數(shù)理方程與特殊函數(shù)

關(guān)于數(shù)理方程與特殊函數(shù)12常用物理規(guī)律(二)1、熱傳導(dǎo)定律定義熱流密度：第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天32、牛頓冷卻定律單位時間內(nèi)流過單位面積放出的熱量為：3、比熱公式第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天44、高斯定律第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天5(一)、熱傳導(dǎo)方程

截面積為A的均勻細桿，側(cè)面絕熱，沿桿長方向有溫差，求桿內(nèi)溫度的變化規(guī)律。(1)、細桿的熱傳導(dǎo)問題xx+dxLu(x,t)xn第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天6在dt時間內(nèi)流入微元的熱量為：在dt時間內(nèi)放出微元的熱量為：在dt時間內(nèi)微元吸收的凈熱量為：第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天7由比熱公式：由熱量守恒定律得：一維齊次熱傳導(dǎo)方程第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天8設(shè)均勻且各向同性的導(dǎo)熱體,置于溫度比它高的熱場中,求物體中溫度u(x，y，z,t)的分布的規(guī)律。

(2)、三維空間中的熱傳導(dǎo)問題導(dǎo)熱體熱場第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天9分析：(1)、[t1,t2]時間里流入導(dǎo)熱體的熱量Q1計算先要給出在[t1,t2]時間里流入導(dǎo)熱體的熱量，然后再給出在該時間中導(dǎo)熱體溫度升高所需要的熱量。dSn流入dS的熱量微元為：第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天10在[t1,t2]時間里流入S的熱量為：第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天11(2)、[t1,t2]里導(dǎo)熱體升溫需要的熱量Q2計算導(dǎo)熱體微元dV在dt時間升溫需要的熱量為：[t1,t2]里導(dǎo)熱體升溫需要的熱量Q2為：第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天12由熱量守恒定律：Q1=Q2于是得到：三維齊次熱傳導(dǎo)方程第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天13如果導(dǎo)熱體內(nèi)部有熱源，不難得到非齊次方程形式為：其中，f(M,t)被稱為自由項。物質(zhì)擴散與熱傳導(dǎo)現(xiàn)象相似。所以，熱傳導(dǎo)方程也稱為擴散方程。第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天14(二）、穩(wěn)態(tài)場方程穩(wěn)態(tài)場問題是一類重要的典型物理問題，主要特征是所研究的物理量不隨時間而變化。1、穩(wěn)定溫度分布三維齊次熱傳導(dǎo)方程為：熱傳導(dǎo)達到穩(wěn)定狀態(tài)時有：稱后一方程為穩(wěn)態(tài)場中的拉普拉斯方程.第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天15由靜電場的高斯公式：如果設(shè)：2、靜電場中的電勢分布規(guī)律可以得到：第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天16靜電場是保守場，于是存在勢函數(shù)u(x,y,z)滿足：把(2)代入(1)得：這就是靜電場中電勢滿足的泊松方程如果ρ=0，則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠?。泊松方程與拉普拉斯方程稱為穩(wěn)態(tài)場方程。第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天171、波動方程：三類典型物理方程總結(jié)2、熱傳導(dǎo)方程：3、穩(wěn)態(tài)場方程(泊松方程)：第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天181、不含初值條件帶第一類邊界條件：狄里赫列問題，簡稱狄氏問題；穩(wěn)態(tài)場方程的定解條件問題2、邊界條件帶第二類邊界條件：牛曼問題；帶第三類邊界條件：洛平問題。穩(wěn)態(tài)場方程求解將在第六章討論！第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天19(三）、影響物理系統(tǒng)的其它條件1、銜接條件反映兩種介質(zhì)交界處物理狀況的條件稱為銜接條件。當物理系統(tǒng)涉及幾種介質(zhì)時，定解條件中就要包括銜接條件。例1、寫出由兩種不同材料,等截面積桿連接成的桿的縱振動的銜接條件。連接處為x=x0分析：連接處面上點的位移相等，面上協(xié)強相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天20所以，銜接條件為：例2、討論靜電場中電介質(zhì)表面的銜接條件設(shè)ε1，ε2與u1,u2分別表示兩種介質(zhì)的介電常數(shù)與電勢；?f表示分界面S上電荷面密度。第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天21(1)、在界面處，兩種介質(zhì)中的電勢應(yīng)相等事實上：根據(jù)電場強度與電勢梯度的關(guān)系有：于是，若假定E為p1p2上的平均電場強度(顯然它有限)，則：兩邊對ΔL取極限得：第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天22(2)、在界面處，可以導(dǎo)出如下等式：事實上：根據(jù)有介質(zhì)高斯公式就可以推出上式。Qf是面S內(nèi)的總電荷有介質(zhì)高斯公式為：第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天23取一個包含ΔS的上下底平行的高為Δh的扁平盒：由于Δh可以很小，因此，通過側(cè)面的電通量忽略！于是由高斯公式有：而:第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天24所以：說明：如果u1為導(dǎo)體的電勢，u2是絕緣體電勢，那么，因為導(dǎo)體是等勢體，所以有：2、周期性條件在極坐標、柱面坐標和球坐標系的經(jīng)度坐標中，實際物理量常滿足周期性條件，即：第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天25(1)、在極坐標中：(2)、在柱坐標中：(3)、在球坐標中：第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天26例如，在靜電場中，由電勢的唯一性有：3、有界性條件在沒有源處，物理量一般有界。?？紤]物理量在坐標原點處有界。例如，在靜電場中，電勢在原點(無電荷）有界；在溫度場中，中心溫度有界等！4、無窮遠條件或者在無窮遠處u有漸進行為f(r,t)(已知函數(shù)）第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天27例3、半徑為r0的球面，在0≦θ<π/2的半球上電勢為u0，在另一半球上為-u0,寫出定解問題。分析：空間中的電勢分布分球內(nèi)(u1)與球外(u2),由于是靜電場問題，所以泛定方程為穩(wěn)態(tài)場方程。又空間中沒有分布電荷，因此方程為拉普拉斯方程。θ第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天28所以：其它條件：第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天29定解問題的簡要總結(jié)

對于一個具體物理問題，寫出其定解問題，應(yīng)該分如下三步進行：1、根據(jù)問題背景寫出物理方程(泛定方程);2、如果有邊界條件，要根據(jù)物理背景寫出邊界條件，即考慮描述物理量在邊界上狀況的三類邊界條件和銜接條件。第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天30除邊界條件外，由于物理上合理性的需要，有時還需要對方程中的未知函數(shù)加以一些限制。這些限制包括：周期性限制;有界性限制；無窮遠限制等。上面限制條件稱為自然邊界條件。

3、初始條件如果物理問題涉及時間變量，則需寫出初始條件。如果方程中對時間的導(dǎo)數(shù)為n階，則需要n個初始條件表達式。第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天31作業(yè)P26習(xí)題2.2第1