2023屆山西省晉中市祁縣一中高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆山西省晉中市祁縣一中高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.將函數(shù)y=2cos2（1+|^-1的圖像向左平移相（相＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則機(jī)的

最小值為（）

71H71

A.—B.—C.—D.兀

342

2.已知/（幻是定義在［一2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)xe（O,2］時(shí)，/（x）=2-l,貝||/（一2）+〃0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

3.已知函數(shù)/（幻=45卻2%一口,8€0,：兀，若函數(shù)尸（x）=/（x）—3的所有零點(diǎn)依次記為X—…,當(dāng)，且

X]<蒞<工3<…<X"，則X+2尤2+2芻+…+2x“_1+x“=()

50萬(wàn)…100萬(wàn)s

A.——B.2171C.-------D.42萬(wàn)

33

4.AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知a+2c=2Z?cosA,則角3的大小為（）

2乃c萬(wàn)

A.一B.-C.2D.2

3366

5.已知向量。=（1,2）出=（2,4-2）,且4,人，則4等于（）

A.4B.3C.2D.1

6.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長(zhǎng)分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,

則球的體積為（）

7.若()<"A<1,則b"，log/,bg屹的大小關(guān)系為（)

a

Aah>ba>log〃Q>logjZ?Bba>ab>logib>log)。

Clog/>ah>ba>logj/?log/>ba>ab>log]b

8.函數(shù)/（X）=——1——的圖象大致是（）

x-lnx-1

9.用L2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)

字相鄰，則滿(mǎn)足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.48B.60C.72D.120

r22

10.已知雙曲線j一v二=1（。>〃>0）的右焦點(diǎn)為F,過(guò)下的直線/交雙曲線的漸近線于A、B兩點(diǎn),且直線/的傾

a~tr

斜角是漸近線。4傾斜角的2倍，若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（）

A3逝273「同V5

A.------RB.------C.------nD.

4352

/\x2+10x+LX＜0/\\\

11.設(shè)函數(shù)/(力=174八若關(guān)于X的方程/(力=。(。￡火)有四個(gè)實(shí)數(shù)解x,(i=l，234),其中

玉＜々＜芻，貝4(玉+￡)(%3一%4)的取值范圍是()

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,+oo)

12.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面

積為()

rviir;l丁:：1

A.且B.2百C.8D.8百

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)函數(shù)則/(—2)+/(噫3)=.

14.已知函數(shù)/(x)=cos2x+a(sinx-cosx)+3x+2019在[0,n\上單調(diào)遞增，貝！]實(shí)數(shù)a值范圍為.

15.如圖，直線/，平面a,垂足為。，三棱錐A-BCD的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,C在平面a內(nèi)，3是直線/上

的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)8到平面ACD的距離為，點(diǎn)。到直線AD的距離的最大值為.

16.在△ABC中，a=3,b=2指，B=2A,則cosA=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

4—x

17.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln——+(2-a)(x-l).

x

(1)當(dāng)a=l時(shí).

①求函數(shù)/(x)在(2,7(2))處的切線方程；

I?4/?-1

②定義S,=/(—)+/(—)+,+/(?——?)其中〃GN*，求Szg：

nnn

(2)當(dāng)ah2時(shí)，設(shè)?x)=/(x)-ln(4x—x2),g(x)=xe1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若對(duì)任意給定的/e(O,e],在

(0,e]上總存在兩個(gè)不同的內(nèi)。=1,2),使得"x,)=g(x0)成立，求。的取值范圍.

TT

18.(12分)如圖，三棱柱ABC-A131G中，側(cè)面BCG?是菱形，AC=BC=2,ZCBBx=-,點(diǎn)A在平面8CGB1上的

投影為棱8凡的中點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ACG小為矩形；

(2)求二面角E-8C-A1的平面角的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-，nx-/W(/〃R).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值；

(2)記關(guān)于x的方程/(%)+加2%2=()的兩根分別為〃應(yīng)(〃<4),求證：inp+ln<7>2.

x—2cosa

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線'(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

y=sina

極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=-2sina

(1)求曲線G的普通方程和曲線G的普通方程；

(2)若P,Q分別為曲線G，G上的動(dòng)點(diǎn)，求IPQI的最大值.

111「10

21.(12分)已知矩陣4=,，二階矩陣8滿(mǎn)足AB=,.

0—10n1

(1)求矩陣B；

(2)求矩陣B的特征值.

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為｛cca為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的

y=3-2t

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為0=4sin9.

(1)求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與曲線C交于A、8兩點(diǎn)，求AOUS的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

f7T\JTTT

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為y=cosx+丁，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造上變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移上個(gè)單位

長(zhǎng)度，即為答案.

【詳解】

X71X兀兀

由題可知，y=2cos，=cos對(duì)其向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度后,

y=cosX,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

故，〃的最小值為7:7

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.

【解析】

由奇函數(shù)定義求出/(0)和/(一2).

【詳解】

因?yàn)?(x)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，二/(0)=0.又當(dāng)xw(0,2］時(shí),

/(X)==_〃2)=-Q2-1)=-3,.-./(-2)+/(0)=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

3、C

【解析】

rrrr]]

令2x—二=二+版■儀eZ）,求出在0,—it的對(duì)稱(chēng)軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得

623

7125兀

/+/=—x2,x+x=——x2,...,x_+x=-----x2,將式子相加并整理即可求得*+2/+2M+…+2怎_1+x〃的

3236w1w6

值.

【詳解】

令2x—工=三+左萬(wàn)（々￡Z）,得尢=，&71+乃（左GZ）,即對(duì)稱(chēng)軸為X=，&九+2（左€Z）.

622323

][3]3

函數(shù)周期丁="，令一左兀+四=，兀，可得攵=8.則函數(shù)在xe0,-71上有8條對(duì)稱(chēng)軸.

2333

JI5兀237c

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知X+工2=-X2X+X3=---X2,+x〃=-----x2,

39266

將以上各式相加得…+2—.+2…管+**...+等卜2=x包萼號(hào)

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為

%+/+/+%3+W+%+…+Z-I+X?的形式.

4、A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解R

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA,即有sinA（l+2cos5）=0,

12萬(wàn)

因?yàn)閟inA>0,貝!Jcos8=——,而3w（0,萬(wàn)），所以8=2.

23

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】

因?yàn)閍=(1,2),方=(2,4-2),且a_LA，

2+2(4—2)=0,

則2=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

設(shè)球心為一，三棱柱的上底面的內(nèi)切圓的圓心為二，該圓與邊--切于點(diǎn)根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得---

為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

【詳解】

如圖，設(shè)三棱柱為二二二一二三二，且二二二.；二二二=一；,二二|=:9^ZZ；=4-

所以底面-------為斜邊是--的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓-,圓-與邊--切于點(diǎn)

—T」1-2-1/U

則圓-的半徑為

所以

即球的半徑為

所以球-的體積為

xax（2^3）J=^5

1

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：

(1)構(gòu)造以球半徑二、球心到小圓圓心的距離二和小圓半徑二為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,

這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為-斜邊為則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑，合理利用中間結(jié)論可提

高解題的效率.

7、D

【解析】

因?yàn)樗?>6">廢>/'>0,

因?yàn)閘og的>log/>1,0<a<l,所以,>1

aa

綜上10gW>/>a">10gB；故選口

a

8、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，把分母設(shè)為新函數(shù)，首先計(jì)算函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像

得到答案.

【詳解】

設(shè)g(x)=x-lnx—1,g⑴=0,則/'(%)=——1——的定義域?yàn)閤w(0,l)U(l,”).g，(x)=l—L,當(dāng)xe(l,田),

x-lnx-1x

g'(x)>0,g(x)單增，當(dāng)X€(O,1),g'(x)<0,g(x)單減，則g(x)2g⑴=0.則f(x)在xe(0,l)上單增，—)

上單減，/0)>0.選氐

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的判斷，用到了換元的思想，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.

9,A

【解析】

對(duì)數(shù)字2分類(lèi)討論，結(jié)合數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論

【詳解】

數(shù)字2出現(xiàn)在第2位時(shí)，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第34位或者4,5位,

共有&尺=12個(gè)

數(shù)字2出現(xiàn)在第4位時(shí)，同理也有12個(gè)

數(shù)字2出現(xiàn)在第3位時(shí)，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第1,2位或者4,5位，

共有個(gè)

故滿(mǎn)足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是48個(gè)

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列，組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字2分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題。

10、B

【解析】

Q11

先求出直線，的方程為y=(x-c),與y=±-X聯(lián)立，可得A,8的縱坐標(biāo)，利用AF=2EB，求出。，萬(wàn)的

a-b'a

關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率.

【詳解】

221

雙曲線二―[=1(a>%>0)的漸近線方程為￥=士一x,

a~b-a

V直線I的傾斜角是漸近線04傾斜角的2倍,

.,2ab

?山=瓦定'

...直線,的方程加斗(…)

與丫=±2工聯(lián)立，可得y=-2abc2abc

或》=

a3cr-b2a2+〃

,:AF=2FB，

.2abc2abc

??/+b23a2-b2

：?a—b.

:.c=2b,

.c273

..e----

a3

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

11、B

【解析】

畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：玉+々=-10,X3X4=1,^<x3<l,計(jì)算得到答案.

【詳解】

“、fx2+10x+Lx<0

/(x)=〈hlc,畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：

|lgx|,x>0

根據(jù)圖像知：%+々=-10，lgx3=-lgX4?故*%4=1，且

()、

故(玉+々)(工3一七)=一1°七一-7€(0,99].

\&J

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.

12>B

【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.

【詳解】

解：分析題意可知，如下圖所示，

該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐A-BCD，

最大面的表面邊長(zhǎng)為2起的等邊三角形ABC,

故其面積為電(20)2=26，

4

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問(wèn)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9

13、一

2

【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對(duì)應(yīng)解析式，再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)=<X),A<1,貝!|/(—2)=i+iog2[2-(-2)]=l+log24=3

，<>g

因?yàn)閘og23>log22=l,則/(log,3)=2Mg=2^=-

9

3

故〃-2)+/(1崛3)=3+萬(wàn)2-

9

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.

14、f-^,3]

2

【解析】

由f\x)20在[0,71]上恒成立可求解.

【詳解】

ff(x)=-2sin2x4-?(cosx+sinx)+3,

4*t=cosx+sinx=>/2sin(x+—),Vxe[0,^],/.[-1,721,

4

又產(chǎn)=l+sin2x，sin2%=1—產(chǎn),從而/'(x)=-2廣+R+5,令gQ)=—2廠+。1+5,

g(-1)=-2-〃+5>0

問(wèn)題等價(jià)于g⑺20在fe[-1,利時(shí)恒成立,MW--<?<3.

g(揚(yáng)=-4+缶+5202

故答案為：[_匕,3].

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了'(%)之0恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.

15、—\/620+2

【解析】

三棱錐A-BCD的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,所以8在平面ACD的投影為A4CZ)的重心，利用解直角三角形，即可

求出點(diǎn)8到平面ACD的距離；OBLOC,可得點(diǎn)。是以8C為直徑的球面上的點(diǎn)，所以0到直線AD的距離為以

8。為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，

最大距離為分別過(guò)和AO的兩個(gè)平行平面間距離加半徑，即可求出結(jié)論.

【詳解】

AACD邊長(zhǎng)為4,則中線長(zhǎng)為4x且，

2

點(diǎn)3到平面ACO的距離為，16-4x2x也=上網(wǎng),

\[32)3

點(diǎn)。是以8C為直徑的球面上的點(diǎn)，

所以。到直線AD的距離為以8C為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離,

最大距離為分別過(guò)BC和AD的兩個(gè)平行平面間距離加半徑.

又三棱錐4-BCD的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,

以下求過(guò)8C和AD的兩個(gè)平行平面間距離，

分別取中點(diǎn)￡/，連BF,CF,EF,

則BE=CE,.?.EF_L5C,同理￡F_LA￡),

分別過(guò)E,尸做EM//AD,FN//BC,

直線BC,EM確定平面a,直線AD,FN確定平面/3,

則EFLFN,FNAD=F,:.EF工0,同理石尸_￡&,

:.a//J3,EF為所求,。尸=J16-4=26,

EF=V12-4=2加，

所以。到直線AD最大距離為2起+2.

4I-

故答案為：§#；2^2+2-

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，屬于較難題.

76

1(05>----

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.

【詳解】

解：?：a=3,b=2瓜,B=2A,

a_b_b

，由正弦定理可得:

sinAsinBIsinAcosA

?.?cos,A=-b--=--2-瓜--=瓜----.

2a2x33

故答案為誣.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17>(1)①y=l；②8079；(2)-oo,2-

【解析】

4—xf-4x+4

(1)①々=1時(shí)，/(x)=In-----+x-lfM,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在（2,/（2））處的切

xx2-4x

線方程.

4一丫12?070

②由小）=/〃丁+~,得?。?八一）=2,由此能求出S?廿八?。?〃礪）+（痢）的值.

（2）根據(jù)若對(duì)任意給定的x°e（0,e］,在區(qū)間（0,e］上總存在兩個(gè)不同的看（i=1,2）,使得/*,）=g（x。）成立，得到

函數(shù)?x）在區(qū)間（0,e］上不單調(diào)，從而求得。的取值范圍.

【詳解】

4—x

(1)①/(x)=In-----+x-l

x

:.f(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

???/'(x)=—4一1+1，???/'⑵=o,???”2)=1,

4XX

所以切線方程為y=l.

4—xx

(2)/(x)=In----+x-l,/(4-x)=ln-----+4-X-1

x4-x

A/(x)+/(4-x)=2,(0<x<4).

令x=2,則/(1)+/(4--)=2,(z=l,2,,4/7-1).

nnn

因?yàn)镾,=/(-)+/(-)++/(4--)+/(4-i)①，

nnnn

1?21

所以s“=/(4——)+/(4——)++/(-)+/(-)②，

nnnn

由①+②得2S?=2(4〃-1),所以S“=4〃-1,(〃eN*).

所以邑02。=8079.

(2)g\x)=e'-x-xe'-x=(\-x)e'-x,當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)〉0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,e］時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減?."(())=0,g⑴=1,g(e)=e2T>0

所以,函數(shù)g(x)在(0,e］上的值域?yàn)?0』.

2

因?yàn)閍#2,.2=0一公(=竟),xe(0,e］

XX

22

故0<----<ea<2——,①

2-a9e

此時(shí)，當(dāng)X變化時(shí)「（X）、4X）的變化情況如下:

22

X(0,--)

2-a2-Q12-4J

r（x）—0+

f(x)單調(diào)減最小值單調(diào)增

Vx-^0,Z(X)->-HX)

2\2

——\=a-2\n------

2—a)2—。

???對(duì)任意給定的毛e（O,e］，在區(qū)間（0,e］上總存在兩個(gè)不同的毛0=1,2）,

使得"x,）=ga＞）成立，當(dāng)且僅當(dāng)。滿(mǎn)足下列條件

r(-^-)<0

a-21n2?。②

<2-a即《2-ci

^)>1

2

令/z(a)=Q—21n----,a€-oo,2—

2-a

〃'(a)=1-2fln2-ln(2-a)]'=1-----='一,

2-cia—2

2

當(dāng)ae(H。,。)時(shí)，/(a)>0,函數(shù)〃(a)單調(diào)遞增，當(dāng)ae(0,2——)時(shí)，//(a)<0,函數(shù)〃(a)單調(diào)遞減所以，對(duì)任意

e

27

ae(-oo,2--),有力(a)4/z(0)=0,即②對(duì)任意a€(-oo,2)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2一一一.④

e-1

綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的/e(O,e],

在[0,e)上總存在兩個(gè)不同的%,.(z=1,2),使"%)=g(x0)成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,

會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件.不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值

問(wèn)題解決.

18、(1)見(jiàn)解析(2)-衛(wèi)

7

【解析】

(1)通過(guò)勾股定理得出CEL8g,又進(jìn)而可得，平面A￡C,則可得到A41，AC,問(wèn)題得證；

(2)如圖，以E為原點(diǎn)，EC,EB-￡4所在直線分別為x軸，)，軸，二軸，求出平面EgC的法向量和平面A&C

的法向量，利用空間向量的夾角公式可得答案.

【詳解】

(1)因?yàn)槠矫?8CC，所以AELBg,

1n

又因?yàn)?6=584=1,BC=2,ZEBC=~,所以CE=6，

因此BE2+CE2=BC2.所以CE，BB1,

因此8片，平面A￡C,所以881_LAC,

從而A41，AC,又四邊形ACGA為平行四邊形，

則四邊形ACG4為矩形；

(2)如圖，以E為原點(diǎn)，EC,EB[t￡4所在直線分別為x軸，),軸，z軸，所以

A(O,O,1),A(0,2,1),4(0,l,0),C(V3,0,0),

平面EB}C的法向量m=(0,0,1),設(shè)平面的法向量n=(X,乂Z)，

由胃_LC8j=(x,y,z)?(—1,0)=0=>y=V3x,

由〃_L44=(x,y,z)?(0,1,1)=0=y+z=0,

令尤=]=y=6,z=->/3,即〃=(1,A/3,—>/3),

ffiunV2I

所以，cos<m,n>=-----產(chǎn)=------,

lxV77

所以，所求二面角的余弦值是一叵.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查空間垂直關(guān)系的證明，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題.

19、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)〃?討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

(2)，，4是方程/(力+〃72%2=0的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

加斯音c'/、1C2l-mx-lnrx1(1+如)(1-2如)

(1)依題意，f(%)=——fn-2mx=--------------=----------------；

xxx

若加=0,則八x)=!>0,則函數(shù)。(％)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

X

此時(shí)函數(shù)/(X)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；

若機(jī)>0,貝！ll+/nx>0,令/'(x)=0,解得x=」一

2m

故當(dāng)xe(O,，一)時(shí)，f'M>Q,/(x)單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe(，一,+oo)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)/(工)有極大值/(二;一)=In----m'~---加2(不一)~=In-------,無(wú)極小值；

2m2m2m2m2m4

若，n<0,則1一23:>0,令/"(九)=0,解得x=-->

m

故當(dāng)X￡(0,—‘)時(shí)，r(x)>0,/(幻單調(diào)遞增；

m

當(dāng)XG(-',+8)時(shí)，r(X)<0,7@)單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)/(X)有極大值J(---|=ln(---)-加?()一加2(---)2=ln(---),無(wú)極小值；

/mJmmmm

(2)依題意，Inx—初x=0,貝!jln〃=mp,lnq=mq,

故lnq-lnp=m(q—p),Inp+lnq=w(〃+q)；

要證：lnp+lng>2,即證相(〃+q)>2,

In-Inp、八,q2(q-p)

即證：———乙(zp+g)>2,即證一二>?，

q-ppp+q

設(shè)攵只需證：in/>也二D(f>l),

pt+l

設(shè)g(f)=hu—貝！|g’")=4^>0，

故g(f)在(i,yo)上單調(diào)遞增，故gQ)>g(l)=0,

即In」」"”,故ln〃+lnq>2.

r+1

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.

證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式/(%)>g(x)的基本

方法：

⑴若fiX)與g(X)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明/(X)min>g(X)a;

⑵若"X)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)〃(幻=/(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)〃(X)的單調(diào)性或最值，證明

/z(x)>0

2

20、(1)—+y=l,爐+(1)2=］；(2)拽+1

43

【解析】

試題分析：(1)由sin2a+cos2<z=l消去參數(shù)a,可得G的普通方程，由/+；/=夕2,ysin?？傻肅2的普通

方程；

(2)設(shè)P(2cosa,sina)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線G的圓心(0,-1)的距離d=,結(jié)合

sinae［—1,1］可得最值，|PQ|的最大值為d+r,從而得解.

試題解析：

2

(1)G的普通方程為亍r+丁=1.

???