2023-2024學年廣東省清遠市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題(含解析)

2023-2024學年廣東省清遠市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知數(shù)列1,-應(yīng),行,-2,石，…，則該數(shù)列的第200項為（）

A.1072B.-10&C.-1073D.1073

【正確答案】B

【分析】根據(jù)所給數(shù)列歸納通項公式為從而得解.

【詳解】由題可得該數(shù)列的通項公式為?！?（-1）向戰(zhàn)，

所以々00=（T嚴#而=-10逝.

故選：B.

2.已知等軸雙曲線C的焦距為12,則C的實軸長為（）

A.372B.672C.126D.6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的焦距得到c=6,根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線得到a=6,然后利用

/+〃=c2歹IJ方程得至IJ,即可得到實軸長.

【詳解】因為2c=12,所以c=6.因為片6,所以2*=d=36,所以。=3四,故實軸長為

6&.

故選：B.

3.已知橢圓C：二+上=1的離心率為更，則C的長軸長為（）

mm+62

A.872B.472C.272D.4

【正確答案】B

【分析】直接利用橢圓的標準方程性質(zhì)和離心率的定義即可求解.

【詳解】依題意，因為橢圓C的離心率為所以竺旭=3,得機=2,

2y/m+62

故長軸長為2J〃z+6=4行.

故選：B.

4.已知數(shù)列｛““｝滿足。“=揄1（券+：）,其前〃項和為5,,,貝1」52竣=（）

A.-立B.--C.上&

222

【正確答案】D

【分析】求出數(shù)列的周期，從而利用周期進行求和.

【詳解】當〃=44+1,%eN時，an-sinf2AK+—'l=—^-

一in。也,

當〃=4〃+2,左￡14時，a=sin2左兀+兀+—

nI4,42

當〃=44+3,左￡N時，an-sin（2%7c+—+巴］=一cos—=-，

“I24）42

當N=4左+4,keN時，an=sin（2%兀+2TT+?）=sin；=,

所以｛《｝是周期為4的周期數(shù)列，且邑=0,所以反。22=50554+q+%=0.

故選：D

5.在三棱錐尸-Z8C中，M是平面/8C上一點，且5p/=fp，+2尸￡+3Md，則f=()

A.1B.2C.3D.-2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)四點共面的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】^^)5PM=tPA+2PB+3MC=tPA+2PB+3(PC-PM)，

.../f]—3—

所以8PM=tPA+2PB+3PC>即PM++gPC,

848

/13

因為M是平面48C上一點，所以:+:+;=1，所以f=3.

故選：C

6.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S”，若[■=：,則稱=()

4341

A.—B.43C.-D.41

77

【正確答案】A

【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)工,S2“-S〃,§3〃-$2〃成等比數(shù)列即可求解.

【詳解】設(shè)星=》，則$6=7%,

因為｛4｝為等比數(shù)歹IJ,

所以M，邑-$3，$9-Se仍成等比數(shù)列.

—S：7x—x

因為=6,所以S9-S6=36X,

X

所以Sg=43x,故邑=竺

乂s67

故選：A.

7.若過點尸（2,4）且斜率為左的直線/與曲線有且只有一個交點，則實數(shù)*的值

不可能是（）

344

A.-B.-C.-D.2

453

【正確答案】B

【分析】根據(jù)半圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解，然后根據(jù)圖象即可求解

【詳解】如圖，

曲線y=67■即/+/=4（卜*0）表示以。為圓心，2為半徑的上半圓,

\-2k+4\

因為直線1：y=k（x-2）+4即履一夕_2/+4=0與半圓相切，所以=2,解得人"

J/+1

4-0

因為P(2,4),A(-2,0),所以如=1,

2-(-2)

_____Q

又直線/與曲線y=J匚7有且只有一個交點，所以⑥”或

所以實數(shù)左的取值范圍是（l，+s）u{1}

故選：B

8.已知數(shù)列僅〃}的前〃項和為S“，q=2且滿足$用=2$“+2""，若存在實數(shù)人使不等式

4“〃工-19）S〃對任意〃WN*恒成立，貝！U的最大值為（）

70

A.-24B.-18D.

T

【正確答案】A

【分析】先通過遞推公式5向=25?+2"+|求出S,,的通項公式，再通過％與S”的關(guān)系求出的

通項公式，代入不等式見對4(〃-19)，即可表達出4關(guān)于〃的表達式，再利用作差法即可求

出2的最大值.

【詳解】因為5e=25,+2向，所以黑-*=1.因為q=2,

所以｛柒｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以我="，所以S,=〃2，

所以《,=，-S.T=〃-2"-(〃7)2I=(〃+1>2"T(〃=1也滿足).

因為久4(〃-19電,所以4〃+l)-2"T4(〃-19)-〃2‘，

即彳<皿也令辿辿，

〃+1v7〃+1

/(〃+1)-&)=2(〃+1)(〃/8)_2〃(〃一19)

〃+2n+1

2(/+3〃-18)2(〃-3)(〃+6)

(〃+1)(“+2)(n+l)(n+2)，

所以/⑴>/(2)>〃3)=〃4)</(5)<…，

所以/(嘰“=〃3)=〃4)=-24,

故2的最大值為-24.

故選：A.

二、多選題

9.已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，4/+。3+。5=66,°2+〃4+〃6=57,則()

A.｛加｝的公差為-2B.｛〃〃｝的通項公式為m=31-3〃

C.｛a〃｝的前〃項和為汽吆-D.｛|訓｝的前50項和為2575

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到％=22,4=19,然后求公差，即可判斷A選項；根據(jù)

%=22,"=-3得到％=28,然后求通項即可判斷B選項；利用等差數(shù)列求和公式得到S”即

可判斷C選項；根據(jù)”,,=31-3”得到當〃>10時，an<0,即可得到｛|%|｝的前50項和為

+2幾，然后代入求和即可判斷D選項.

【詳解】設(shè)｛““｝的公差為d,前〃項和為S,，因為4+。3+牝=3/=66,%+&+《=34=57,

所以4=22,4=19,所以d=一3,故A錯.

因為q=%-2d=28,所以勺=28-3（〃-1）=31-3〃，故B正確，

（28+31-3沙二如￡,故C正確，

"22

當">10時，a?<0,所以｛㈤｝的前50項和為

0”3X502-59X50、590-3x10?.…拄

-S,Jnu+25,,I.V=-------2------1-2x-----2------2565,故D錯.

故選：BC.

10.已知直線4：〃a+3尸5=0與直線/2：5彳+（〃?-2）y5=0,則下列選項正確的是（）

3

A.右IJk，則朋=-二

4

B.若〃〃2,則m=-3

C.4被圓f+V=9截得的弦長的最小值為4后

D.若圓/+/=4上有四個點到4的距離為1,則加e（T,4）

【正確答案】BC

【分析】A選項，由直線垂直列出方程，求出加=5：B選項，由直線平行列出方程，求出〃?

的值：C選項，求出直線4過定點”Q,0）,確定當直線4與/。垂直時，截得的弦長最短，

求出最小值；D選項，數(shù)形結(jié)合得到圓心。（0,0）到人的距離小于1,列出不等式，求出m的

取值范圍.

【詳解】若則5機+3（機-2）=0,解得故A不正確；

若〃4,貝心”（〃7—2）—15=0,解得加=-3或加=5.

當加=5時，4,4重合，當機=-3時，符合題意，故B正確.

因為直線4過定點/Q，0），/+丁=9的圓心為。（0,0）,|/。|=1,

當直線4與垂直時，即當機=2時，，2：X=1被圓f+y2=9截得的弦長最短，最小值為

2乂打=4形，故C正確.

因為圓x'+V=4的圓心0(0,0),半徑為2,

x2+/=4上有四個點到4的距離為1,所以圓心0(0,0)到4的距離小于1,

|-5|

由/,＜1,解得機＞4或加＜-4,故D不正確.

Vw+9

故選：BC

TT

11.如圖，在四棱錐P-48CD中，P4_L平面/BCD,AB//CD,ZABC=-,

2

AB=P4=；CD=2,8c=4,"為尸。的中點，則()

A.BM1PC

B.異面直線而與Z。所成角的余弦值為畫

10

C.直線與平面尸8c所成角的正弦值為立

7

D.點M到直線8c的距離為布

【正確答案】ACD

【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)題意求出點的坐標，利用空間向量的方法逐項分析即可

求解.

【詳解】過A作/E_LCD,垂足為E,則?！?2,以A為坐標原點，分別以/E,AB,AP

所在直線為x,N,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,2,0),C(4,2,0),3(4,-2,0),

mO,2),M(2,-l,l).則8M=(2,-3,1),PC=(4,2,-2),8c=(4,0,0),BP=(0,-2,2),

AD=(4,-2,0).

[p

因為8A/*C=2x4+(-3)x2+lx(-2)=0,故選項A正確;

2x4+(-3)x(-2)+lx0_M

因為cos<BM,AD>=

BM714x2^10，

所以直線■與ZD所成角的余弦值為畫，故選項B錯誤;

10

設(shè)平面P5C的法向量為m=(x,y,z),

八八

(nrBC=4x=0八

則<XT,令>=1,得m=(0,l,l).

\jn-BP=-2歹+2z=0

設(shè)直線BM與平面PBC所成角為&,則sina=|cos<BM^>\=BM?"

7

所以直線BM與平面PBC所成角的正弦值為亙，故選項C正確:

設(shè)點〃到直線3C的距離為d

即點/到直線8c的距離為布，故選項D正確,

故選,ACD

12.如圖，圓錐P。的軸截面處8為直角三角形，E是其母線9的中點.若平面a過點E,

且平面a,則平面a與圓錐側(cè)面的交線CEO是以E為頂點的拋物線的一部分，設(shè)此拋

物線的焦點為尸，且CF=3.記的中點為M,點N在曲線CEO上，則()

A.圓錐尸。的母線長為4

B.圓錐底面半徑為20

C.建立適當坐標系，該拋物線的方程可能為產(chǎn)=6x

D.|MN|+|N/|的最小值為3

【正確答案】ABD

【分析】設(shè)圓錐P0的母線以=2a,根據(jù)圓錐的軸截面為直角三角形得到底面半徑為近a,

然后以E為原點，E。所在直線為x軸建立平面直角坐標系，得到C(a,-&a),然后利用

拋物線的定義和點C在拋物線上列方程得到“=p=2,即可判斷ABC選項；根據(jù)幾何知識得

到當平行于x軸時，|MN|+|A四取得最小值，然后得到最小值即可判斷D選項.

【詳解】設(shè)圓錐P0的母線21=2”，則底面半徑為Jia.

以E為原點，E0所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則C(a,-&a),設(shè)拋

物線的方程為V=2px(p>0),

因為|CF|=a+曰=3,2a2=2pa,所以a=p=2,所以圓錐尸。的母線長為4,底面半徑為2起，

故A,B正確.

因為該拋物線的方程為產(chǎn)=4x,A/(2,叵),H\NF\=xN+\,所以|加川+|版|=附川+涮+1.當

MN平行于x軸時，|MN|+|N/|取得最小值，最小值為x/+l=3,故C不正確，D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知平面a內(nèi)一點尸(9,8,5),點0(6,6,6)在平面a外,若a的一個法向量為；二(2,1,1),

則。到平面a的距離為.

【正確答案】殛##［指

66

【分析】求出尸g：(-3,-2,l),得到點到平面的距離公式求出答案.

【詳解】因為尸61(-3,-2,1),

所以。到平面a的距離為罕=七/陪=房=子.

故施

6

14.已知兩圓C,:(x-2)2+3-6)2=9與c2+/+2x-4y-3〃?=0外離，則整數(shù)m的取值

是.

【正確答案】-1

【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓外離可知圓心距大于兩半徑之和，即可解出

“7的取值范圍，再取整數(shù)即可得到結(jié)果.

【詳解】因為圓G的圓心為(2,6),半徑4=3

圓C?的標準方程為。2：(》+1)2+3-2)2=5+3切，所以5+3加＞0,即機

圓的圓心為(T,2),半徑4=，5+3"?

兩圓圓心的距離為J(2+l＞+(6-2)2=5,

由兩圓外離可得。+々＜5,即3+j5+3m＜5,解得切＜-；

所以，

33

故整數(shù)機的取值為-1.

故-1

15.足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾

米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有

四個點尸，A,B,C,滿足尸/=2,平面N8C,AC1BC,若三棱錐尸一/8C的體積

為2,則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為

【正確答案】16兀

【分析】匕，.ABC=2,所以4c-CB=6,由基本不等式和勾股定理可求得球體半徑的最小值,

再求最小表面積.

【詳解】如圖所示，取N8的中點。，過。作OW/R4,且。。=；尸4=1,

因為PZ1平面/8C,所以平面N8C.

因為NCIBC,所以。力=。8=。。，所以。4=O8=OC=O尸，

所以。是三棱錐尸-/8C外接球的球心，0/為球的半徑.

因為/所以NCCB=6.

因為/82=/C2+5C2N2/C-8C=12，所以球的半徑

/?=04=小。2+（；回[J+（可=2,

當且僅當/C=8C=C時，等號成立，此時48=20，所以《.=2,故所求表面積的最小

值為4兀7?2=1671.

四、雙空題

16.一小孩玩拋硬幣跳格子游戲，規(guī)則如下：拋一枚硬幣，若正面朝上，往前跳兩格，若反

面朝上，往前跳一格.記跳到第〃格可能有?！胺N情況，若％=1,｛。,,｝的前"項和為S,,則

，=，品=?

【正確答案】34231

（分析]由題意得出遞推公式q+2=??+a,向，逐個代入依次求解出q至％。，即可得出510.

【詳解】根據(jù)題意，跳到第〃+2格有兩種可能，一種是從第N+1格跳過來，有用種方式，

另一種是從第〃格跳過來，有。，種方式，所以4.2=4+%…因為q=1。=2,

所以a?=3,%=5,。$=8,%=13,%=2l,<zg=34,%==89,Sl0—231.

故34；231

五、解答題

17.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為國，且$6=2*,a2n=2an-\.

（1）求｛4｝的通項公式.

（2）令。2,數(shù)列出｝的前〃項和為Z-證明：Tn<\.

【正確答案】⑴〉=2〃+l

（2）證明見解析

【分析】（1）由等差數(shù)列通項公式和求和公式列出方程組，求出首項和公差，得到通項公式;

（2）化簡得到—11x,裂項相消法求和，證明出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

6q+15d=2（4%+6d）

川q+（2〃-l）d=2[q+（〃-],]_[，

解得q=3,d=2,因此=3+2（〃-l）=2〃+l；

(2)證明：因為a“=2〃+l,

所以一(2〃-1)2(2〃+1/一豆(2〃+了，

團"11111111111

所以北司y+3一學+年百聲可]飛而

18.已知/8C的頂點分別為/(-1,7),國-4,-2)4(3,-1).

(1)求/8C外接圓的方程；

(2)設(shè)尸是直線/：4》-3了-25=0上一動點，過點P作/BC外接圓的一條切線，切點為。，

求|尸。|最小值及點P的坐標.

【正確答案】⑴f+/+2X-4歹-20=0

⑵伊?！?灰，「停

【分析】(1)設(shè)出圓的一般方程將4B,C三點坐標代入，利用待定系數(shù)法即可求得N8C外

接圓的方程；(2)根據(jù)切線長公式可知，當P與圓心之間的距離最小時，切線長歸。|最小，

根據(jù)點到直線距離公式和兩直線垂直關(guān)系即可求得最小值及點P的坐標.

【詳解】(1)設(shè)/8C外接圓的方程為/+/+以+￡>+尸=0,

[50-D+7E+F=0

將A,B,C分別代入圓方程可得20-32E+巳=0,解得。=2,E=-4,尸=-20,

[10+3O-E+尸=0

所以A4BC外接圓的方程為f+/+2x—4歹一20=0.

(2)/BC外接圓(x+l)2+(y-2)2=25的圓心為“(7,2),半徑R=5；

因為|尸。|=曬『-九=曬f-25,所以要使|尸。|最小，只需|尸加|最小即可，

當PM_L/時，|尸訓最小，所以伊鳳』一片一：；；2目=7,

4-(-3)

所以|尸。3=，2-25=2#；

--2=3

設(shè)P（x（）,No）,貝?卜與+14:

4x0-3yQ-25=0

解得看=?,%=_?,

即點P的坐標為

19.如圖，在四棱柱458-小歷C/。/中,側(cè)棱4/_L平面/8cAB//DC,ABLAD,

AD=CD=2,AA!=AB=4,E為棱/小的中點.

（1）證明：BO.C/E.

（2）設(shè)（0<2<1）,若。到平面防反的距離為半，求九

【正確答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）建立空間直角坐標系，用向量法證明直線垂直；

（2）用空間向量法求點面距，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)值.

【詳解】（1）以4為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所

示的空間直角坐標系，

則8(0,0,4),￡>(2,0,0),C(2,0,2),￡(0,2,0),”2,4,2),5,(0,4,4),

所以8d=(2,0,-2),EC；=(2,2,2),

所以?EQ=2x2+0+2x(-2)=0,

所以Bd'EC；,故8C_LGE；

(2)因為的=(0,4,0),"=(-2,2,-2),

所以或=8d+CM=庭+4CE=(2-2/L,22,-2-24)，

設(shè)平面BBiM的法向量為"=(x,y,z),

n-BBj=4y=0一

則〈XT-，令x=l+九則〃=(1+40,1-㈤，

n,BM=(2-2A)x+2Ay一(24+2)z=0

因為4C；=(2,0,-2),

卜總;I'4Z2亞

所以G到平面BB,M的距離d=Mp=,=等，

|?|V2+2225

解得彳=；.

20.已知數(shù)列｛/｝的前〃項和為S.，滿足3s“=2%-1,也｝是以外為首項，且公差不為0

的等差數(shù)列，由也，與成等比數(shù)列.

⑴求｛叫，也｝的通項公式；

(2)令c”=a?bn,求數(shù)列出,｝的前〃項和T?.

【正確答案】(1)。“=-(一2)"\b"W

(2)看_2-(3〃-4).(-2)”'

1Sfi~1a

【分析】(1)根據(jù)為=；-、、求出一匚=-2,故｛可｝是首項為一1,公比為-2的等比

數(shù)列，求出通項公式，再設(shè)出等差數(shù)列｛〃,｝的公差，列出方程，求出公差，得到通項公式;

(2)求出c“=(3〃-5>(-2)T,錯位相減法求和.

【詳解】(1)因為3s,=所以當〃=1時，3《=2《-1,所以q=-1,

當〃22時，3S”T=2%T—1，

兩式相減可得，3”,=2%-21,所以2=-2,

an-\

所以｛。,,｝是首項為-1,公比為-2的等比數(shù)列，

所以。“=-(-2)"一

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為乩

因為A=%=—1,所以3=-1+dyby=—1+24,4=—1+6d.

因為囪也力7成等比數(shù)列，所以(-1+21)2=(-l+d)(-l+6t/),

3

解得：4=0(舍去)或介二，

2

335

所以a=_[+萬("-1)=5”一]；

(2)g=。也=(3〃-5卜(-2尸

故7；=(-2)x(-21+1x(-2)°+4x(-2)++(3“-5)?(-2)1"2,

所以-27；=(-2)x(-2)°+lx(-2)+4x(-2)2++(3〃-5).(-2廣’，

兩式相減得31=1+3x(2)°+(-2)+(-2)2++(-2廣2/(3〃-5)?(-2)&

=1+3乂斗滬(31)(2廣=27?4)(2

所以7>2-(3〃一：>(-2)'1

B+c

21.在△ABC中，a,b,c分別是角4B,C所對的邊，csin----=sinC,且a=l.

2

⑴求4

(2)若N8=/C,D,E兩點分別在邊8C,AB1.,且CD=DE,求8的最小值.

【正確答案】(1)；

(2)20-3

【分析】（1）利用正弦定理進行邊角互換，然后利用三角形內(nèi)角和、誘導公式和二倍角公式

A1

得到sin即可得到A；

7T

（2）根據(jù)得到△NBC為等邊三角形，然后在△E9E中利用余弦定理得到

CD=2-BE+-^---3,最后利用基本不等式求最值即可.

2—BE

R+「工所,

【詳解】⑴因為csin丁EC,且g,所以csin

2

B+C

所以sinCsin=sinZsinC.

2

兀4

因為CW(0,兀)，sinC^O,B+C=n-A,所以sin(s-5)=sin4,即cos—=sinJ,

所以cos—=2sin—cos—.

222

因為塔￡(0,'|)，所以cos]?邦，所以sin1=(,所以慨=t，即

IT

因為“B=ZC,A=~,所以△NBC為等邊三角形，AC=BC=AB=1.

如圖，在△8OE中，BD=\-CD,DE=CD,

r+,4十一XH陽oBD-+BE--DE'BE1+k\-ciy)--CD1i

由余弦定理得cosB=----------------

2BDBE2BEC\-CD)一3

所以BE2+{1-CD)2-CD2=BE(l-CD),

所以力的-的+1=(2-困2-3(2-阻+3=2以+」__3

2-BE2-BE2-BE

3

因為OWBEW1,所以1<2-BE<2,所以CD=2-BE+――-3>2百-3,

2-BE

3

當且僅當2-8￡>丁=，即8E=2-百時，等號成立，

2-BE

所以CD的最小值為2百-3.

22.法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學》對世界各國