2023-2024學年江蘇省揚州市高郵市高三（上）期初數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年江蘇省揚州市高郵市高三（上）期初數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={1,2,3},B={x|x>1},則ACB=（）

A.{1,2,3}B.{2}C.{2,3}D.{1,3}

2.已知命題p：-1<x<4,q：\x-l\<2,則p是勺的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設函數(shù)f（x）=2xOa）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A.[4,+8）B.[—4,0）C.（0,4]D.（—oo,-4]

4.若a>b>0,c>d>0,則一定有（）

6.在成都大學生世界運動會中，甲、乙、丙參加了游泳、體操、足球三個項目，每人參加的

比賽項目不同.已知①乙沒有參加游泳；②若甲參加體操，則丙參加足球；③若丙沒有參加

體操，則甲參加體操.下列說法正確的為（）

A.丙參加了體操B.乙參加了體操C.丙參加了足球D.甲參加了足球

7.若實數(shù)a,b,c滿足6a=18川=2,匕=|,則a,b,c的大小關系是()

A.,a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

8.設函數(shù)f(x)=m/一7n%—i,若對于任意的％e{x[l<%W2},/(x)<—m+4恒成立，

則實數(shù)m的取值范圍為()

A.m<0B.0<m<|C.m<|D.0<m<|

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知全集U,集合4,B是U的子集，且4nB=B,則下列結論中正確的是()

A.AUB=4B.CyBcC/

C.Bn(C(M)=。D.(CMU(QB)=U

10.下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x)=x+1與g(x)=Nx+1)2是同一個函數(shù)

B.若函數(shù)/(K)的定義域為[0,3],則函數(shù)f(3x)的定義域為[0,1]

C.已知命題p：Vx>0,x2>0,則命題p的否定為mx>0,%2<0

D.定義在氏上的奇函數(shù)”為滿足“乃-/仁-嗎=。，則函數(shù)/(x)的周期為4

11.己知a>0,匕>0且a+b=，攵，則下列式子中正確的是()

A.a2+b2>1B—+號2+學

ab2

C.2a-b>D.0+IFW2/7

12.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,/(xy)=y2/(x)+x2/(y),則()

A./(0)=0B./(-I)=-1

C"(x)為偶函數(shù)D.若汽2)=今則/(一己=一七

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知集合4={。+1,。2-1},若364則實數(shù)a的值是.

2

14.已知關于%的不等式/—2ax—8a<0(a>0)的解集為{%|與<x<x2]f且%2一=

15,則a的值為?

15.寫出一個滿足：/(x-y)=/(%)+/(y)-2町的函數(shù)解析式是.

16.已知函數(shù)f(%)=1差％}若關于％的方程4升(%)-4a-f(x)+2Q+3=0有5個

不同的實根，則實數(shù)Q的取值范圍是.

四、解答題(本大題共7小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知集合4={x|三|40},B=(x\x2-7x+6<0},C={x|x>a],全集為實數(shù)集R.

(1)求AUB,(CRA)CB；

(2)如果4nC=0,求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知命題p：Vxe/?,x2-4x+t2^0,命題p為假命題時實數(shù)t的取值集合為4

(1)求集合4

(2)設集合8=(t\2m-3<t<m+l},若x6B是xe4的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值

范圍.

19.(本小題6.0分)

當%>1時，求x+的最小值.

x-1

20.(本小題6.0分)

已知a>0,b>0且—工；+Yi"=1,求2a+b的最小值.

a+1b+1

21.(本小題12.0分)

如圖，在多面體4BCDE中，4B_L平面BCD,平面EC。1平面BCD,其中△ECD是邊長為2的

正三角形，△BCD是以NBDC為直角的等腰三角形.

(1)證明：力B〃平面CCE；

(2)若平面4CE與平面BDE的夾角的余弦值為卷「歷，求線段4B的長度.

22.(本小題12.0分)

一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選20只小白鼠，隨機地將其中10只分配到試驗

組，另外10只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).

(1)設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)試驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

22.523.225.826.527.530.132.634.334.835.6

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

16.518.018.819.219.820.221.622.823.623.9

(i)求20只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于rn的數(shù)據(jù)的

個數(shù)，完成如下列聯(lián)表:

<m>m

對照組——

實驗組——

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中

體重的增加量有差異？

2

附：K2=Mad-兒).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

23.(本小題12.0分)

根據(jù)人教2019版必修一P87頁的13題介紹：函數(shù)/(x)的圖象關于點P(m,砌成中心對稱圖形的

充要條件是函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).設函數(shù)/(x)=logaa>0且a*1.

(1)利用上述結論，求函數(shù)f(x)的對稱中心：

(2)若對于Vxe[2,3],不等式f[a(4*+2與]+/(I-2X)<0恒成立,求a的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：知集合4={1,2,3},B={x\x>1),

則4nB=[2,3}.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：由q：|x-1|<2,化簡得q：-1<%<3,

而p：-1<x<4,可知：由p不能推出q成立，且由q可以推出p成立.

因此，p為q的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)題意化簡q，得到q對應的x的取值范圍，再由充分必要條件的定義算出本題答案.

本題主要考查了不等式的解法、充要條件的判斷及其應用等知識，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：設t=x(x-a)=M—ax,對稱軸為“全拋物線開口向上，

y=2t是R上的增函數(shù)，

???要使在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減，

則t=/-ax在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減，

即注2，即a24,

故實數(shù)a的取值范圍是[4,+8).

故選:A.

利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進行求解即可.

本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，利用換元法結合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解是

解決本題的關鍵，是基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：由a>b>0,c>d>0,取Q=C=2,b=d=1,可知。正確.

故選：D.

根據(jù)條件，取a=c=2,b=d=l,即可得到正確選項.

本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：因為函數(shù)/(X)的定義域為R,且/(-X)=3［告3*=_3；：=一/Q),

所以函數(shù)/(乃是奇函數(shù)，故可排除4、C;

又/(1)=+=一。<0,故可排除B；

故選：D.

先確定函數(shù)的奇偶性，排除4C選項，再特殊函數(shù)值，比較排除選項可得答案.

本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎題.

6.【答案】4

【解析】解：由①可知，乙參加體操或足球，

若乙參加體操，則丙沒有參加體操，由③可知，甲參加體操，矛盾，

故乙只能參加足球，選項B錯誤；

由前面分析可知，甲參加體操或游泳，

若甲參加體操，則由②可知，丙參加足球，這與乙參加足球矛盾，

則甲只能參加游泳，選項。錯誤；

由以上分析可知，丙參加體操，選項A正確，選項C錯誤.

故選：A.

根據(jù)題意首先可以確定乙只能參加足球，進而可推斷甲只能參加游泳，進一步可知丙參加體操,

由此得解.

本題考查進行簡單的合情推理，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由6a=18加=2,得a=log62,ac=log182,

“c一麗京j°gi86，

由a=log62<log6V2^<log6V62=1,

c=logi86>logi8府>log18VlF=|>I，

c>&>a.

故選：D.

求得a=log62,c=logi86,利用放縮法可得a,b,c的大小關系

本題考查對數(shù)的運算，考查放縮法比較數(shù)的大小，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：Vxe[1,2],—mx—1v-m+4恒成立，

???m(x2—x4-1)<5對V%e[1,2]恒成立，

1O

Vy=%2-X+1=(X--)2+->0,

???m<(%2—+1)疝71,%€[1,2]?

???y=/一%+1的對稱軸方程為％=1,

???/(%)在[1,2]上單調(diào)遞增,

???當％=2時,y取得最大值3,

(5._5

??^x2_x+1)min-§，

/5

:.771<-.

故選：C.

依題意，可得機(，一%+1)<5對\^6口,2]恒成立，分離參數(shù)m,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答

案.

本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：因為4CB=B,

所以8U4

A：Ak)B=A,正確；

B：CyAQCuB,B錯誤；

C：Bn(QA)=0,C正確；

D：(CfM)U(CuB)=Cu(4nB)=C(；B,O錯誤.

故選：AC.

由已知結合集合的交并運算及集合包含關系的轉(zhuǎn)化檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了集合的交并補的運算及集合包含關系的轉(zhuǎn)化，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解:對于4/(X)的定義域為R,g(x)的定義域為［-1,+8),

故f(x)，g(x)不是同一函數(shù)，故4錯誤；

對于8,函數(shù)f(x)的定義域為［0,3］,

則0<3%<3,解得0<%<1,

故函數(shù)/(3x)的定義域為［0,1］,故B正確；

對于C,命題p：Vx>0,x2>0,則命題p的否定為>0,x2<0.故C正確;

對于D,/(無)一/(2-無)=0,

則/。)=/(2-乃，

故/(一x)=/(2+x),

f(x)為奇函數(shù)，

故/(T)=

故-f(x)=f(2+x),

—f(2+x)=f(2+2+x)=/(4+x),

故/(x)=f(4+x),故。正確.

故選：BCD.

對于4結合同一函數(shù)的定義，即可求解；

對于B,令0W3XW3,解出x的范圍，即可求解；

對于C,結合命題否定的定義，即可求解；

對于D,結合奇函數(shù)的性質(zhì)，以及周期函數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解:對于析由。2+|2N2ab得2(a2+b2)z(a+b)2,

結合a+b=可得2(a2+i>2)22,所以(^+爐？］，故A正確；

嘖

2b的

￥(

+--

對于B,ba

因為1§22"第=2，=當且僅當2=等時等號成立,

ab~abQ。

12

L-+20=2+亨，故B正確;

Qb

對于C,由a>0,b>0「［.Q+b=72,可得Q—b>—V2,

所以2。-匕>2一二，結合2-。<2-1=",可知2。一力>：不成立，故C錯誤;

對于。，由(Va+7b)?<2(a+b)=2，2,可知ya+Vb<J272=V8,

結合病<2。，可得V0+IFW2，乏成立，。正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，利用基本不等式對各項依次進行判斷，從而得出正確答案.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)、利用基本不等式求函數(shù)的最值等知識，屬于基礎題.

12.【答案】ACD

【解析】解：因為/(xy)=丫2/(為+//⑶)，

對于力，令x=y=O,/(0)=0xf(O)+0x/(0)=0,故A正確；

對于B,令x=y=l,/(I)=1x/(l)+1x/(l),則f(1)=0,

令x=y=jl,/(I)=/(-l)+/(-l)=2/(-1),則/(-1)=0,故8錯誤；

對于C,令y=-l,/(-x)=/(%)+x2/(-l)=/(x),又函數(shù)f(x)的定義域為R,所以/'(x)為偶

函數(shù)，故C正確；

對于D,令x=2,y=-p所以--1)="(2)+4/(-；)=0,

若/⑵=；,則/(_；)=_*,故。正確.

故選：ACD.

利用賦值法即可判斷各選項.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應用，考查賦值法的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】-2

【解析】解：因為3€4,則a+l=3,或a2-l=3,

當a+1=3時，a=2,A={3,3},不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a?—1=3,時，a—2或a——2,

當a=2時，A={3,3},不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a=-2時，A=[-1,3],符合題意；

綜上所述；a=-2,

故答案為：-2.

利用集合中的元素確定參數(shù)的值，注意元素的互異性.

本題利用集合元素的互異性求參數(shù)，屬于基礎題.

14.【答案】|

【解析】解:關于x的不等式/-2ax-8a2<0(a>0)的解集為{刈/<x<x2},

所以Xi和彳2是方程產(chǎn)-2ax-8a2=0的兩個實數(shù)根，

所以9*"2=2a

=-8Q2，

因為％2—%i=15,所以(皿—％i)2=(%i+%2)2—4/％2=4a之+32a2=225,

即Q2=繪，解得a=所以a=J.

故答案為：

由不等式的解集得出對應方程的實數(shù)根，結合題意利用根與系數(shù)的關系即可求出a的值.

本題考查了不等式與對應方程的關系應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

15.【答案】f(x)=x2

【解析】解：/(x-y)=/(%)+/(y)-2xy41,令％=y=0,解得/(o)=o,

22

令y=x得-%)=/(%)+f(x)-2X9故f(%)+/(%)=2x,

不妨設/(%)=%2,滿足要求.

故答案為：f(x)—

賦值法得到f(0)=0,/(%)+/(—%)=2/,求出函數(shù)解析式.

本題考查求函數(shù)解析式，屬于基礎題.

37

6答案

(-2-6-

【解析】解：作出函數(shù)/(為二^^士:::^0的圖象如下:

因為關于x的方程4/2(x)-4a"(x)+2a+3=0有5個不同的實根，

令t=/(t),則方程4t2-4at+2a+3=0有2個不同的實根G，t2，

則4=16a2-16(2a+3)=16(az-2a-3)>0,解得a<-1或a>3,若匕<t2，則一2<公W

—1<t2<0或一1<<馬=0，

令g(t)=4產(chǎn)—4at+2Q+3,

(g(-2)=19+10。>0

則有《g(-1)=7+6a<0或2Q+3=0,

(g(0)=2Q+3>0

p(-2)=194-10a>0

由Ig(-1)=7+6Q40,得-!；

IZo

(g(0)=2a+3>0

當2a+3=0時，解得。=一|,此時4t2+6t=0,解得￡1=一|,t2=0,不符合題意，故舍去；

綜上可得一反

LO

所以實數(shù)a的取值范圍為(-|,-芻.

故答案為：(―|,—，].

作出函數(shù)/'(X)的圖象，結合圖象可知關于f(x)的一元二次方程根的分布，根據(jù)一元二次根的分布

列出不等式求解即可.

本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)集合4=卜|蕓S0}={x|3<x<5],B=(x\x2-7x+6<0}={x|l<x<6},

所以4UB=(x|l<x<6},CRA={x|x<3或x>5},

所以(CRA)nB={x[l<x<3或5<x<6)；

(2)因為集合(7={%]%>研，且4rC=0,

所以a25,即實數(shù)a的取值范圍是{a|a25}.

【解析】(1)化筒集合4、B,根據(jù)并集、補集和交集的定義計算即可；

(2)根據(jù)題意，利用AnC=。，直接寫出實數(shù)a的取值范圍.

本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題.

18.【答案】解：(1)命題p：VxGR,x2-4x+t20,則"：3xGR,使/-4x+t2=0.

當命題p為假命題時.，”為真命題，

即關于x的方程/-4x+t2=0有實數(shù)根，4=16-4t220,解得一2<t<2,

因此，命題p為假命題時，實數(shù)t的取值集合為4=[-2,2]；

(2)若xGB是％G4的充分不必要條件，則B曙A,即{t|2m-3<t<m+1]{t|-2<C<2},

當m+1W2zn-3時，即mN4時，集合{t|2m-3<t<m+1}為空集，符合題意；

當zn<4時，若BA,則2nl-3>-2且m+1<2,解得:<m<1,實數(shù)m的取值范圍是g,1].

綜上所述，若xeB是xe/l的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是g,l]U[4,+8).

【解析】(1)根據(jù)題意，關于x的方程/-4%+{2=0有實數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式算

出答案；

(2)由充分必要條件的定義，可知B建4進而建立關于小的不等式組，算出機的取值范圍.

本題主要考查了一元二次方程根的判別式、不等式的解法、充要條件的判斷及其應用等知識，屬

于基礎題.

19.【答案】解：當x>1時，x-1>0,

所以x+言=(%-1)+*+122J(x-1).言+1=5，

當且僅當x-l=C，即x=3時，x+々的最小值是5.

X-1X—1

【解析】根據(jù)題意x-l>0,以x-l為整體進行配方，進而利用基本不等式算出答案.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)、利用基本不等式求函數(shù)的最值等知識，屬于基礎題.

20.【答案】解：根據(jù)題意,2a+b+3=2(a+1)+(b+1),

丁系+言=L

???2(a+l)+(b+l)=[2(a+l)+(b+l)]島+備)=3+得+鏟

ifij—+2(a+l)>2Ib±l.^+12-2y/~2,

a+1b+1—3a+1b+1《vo

可得2(a+1)+(b+1)>3+2y/~2,即2a+b+323+2y/~2,

因此，2a+b22「，當且僅當魯=當浮，即a=浮為=/至時，等號成立.

綜上所述，2。+6的最小值是2，1.

【解析】根據(jù)題意以a+1、b+1為單位，利用“1的代換”并結合基本不等式加以計算，即可得

到答案.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)、利用基本不等式求函數(shù)的最值等知識，屬于基礎題.

21.【答案】(1)證明：取CC的中點F,連接EF,BF,則EF1CC.

???平面ECD_L平面BCO,且平面ECOn平面BCD=CO,EFu平面ECD,

???EF1平面BCD.

XvAB1平面BCD,AB//EF.

???4B<t平面ECD,EFu平面ECD,???AB〃平面CDE；

(2)解：過點B作BP〃CC,以B為坐標原點，

分別以BP,BD,84所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

設AB=a,則4(0,0,a),B(0,0,0).

C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,C),

故前=(2,2,—a)，CE=(-l,0,<3)>前=(0,2,0),JE=(1,2,0).

設平面4CE的一個法向量為記=Qi，yi，Zi),

由舊?竺=2/+2"az1=0,取2/3,得沆=@口,a-2<3,2),

(m-CE=-%1+Hz1=0

設平面BDE的一個法向量為元=(x2,y2,z2),

帽蠹算:+e=i2…得1Er.

設平面4CE與平面80E的夾角為。，

則coa8=|cos<m,n>|=|167丁|=與占，

J16+(a-2\T3)2-2

解得a=y/~3>即48=V-3.

【解析】(1)先證明線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得線線平行，利用線面平行判定定理求證即可;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

本題考查線面平行的證明，考查面面角的余弦值的求法，屬中檔題.

22.【答案】2882

【解析】解：(1)根據(jù)題意可得X=0,1,2,

c9c或cc|c

則prx-rn—也—2，Prx-1n-prv_n_§18__9_.

P（X一°）一改一38P（X-）-嚼一19P（X_2）-cio-38

所以X的分布列為:

X012

9109

p

381938

QI0Q

所以E(X)=Ox葛+lx/+2x^=l；

(2)(i)20只小白鼠體重的增加量從小到大排列為：16.5,18.0,18.8,19.2,19.8,20.2,21.6,22.5,

22.8,23.2,23.6,23.9,25.8,26.5,27.5,30.1,32.6,34.3,34.8,35.6,

所以中位數(shù)m=232；23.6=23.4,

完成2x2列聯(lián)表如下:

<m>m合計

對照組2810

實驗組8210

合計101020

(“*=需篇告=7.2>3.418,

所以有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

(1)根據(jù)題意可得X