人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題第18章平行四邊形單元測試(培優(yōu)壓軸卷)(原卷版+解析)

【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】第18章平行四邊形單元測試（培優(yōu)壓軸卷，八下人教）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?撫遠市校級期末）下列說法中，正確的是（）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等的平行四邊形是矩形2．(2023秋?泰山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD3．(2023秋?深圳期末）要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是（）A．測量四邊形畫框的兩個角是否為90° B．測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分 C．測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等 D．測量四邊形畫框的四邊是否相等4．(2023秋?任城區(qū)期末）已知，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）cm．A．11 B．22 C．20 D．20或225．(2023秋?青羊區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．6．(2023?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）A．4 B．4 C．8 D．87．(2023?蘇州模擬）如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點，AE與DF交于點P．則下列結(jié)論不成立的是（）A．AE＝DF B．PC＝PD C．AE⊥DF D．S△ADP＝S四邊形PFBE8．(2023春?東平縣校級月考）如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE＝AF，過點E作EG∥AD交CD于點G，過點F作FH∥AB交BC于點H，EG與FH交于點O，當四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12時，AE的值為（）A．5.5 B．4 C．2 D．69．(2023春?新羅區(qū)校級月考）如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上（E不與A、B重合），連接EF、CF，則下列結(jié)論中正確個數(shù)是（）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4 B．3 C．2 D．110．(2023秋?渠縣校級期末）如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE＝BC，P為CE上任一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．(2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD上一點，2AM＝3MD，點E、F分別是BM、CM的中點，若EF＝5，則AM的長為．13．(2023秋?錦江區(qū)期末）小穎將能夠活動的菱形學具活動成為圖1所示形狀，并測得AC＝5，∠B＝60°，接著，她又將這個學具活動成為圖2所示正方形，此時A'C'的長為．14．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于．15．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，．點D為邊AB上一個動點，作DE⊥BC、DF⊥AC，垂足為E、F，連結(jié)EF．則EF長度的最小值為．16．(2023秋?平桂區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于點E，E是BC的中點，則AG的長為．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩個點，且BE＝DF．（1）求證：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度數(shù)．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，點F在BC的延長線上，且BE＝EF．（1）求證：DE＝EF；（2）若BE＝3，求DF的長．19．(2023秋?平遙縣期末）如圖，已知平行四邊形ABCD中，延長AB至點E，使BE＝AB，連接BD和CE．（1）求證：△DAB≌△CBE（2）請你給圖中平行四邊形ABCD補充適當?shù)臈l件，使四邊形DBEC成為菱形；請結(jié)合補充條件證明；20．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是AD上一點，連接EO并延長，交BC于點F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．21．(2023?蘇州模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）①對角線AC，BD滿足時，四邊形DEBF是矩形；②對角線AC，BD滿足時，四邊形DEBF是菱形．22．(2023春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE、BF相交于點P，并且AE＝BF．（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．23．(2023春?梅江區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)，相向而行，速度均為2cm/s，運動時間為t（0≤t≤5）秒．（1）若G、H分別是AB、DC的中點，且t≠2.5，求證：以E、G、F、H為頂點的四邊形始終是平行四邊形．（2）在（1）的條件下，當t為何值時，以E、G、F、H為頂點的四邊形為矩形？（3）若G、H分別是折線A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的動點，分別從A、C開始，與E、F相同的速度同時出發(fā)，當t為何值時，以E、G、F、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】第18章平行四邊形單元測試（培優(yōu)壓軸卷，八下人教）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?撫遠市校級期末）下列說法中，正確的是（）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等的平行四邊形是矩形【分析】根據(jù)正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定進行逐一判斷即可．【解答】解：A、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故A選項錯誤，不符合題意；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項錯誤，不符合題意；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故C選項錯誤，不符合題意；D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故D選項正確，符合題意；故選：D．2．(2023秋?泰山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、由AB＝CD，AO＝CO不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B符合題意；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：B．3．(2023秋?深圳期末）要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是（）A．測量四邊形畫框的兩個角是否為90° B．測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分 C．測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等 D．測量四邊形畫框的四邊是否相等【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、測量四邊形畫框的兩個角是否為90°，不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分，能判定為矩形，故選項B符合題意；C、測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等，能判定為平行四邊形，不能判定是否為矩形，故選項C不符合題意；D、測量四邊形畫框的四邊是否相等，能判定為菱形，故選項D不符合題意；故選：B．4．(2023秋?任城區(qū)期末）已知，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）cm．A．11 B．22 C．20 D．20或22【分析】設(shè)∠A的平分線交BC于點E，可證明AB＝EB，再分兩種情況討論，一是EB＝4cm，EC＝3cm，則AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm時，則AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分別求出平行四邊形ABCD的周長即可．【解答】解：設(shè)∠A的平分線交BC于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，當EB＝4cm，EC＝3cm時，如圖1，則AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；當EB＝3cm，EC＝4cm時，如圖2，則AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），∴平行四邊形ABCD的周長為22cm或20cm，故選：D．5．(2023秋?青羊區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面積＝對角線積的一半可求面積，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，對角線AC、BD交于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面積＝×6×8＝24，∴AH＝，故選：C．6．(2023?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）A．4 B．4 C．8 D．8【分析】在Rt△BDH中先求得BD的長，根據(jù)菱形面積公式求得AC長，再根據(jù)勾股定理求得CD長．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故選C．7．(2023?蘇州模擬）如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點，AE與DF交于點P．則下列結(jié)論不成立的是（）A．AE＝DF B．PC＝PD C．AE⊥DF D．S△ADP＝S四邊形PFBE【分析】先利用SAS證明△AFD≌△BEA即可得到AE＝DF，∠FDA＝∠EAB，S△AFD＝S△BEA進而推出∠EAB+∠AFD＝90°，S△ADP＝S四邊形PFBE，即可判斷A、C、D，而B無法證明即成立，由此即可得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點，∴AF＝BE，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴AE＝DF，選項A正確，不符合題意；∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，∴∠APF＝90°，AE⊥DF，選項C正確，不符合題意：由△AFD≌△BEA得S△AFD＝S△BEA，∴S△AFD﹣S△APF＝S△BEA﹣S△APF，即S△ADP＝S四邊形PFBE，選項D正確：只有選項B無法證明其成立，故選：B．8．(2023春?東平縣校級月考）如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE＝AF，過點E作EG∥AD交CD于點G，過點F作FH∥AB交BC于點H，EG與FH交于點O，當四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12時，AE的值為（）A．5.5 B．4 C．2 D．6【分析】由菱形的性質(zhì)得AD∥BC，AB∥CD，推出平行四邊形ABHF、AEGD、GCHO，得AF＝FO＝OE＝AE，OH＝CH＝GC＝GO，再證四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，F(xiàn)H∥AB，∴四邊形AEOF與四邊形CGOH是平行四邊形，∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，∵AE＝AF，∴OE＝OF＝AE＝AF，∵AE＝AF，∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，∴四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，∵四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12，∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，解得：AE＝5.5，故選：A．9．(2023春?新羅區(qū)校級月考）如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上（E不與A、B重合），連接EF、CF，則下列結(jié)論中正確個數(shù)是（）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4 B．3 C．2 D．1【分析】延長EF，交CD延長線于M，分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF，得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進而得出答案．【解答】解：∵F是AD的中點，∴AF＝FD，∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正確；如圖，延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點，∴AF＝FD，在△AEF和△DMF中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EM＝FE，故②正確；∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，∵△AEF≌△DMF，∴S△AEF＝S△DMF，∴S△ECM＝S四邊形AECD，∵S△ABC＜S四邊形AECD，故S△ABC＜2S△CEF；，∵S△BEC＜S△ABC，∴S△BEC＜2S△CEF；故③成立；設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正確．正確的有①②③，故選：B．10．(2023秋?渠縣校級期末）如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE＝BC，P為CE上任一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值是（）A． B． C． D．【分析】連接AC，PB，AC交BD于O，根據(jù)S△BCE＝S△BPC+S△BPE，從而BE?OC＝BE?PR+，進一步得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AC，PB，AC交BD于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BC＝，∴OC＝AC＝，∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE，∴BE?OC＝BE?PR+，∵BC＝BE，∴BE?OC＝BE?PR+BE?PQ，∴PR+PQ＝OC＝，故選：A．二．填空題（共6小題）11．(2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長是40cm，對角線AC為10cm，則菱形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)分別為60°，120°．【分析】證明△ACD是等邊三角形，則∠D＝60°，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝＝10（cm），AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等邊三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，故答案為：60°，120°．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD上一點，2AM＝3MD，點E、F分別是BM、CM的中點，若EF＝5，則AM的長為6．【分析】先證EF是△BCM的中位線，得出EF＝BC，則BC＝10，再由平行四邊形的性質(zhì)得AD＝BC＝10，然后由2AM＝3DM，推出AD＝AM，即可得出答案．【解答】解：∵點E、F分別是BM、CM中點，∴EF是△BCM的中位線，∴EF＝BC，∴BC＝2EF＝2×5＝10，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝10，∵2AM＝3DM，∴DM＝AM，∴AD＝AM+DM＝AM+AM＝AM，∴AM＝10，∴AM＝6，故答案為：6．13．(2023秋?錦江區(qū)期末）小穎將能夠活動的菱形學具活動成為圖1所示形狀，并測得AC＝5，∠B＝60°，接著，她又將這個學具活動成為圖2所示正方形，此時A'C'的長為5．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB＝BC，求出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝BC＝AC＝5，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，再根據(jù)勾股定理求出A′C′即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AC＝5，∴AB＝BC＝5，∵四邊形A′B′C′D′為正方形，∴∠A′B′C′＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，∴A′C′＝＝5，故答案為：5．14．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD的周長為20，面積為24，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，則PE+PF等于4.8．【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，進而利用三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為40，面積為24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，∵分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，∴×AB×PE+×PF×AD＝12，∴×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝4.8．故答案為：4.8．15．(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，．點D為邊AB上一個動點，作DE⊥BC、DF⊥AC，垂足為E、F，連結(jié)EF．則EF長度的最小值為．【分析】解直角三角形求出AC和AB，求出四邊形CFDE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CD＝EF，當CD⊥AB時，CD有最小值，此時EF有最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出CD長幾顆．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，，∴AC＝＝2，AB＝2AC＝4，連接CD，∵DF⊥AC，∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，當CD⊥AB時，CD長最小，此時EF有最小值，∵S△ACB＝＝，∴＝CD，∴CD＝，∴EF長度的最小值是，故答案為：．16．(2023秋?平桂區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于點E，E是BC的中點，則AG的長為．【分析】過E作EH⊥AG于H，連接EG，根據(jù)矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過E作EH⊥AG于H，連接EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AE平分∠BAG交BC于點E，∴BE＝EH，在Rt△ABE與Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AH＝AB＝8，∵E是BC的中點，∴BE＝CE，∴EH＝CE，在Rt△EHG與Rt△ECG中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴GH＝CG＝，∴AG＝AH+GH＝8+＝，故答案為：．三．解答題（共7小題）17．(2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩個點，且BE＝DF．（1）求證：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）由（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等推知：∠AEB＝∠DFC＝140°，則∠DEA＝40°；然后根據(jù)等腰△ADE的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵BE＝DF，在△ABE與△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF；（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，則∠AEB＝∠DFC＝140°．∴∠DEA＝40°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠DEA＝40°．∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，點F在BC的延長線上，且BE＝EF．（1）求證：DE＝EF；（2）若BE＝3，求DF的長．【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形證明AB＝CB＝AD＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，即可證明△BCE≌△DCE，得BE＝DE，而BE＝EF，所以DE＝EF；（2）先證明∠DCF＝90°，∠CFE＝∠CDE＝∠CBE，則∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝90°，得∠DEF＝90°，即可根據(jù)勾股定理求出DF的長．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)EF交CD于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BAC＝45°，∠DCE＝∠DAC＝45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴BE＝DE，∵BE＝EF，∴DE＝EF．（2）解：∵∠CBE＝∠CDE，∠CBE＝∠CFE，∴∠CDE＝∠CFE，∵∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DGE＝∠FGC，∴∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝90°，∴∠DEF＝90°，∵BE＝EF＝DE＝3，∴DF＝＝＝3，∴DF的長是3．19．(2023秋?平遙縣期末）如圖，已知平行四邊形ABCD中，延長AB至點E，使BE＝AB，連接BD和CE．（1）求證：△DAB≌△CBE（2）請你給圖中平行四邊形ABCD補充適當?shù)臈l件，使四邊形DBEC成為菱形；請結(jié)合補充條件證明；【分析】（1）由“SAS”可證△DAB≌△CBE；（2）先證四邊形DBEC是平行四邊形，通過證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝AB＝BE，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CBE＝∠DAB，在△DAB和△CBE中，，∴△DAB≌△CBE（SAS）；（2）補充條件為：AB＝AD且∠A＝60°．證明：∵平行四邊形ABCD，∴DC∥BE，DC＝AB＝BE，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∵AB＝AD且∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD，又∵BE＝AB，∴BD＝BE，∴平行四邊形DBEC是菱形．20．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是AD上一點，連接EO并延長，交BC于點F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．【分析】（1）由“AAS”證△AOE≌△COF，得OF＝OE，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再證CE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OE＝AO＝，則EF＝2OE＝2，由菱形面積公式即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE＝AO＝，∴EF＝2OE＝2，∴四邊形AFCE的面積＝AC×EF＝×2×2＝2．21．(2023?蘇州模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）①對角線AC，BD滿足AC＝2BD時，四邊形DEBF是矩形；②對角線AC，BD滿足AC⊥BD時，四邊形DEBF是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD，OA＝OC，證出OE＝OF，那么兩組對角線互相平分，得出四邊形DEBF是平行四邊形；（2）①由平行四邊形對角線相等即可證明四邊形ABCD是矩形；②由對角線互相垂直且平分即可證明．【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵點E、F分別為OA、OC的中點，∴，，∴OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．（2）解：①當AC＝2BD時，平行四邊形DEBF是矩形；理由如下：∵AC＝2BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴平行四邊形DEBF是矩形；故答案為：AC＝2BD．②當AC⊥BD時，平行四邊形DEBF是菱形；理由如下：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD⊥EF，∴平行四邊形DEBF是菱形，故答案為：AC⊥BD．22．(2023春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE、BF相交于點P，并且AE＝BF．（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），四邊形FMNP是否能否成為正方形？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，結(jié)合AE＝BF，證明△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝10，然后根據(jù)三角形的面積即可解決問題；（3）證明△BAP≌△ADN（ASA），可得AN＝BP，AP＝DN，由AE＝BF，可得EN＝PF，根據(jù)點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），可得P、E不重合，所以PN≠PF，進而可以解決問題．【解答】解：（1）AE⊥BF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴AE⊥BF；（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝10，∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BP，∴8×6＝10BP，∴BP＝4.8，∴BP的長度為4.8；（3）