青海省百所名校2024屆高三下學(xué)期二?？荚?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（含解析）

高三數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.6 B.-6 C.8 D.-83.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.4.若圓M：（）與雙曲線C：的漸近線相切，則（）A.1 B.2 C. D.5.2017年至2022年某省年生產(chǎn)總量及其增長(zhǎng)速度如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加B.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元C.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度逐年降低D.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的中位數(shù)為7.6%6.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞增數(shù)列，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.7.如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（）A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中，，，設(shè)，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.89.已知函數(shù)則不等式的解集為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A. B. C. D.11.如圖，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，且滿足，，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①為奇函數(shù)；②；③：④在上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若x，y滿足約束條件則的最大值為_____________.14.青團(tuán)是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款青團(tuán)禮盒，該禮盒剛好可以裝3個(gè)青團(tuán)，如圖所示.若將豆沙餡、蓮蓉餡、芝麻餡的青團(tuán)各1個(gè)，隨機(jī)放入該禮盒中，則豆沙餡和蓮蓉餡的青團(tuán)相鄰的概率為_____________.15.已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，過作的垂線，與y軸交于點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為____________.16.已知P是正六邊形邊上任意一點(diǎn)，且，，則__________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分.17.（12分）某企業(yè)近年來的廣告費(fèi)用x（百萬元）與所獲得的利潤(rùn)y（千萬元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.年份20182019202020212022廣告費(fèi)用x/百萬元1.51.61.71.81.9利潤(rùn)y/千萬元1.622.42.53（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程：（2）若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)可獲得的利潤(rùn).參考公式：，.18.（12分）在中，已知，D為上一點(diǎn)，，，且.（1）求的值；（2）求的面積.19.（12分）如圖，在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均相等，，，.（1）證明；⊥平面.（2）若二面角的正弦值20.（12分）已知F是拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且A，B到直線的距離之和等于.（1）求C的方程；（2）若l的斜率大于0，A在第一象限，過F與l垂直的直線和過A與x軸垂直的直線交于點(diǎn)D，且，求l的方程。21.（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線的斜率為.（1）求a的值：（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）寫出及的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).23.［選修4-5；不等式選講］（10分）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則.高三數(shù)學(xué)試卷參考答案（理科）1.B當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，不滿足.所以.2.C，所以復(fù)數(shù)z的虛部為8.3.B因?yàn)闉殇J角，，所以，.4.A雙曲線C的漸近線方程為，不妨取，點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)閳AM與雙曲線C的漸近線相切，所以.5.C2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量逐年增加，A正確.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的極差為億元，B正確.2021年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度比2020年高，C錯(cuò)誤.2017年至2022年該省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的中位數(shù)為7.6%，D正確.6.D結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得解得.7.A由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，.8.B設(shè)的公差為d.因?yàn)椋?，，則，，.因?yàn)?，所以，解?9.A函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，所以在定義域上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，解?10.D當(dāng)時(shí)，.由題意可得，解得.11.D取的中點(diǎn)為F.因?yàn)椋娣e為，所以梯形的高為，則，連接，所以為等邊三角形，點(diǎn)F為梯形外接圓的圓心.連接，在中，根據(jù)余弦定理得，所以.因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)?，所以平?過的中點(diǎn)F作交于點(diǎn)O，則平面，且O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O為外接圓圓心，所以O(shè)為四棱錐外接球球心，所以外接球半徑為，故表面積.12.D令，得，所以.令，得，所以為奇函數(shù)，故①正確.令，得，所以，，故③錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，…，，所以，所以，故②正確.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故④正確.13.2由題意，作出可行域（圖略），數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，最大值為2.14.豆沙餡和蓮蓉餡的青團(tuán)相鄰，則芝麻餡的青團(tuán)不能放在中間，其概率為.15.設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為.令，得，即.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)閨，所以，解得.16.以正六邊形的中心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別交y軸于點(diǎn)G，H，則，，，，，，，.設(shè)，則，，.根據(jù)正六邊形的對(duì)稱性，不妨只研究點(diǎn)P位于y軸的左半部分的情況，分以下四種情形：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，則，，則，不滿足.②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，則，，則，不滿足.③當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，直線的方程為，則，.因?yàn)?，所以，解得或（舍去）?④當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，直線的方程為，則，不滿足.所以當(dāng)時(shí)，，，，，，.17.解：（1），. 2分， 4分， 6分， 7分. 8分故所求的線性回歸方程為. 9分（2）由題可知，到2025年時(shí)廣告費(fèi)用為2.2百萬元，故可預(yù)測(cè)該公司所獲得的利潤(rùn)約為（千萬元）. 12分18.解：（1）在中，，所以. 3分在中，，，所以. 6分故. 8分（2）在中，由余弦定理可得，解得， 10分則. 11分故的面積為. 12分19.（1）證明：設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，，.在中，因?yàn)?，，所以四邊形是正方?因?yàn)?，所以是等腰直角三角形?因?yàn)椋云矫? 4分因?yàn)槠矫?，所?在中，，O為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平? 6分（2）解：設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，，. 7分設(shè)平面的法向量為，則可取. 8分設(shè)平面的法向量為，則可取.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為. 10分，，故二面角的正弦值為. 12分20.解：（1）由題意得C的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線， 1分則A，B到準(zhǔn)線的距離之和等于. 2分因?yàn)椋?，且，?故C的方程為. 4分（2）設(shè)l：（），（），，由得，則 6分所以. 7分設(shè)，由，得，即， 9分所以. 10分由，得，代入，得，即.故l的方程為. 12分21.（1）解：，，解得. 4分（2）證明：結(jié)合（1）可得，即證. 6分設(shè)函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，. 8分設(shè)函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，. 11分所以，得證. 12分22.解：（1），即.，所以，所以的普通方程為（）. 2分，即.因?yàn)?，所以，所以的普通方程為（? 5分（2）聯(lián)立解得或或 8分與交點(diǎn)的