標軸（如圖2—2）。由于液體處于平衡狀態(tài)，則有，即各向分力投影之和亦為零，則：

（2—2）x方向受力分析:表面力：

（2—3）

第7頁,共62頁，2024年2月25日，星期天當四面體無限地趨于O點時，則dx

O，因此，類似地有：而是任意選取的，所以同一點靜壓強大小相等，與作用面的方位無關。說明:（1）靜止流體中不同點的壓強一般是不等的，同一點各個方向的靜壓強大小相等。

n為斜面ABC的法線方向質(zhì)量力：

（2-4）

（2-5）

第8頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

（3）.理想流體運動流體時，由于

=0，不會產(chǎn)生切應力，所以理想流體動壓強呈靜壓強分布特性。（2）.運動狀態(tài)下的實際流體，流體層間若有相對運動，則由于粘性會產(chǎn)生切應力，這時同一點上各向的壓強不再相等。流體動壓強定義為三個互相垂直的壓應力的算術(shù)平均值，即

（2-6）

第9頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)、流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程——歐拉方程

1.歐拉方程在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx,dy,dz,設中心點的壓強為p(x,y,z)=p，對其進行受力分析（如圖2—3）：

y向受力:

表面力：

質(zhì)量力：

第10頁,共62頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)平衡條件，在y方向有

Fy=0，即：

整理得：(2-8)

(2-7)流體平衡微分方程（即歐拉平衡微分方程，簡稱為歐拉歐拉方程）：(2-9)第11頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2.物理意義

處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強沿軸向的變化率（）等于該方向上單位體積內(nèi)的質(zhì)量力的分量（、、）。二、平衡微分方程的全微分式為對式(2—9)進行積分，將各分式分別乘以、、然后相加，得（2-10）壓強是坐標的連續(xù)函數(shù)，由全微分定理，上式等號左邊是壓強力的全微分。第12頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

（2-11）

上式是歐拉方程的全微分表達式，也稱為平衡微分方程的綜合式。通常作用于流體的單位質(zhì)量力是已知的，將其代入式(2—11)進行積分，便可求得流體靜壓強的分布規(guī)律。三、等壓面

1.等壓面

壓強相等的空間點構(gòu)成的面(平面或曲面)稱為等壓面，例如靜止液體的自由表面。

2.等壓面的性質(zhì)：平衡流體等壓面上任一點的質(zhì)量力恒正交于等壓面。（2-12）第13頁,共62頁，2024年2月25日，星期天運用平衡微分方程的綜合式，證明等壓面的這一重要性質(zhì),即等壓面與質(zhì)量力正交。證明：如圖2—4，設等壓面如圖，因面上各點的壓強相等（p＝C),即

，代入式(2—11)，得：式中，則等壓面方程為第14頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

以X、Y、Z為等壓面上某點M的單位質(zhì)量力在坐標x、y、z方向的投影，dx、dy、dz為該點處微小有向線段在坐標x、y、z方向的投影，于是：即和正交。這里在等壓面上有任意方向，由此證明，等壓面與質(zhì)量力正交。由等壓面的這一性質(zhì)，便可根據(jù)質(zhì)量力的方向來判斷等壓面的形狀。例如，質(zhì)量力只有重力時，因重力的方向鉛垂向下，可知等壓面是水平面。若重力之外還有其它質(zhì)量力作用時，等壓面是與質(zhì)量力的合力正交的非水平面。常見的等壓面有：自由液面和平衡流體中互不混合的兩種流體的交界面等。第15頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律一、液體靜力學的基本方程

1.基本方程的兩種表達式在同一種均質(zhì)的靜止液體中，任意點的靜壓強，與其淹沒深度成正比，與液體的重度成正比，且任一點的靜壓強的變化，將等值地傳遞到液體的其它各點

重力作用下靜止流體質(zhì)量力：代入流體平衡微分方程的綜合式：

（2-14）第16頁,共62頁，2024年2月25日，星期天1、在重力作用下的靜止流體，選直角坐標系為Oxyz，自由液面的位置高度為z0，壓強為p0，液體中任意一點的壓強為質(zhì)量力只有重力，X＝0，Y＝0，Z＝－g代入公式：得到

由邊界條件z=z0，p=p0可得：第17頁,共62頁，2024年2月25日，星期天在自由液面上有：，，

由此可得水靜力學基本方程：或

2.連通器原理帕斯卡連通器原理簡單稱為連通器原理：在僅受重力作用下的均質(zhì)、連通、靜止的液體中，水平面就是等壓面。⑴僅受重力作用下，靜止流體中某一點的靜壓強隨深度按線性規(guī)律變化。⑵僅受重力作用下，靜止流體中某一點的靜壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。第18頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

⑶自由表面下深度h相等的各點壓強均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。⑷推廣：已知某點的壓強和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強值。（2—15）二、重力作用下靜流體力學基本方程

1.重力作用下靜流體力學基本方程因為所以，靜流體力學基本方程又可寫為：或（2—16）

第19頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2.靜流體力學基本方程的意義：⑴.位置水頭z：任一點在基準面以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準面算起所具有的位置勢能，簡稱比位能，或單位位能或位置水頭。⑵.測壓管水頭p/

：表示單位重量流體從壓強為大氣壓算起所具有的壓強勢能，簡稱比壓能或單位壓能或壓強水頭。

⑶.測壓管水頭（）：單位重量流體的比勢能，或單位勢能或測壓管水頭。僅受重力作用處于靜止狀態(tài)的流體中，任意點對同一基準面的單位勢能為一常數(shù)，即各點測壓管水頭相等，位頭增高，壓頭減低。在均質(zhì)（

=常數(shù)）、連通的液體中，水平面（z1=z2=常數(shù)）必然是等壓面（

p1=p2=常數(shù)）。第20頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、氣體靜壓強的計算在不考慮壓縮性時，式(2—14)也適用于氣體。但由于氣體的密度很小，在高差不很大時，氣柱所產(chǎn)生的壓強很小可以忽略。式(2—14)，簡化為。例如儲氣罐內(nèi)各點的壓強都相等。三、壓強的表示方法及單位

1.壓強的表示方法①.絕對壓強：是以絕對真空狀態(tài)下的壓強（絕對零壓強）為基準計量的壓強，用表示，≥0。②.相對壓強：又稱“表壓強”，是以當?shù)毓こ檀髿鈮簽榛鶞视嬃康膲簭?。用p表示，p=，p可正可負，也可為零（圖2—6）。

圖2—8壓強的測量錄像第21頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

③.真空度：是指Pabc小于一個大氣壓的受壓狀態(tài)，相對壓強的負值時，如（圖2—10）。真空值（2—20）

真空高度（2—18）圖2—10真空高度第22頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

（2—19）（二）壓強的單位及其換算

1.國際單位制：國際單位制中壓強的單位主要有pa（或atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。

2.工程單位制：工程單位制中壓強的單位主要有kgf/m2、m（H2O）、mmHg和at等。

3.單位換算：1pa=0.1013MPa=101.3Kpa=1.103×105

Pa=1.033kgf/m2=10.33m（H2O）=760mm（Hg）

1at=1kgf/m2=10m（H2O）=736mmHg=0.098MPa=98Kpa=98000Pa說明：計算時無特殊說明時液體均采用相對壓強計算，氣體一般選用絕對壓強。第23頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

例2—1

求淡水自由表面下2m深處的絕對壓強和相對壓強（認為自由表面的絕對壓強為1at）

解：絕對壓強

相對壓強：第24頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

例2—2密閉容器(圖2—8)，測壁上方裝有U形管水銀測壓計，該值hp＝20cm。試求安裝在水面下3.5m處的壓力表讀值。

解:U形管測壓計的左支管開口通大氣，液面相對壓強加pN=0，容器內(nèi)水面壓強壓力表讀值圖2—8測壓計算第25頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)、流體的相對平衡前面導出了慣性坐標系中，液體的平衡微分方程及其綜合式(2—9)、式(2—11)。在工程實踐中，還會遇到液體相對于地球運動，而液體和容器之間，以及液體各部分質(zhì)點之間沒有相對運動的情況，這種情況稱為相對平衡。根據(jù)達蘭貝爾（D’Alembert,JeanleRond法國數(shù)學家，1717.11.16～1783.10）原理，在質(zhì)量力中計入慣性力，使流體運動的問題，簡化為靜力平衡問題，可直接用式(2—9)計算。例如水車沿直線等加速行駛，水箱內(nèi)的水相對地球來說，隨水車一起運動，水和水箱，以及各部分水質(zhì)點之間沒有相對運動，相對平衡的液體質(zhì)點之間無相對運動，也無切應力，只有壓強。相對平衡指各流體質(zhì)點彼此之間及流體與器皿之間無相對運動的相對靜止或相對平衡狀。因為質(zhì)點間無相對運動，所以流體內(nèi)部或流體與邊壁之間都不存在切應力。相對平衡流體中，質(zhì)量力除重力外，還受到慣性力的作用。第26頁,共62頁，2024年2月25日，星期天一、等角速度旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)液體的相對平衡盛有液體的圓柱形容器，靜止時液體深度為H，該容器繞垂直軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)。由于液體的粘滯作用，經(jīng)過一段時間后．容器內(nèi)液體質(zhì)點以同樣角速度旋轉(zhuǎn)，液體均容器，以及液體質(zhì)點之間無相對運動，液面形成拋物面。１．壓強分布規(guī)律

，，（2—20）２．等壓面：p=p0+γ（ω2r2/2g-z）（2—21）錄像第27頁,共62頁，2024年2月25日，星期天例2—3：求如圖2—9所示等角速度旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對平衡的壓強分布規(guī)律。解：則

（2—22）

（2—23）在原點（x=0，y=0，z=0）：因為圖2—9等角速旋轉(zhuǎn)第28頁,共62頁，2024年2月25日，星期天等角速度旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對平衡時壓強分布規(guī)律的一般表達式：（2—24）等壓面簇（包括自由表面，即

p=常數(shù)的曲面）方程

（2—25）等壓面簇是一簇具有中心軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。具有自由表面的旋轉(zhuǎn)器皿中液體的自由表面方程：在自由液面上：用相對壓強表示自由表面方程：（2—26）任一點壓強：第29頁,共62頁，2024年2月25日，星期天二、等角速度旋轉(zhuǎn)球體內(nèi)液體的相對平衡壓強分布規(guī)律

（2—27）設球心處：則球壁上：；（2—28）由得，故最大壓強作用點在，的圓周線上。圖2—10等角旋轉(zhuǎn)球體第30頁,共62頁，2024年2月25日，星期天三、勻速直線運動容器內(nèi)液體的相對平衡壓強分布規(guī)律;質(zhì)量力除重力外，計入慣性力，慣性力的方向與加速度的方向相反，即：

（2—29）令，得自由面方程：（2—30）使水不溢出：，

錄像第31頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

例2—4

如圖2—11所示，一灑水車等加速度a=0.98m/s2向前平駛，求水車內(nèi)自由表面與水平面間的夾角；若B點在運動前位于水面下深為h=1.0m，距z軸為xB=-１.5m，求灑水車加速運動后該點的靜壓強。解：考慮慣性力與重力在內(nèi)的單位質(zhì)量力為（取原液面中點為坐標原點）

x=-a；y=0；z=-g，即：dp=

（-adx-gdz）積分得：p=-

（ax+gz）+c，在自由液面上：

x=z=0；p=p0

得：c=p0=0

，代入上式得：圖2—11錄像1錄像2第32頁,共62頁，2024年2月25日，星期天Ｂ點的壓強為自由液面方程為（∵液面上p0=0）：ax+gz說明：在相對平衡的旋轉(zhuǎn)液體中，各點的壓強隨水深的變化仍是線性關系。在旋轉(zhuǎn)液體中各點的測壓管水頭不等于常數(shù)。第33頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第五節(jié)、液體作用在平面上的總壓力液體作用在平面上的總壓力，計算方法有解析法和圖算法。1.解析法圖2—18為任意形狀的平面，傾斜放置于水中，與水面成

角，面積為A，其形心C的坐標為xc

，yc

，形心C在水面下的深度為hc第34頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

圖2—12平面上的總壓力第35頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

①.作用力的大小微小面積dA的作用力：靜矩:

（2—29）結(jié)論：潛沒于液體中的任意形狀平面的靜水總壓力F，大小等于受壓面面積A與其形心點的靜壓強pc之積。②.總壓力作用點（壓力中心）

第36頁,共62頁，2024年2月25日，星期天面積慣性矩：

式中：Ix——面積A繞ox軸的慣性矩。

由慣性矩的平行移軸（2—36）Ic——面積A繞其與ox軸平行的形心軸的慣性矩。結(jié)論：⑴.當平面面積與形心深度不變時，平面上的總壓力大小與平面傾角

無關；⑵.壓心的位置與受壓面傾角

無關，并且壓心總是在形心之下。只有當受壓面位置為水平放置時，壓心與形心才重合。③總壓力方向、垂直指向受壓面。第37頁,共62頁，2024年2月25日，星期天圖形面積yc

Ic

Ib

矩形bh

三角形

梯形h3/36(a2+4ab+b2)/(a+b)

圓

лr2

r

лr4/4

半圓лr2/2

4r/3л

(9л2-64)r4/72л

лr4/8

表2-1第38頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

例2—5一鉛直矩形閘門，已知h1=1m，h2=2m，b=1.5m求總壓力及其作用點。

解：

例2—6有一鉛直半圓壁（如圖2—13）直徑位于液面上，求F值大小及其作用點。解：由式得總壓力

第39頁,共62頁，2024年2月25日，星期天由式得:Fdcp圖2—13第40頁,共62頁，2024年2月25日，星期天2.圖解法①壓強分布圖：壓強分布圖是在受壓面承壓的一側(cè)，以一定比例尺的矢量線段表示壓強大小和方向的圖形，是液體靜壓強分布規(guī)律的幾何圖示。

②.適用范圍：作用在規(guī)則平面上的靜水總壓力及其作用點的求解。

③.原理：靜水總壓力大小等于壓強分布圖的體積，其作用線通過壓強分布圖的形心，該作用線與受壓面的交點便是壓心（壓力中心D）。(1).大?。海?—37）第41頁,共62頁，2024年2月25日，星期天(2).方向：垂直指向受壓面；(3).作用點：（2—38）

圖2—14壓強的分布第42頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

圖算法的步驟是：先繪出壓強分布圖，總壓力的大小等于壓強分布圖的面積，乘以受壓面的寬度b，即，總壓力的作用線通過壓強分布圖的形心，作用線與受壓面的交點就是壓心。例2—7如圖2—15，矩形平板一側(cè)擋水，與水平面夾角α＝300，平板上邊與水面齊平，水深h＝3m，平板寬b＝5m。試求作用在平板上的靜水總壓力。圖2—15平面總壓力計算第43頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

解：

(1).解析法總壓力的大小方向受壓面內(nèi)法線方向。作用點由式(2—35)(2).圖算法繪出壓強分布圖ABC，由式(2—31)總壓力的大小：總壓力方向為受壓面內(nèi)法線方向。總壓力作用線通過壓強分布圖的形心第44頁,共62頁，2024年2月25日，星期天可見兩種方法所得計算結(jié)果相同（圖2—16）。例2—8：用圖解法計算圖2—17的靜水總壓力大小與壓心位置。解：作出矩形閘門上的壓強分布圖：底為受壓面面積，高度是各點的壓強

圖2—16平面總壓力計算

bh2h1h2B

圖2—17第45頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

總壓力為壓強分布圖的體積，梯形形心坐標：，a上底，b下底作用線通過壓強分布圖的重心：例2—9：如圖2—18已知矩形平面h=1m，H=3m，b=5m，求F的大小及作用點。解：(1).解析法

Hhp230°p1圖2—18第46頁,共62頁，2024年2月25日，星期天(2)圖解法壓力圖分為二部分（三角形+矩形）第47頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

例2—10如圖2—19所示，一直徑d=2000mm的涵洞，其圓形閘門AB在頂部A處鉸接，如圖。若門重3000N，試求：（1）作用于閘門上的靜水總壓力P；（2）P的作用點（3）阻止閘門開啟的水平力F。解：（1）圓形閘門受壓面形心到水面的距離為h0=1.5+1.0=2.5m；閘門的直徑D為2.83m

（D=2/sin45°）；閘門面積為：作用于圓形閘門上的總壓力為：作用于圓形閘門上的總壓力為：

P=

hcA=9800

2.5

6.28=153860N

（2）圓形閘門中心至ox軸的距離為

dPoxACGACyDyc涵洞B1.5m鉸點45°圖2—19第48頁,共62頁，2024年2月25日，星期天圓形閘門面積A對經(jīng)閘門中心且平行于ox軸之慣性矩Ixc為：故總壓力作用點在閘門中心正下方0.14m處

（3）因鉸點在A處，則作用于閘門的所有外力對此點之力矩總和必為0，即得阻止閘門的開啟力第49頁,共62頁，2024年2月25日，星期天第六節(jié)、液體作用在曲面上的總壓力

一、曲面上的靜壓力曲面上的靜壓力有：水平分力、垂直分力、靜水總壓（圖2—20）。在曲面上沿母線方向任取條形微元EF，因各條形微元上的壓力dP方向不同，而不能直接積分求作用在曲面上的總壓力。為此將dP分解為水平分力和鉛垂分力。第50頁,共62頁，2024年2月25日，星期天圖2—23曲面上的總壓力第51頁,共62頁，2024年2月25日，星期天1.水平分力Px

結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力F的水平分力Px等于作用于該曲面的垂直投影面（矩形平面）上的靜水總壓力，方向水平指向受力面，作用線通過面積Az的壓強分布圖體積的重心。2.鉛直分力Pz

式中：Vp——壓力體體積結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力F的鉛垂分力Pz等于該曲面上的壓力體所包含的液體重，其作用線通過壓力體的重心，方向鉛垂指向受力面。

第52頁,共62頁，2024年2月25日，星期天3.靜水總壓力作用在曲面上的靜水總壓力：F與水平面的夾角：(2—36)

作用線：必通過Px

，Pz的交點，但這個交點不一定位于曲面上。對于圓弧面，P作用線必通過圓心。P的作用點作用在P作用線與曲面的交點。第53頁,共62頁，2024年2月25日，星期天

二、壓力體（圖2—21）

1.壓力體體積的組成:①.受壓曲面本身；②.通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面；③.自由液面或自由液面的延長線。

2.壓力體的種類：壓力體可分為實壓力體和虛壓力體。圖2—21壓力體第54頁,共62頁，2024年2月25日，星期天①實壓力體：壓力體和液體在曲面AB的同側(cè)，如同壓力體內(nèi)實有液體，習慣上稱為實壓力體，實壓力體Pz方向向下。