信號與系統(tǒng)：第4講 卷積與LTI系統(tǒng)的時域分析

第四講卷積與LTI系統(tǒng)的時域分析內(nèi)容提要從篩選性質(zhì)到LTI系統(tǒng)的時域分析卷積的運算性質(zhì)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)內(nèi)容提要從篩選性質(zhì)到LTI系統(tǒng)的時域分析卷積的運算性質(zhì)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)為什么要引入信號分解若線性時不變系統(tǒng)的輸入信號由若干基本信號相加而成，那么系統(tǒng)的輸出信號就是由系統(tǒng)對這些基本信號的輸出相加而成。若所有信號都可以表示成某基本信號的加權(quán)組合，那么只需知道LTI系統(tǒng)對該基本信號的輸出，就可以知道系統(tǒng)對所有信號的輸出。信號分解對于線性時不變系統(tǒng)的分析具有重要的意義。單位沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)

單位沖激響應(yīng)與卷積積分時不變性：齊次性：可加性：單位沖激響應(yīng)與卷積積分單位沖激響應(yīng)卷積積分單位沖激響應(yīng)可以唯一地確定LTI系統(tǒng)的特性單位脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)

單位脈沖響應(yīng)與卷積和時不變性：齊次性：可加性：單位沖激響應(yīng)與卷積積分單位脈沖響應(yīng)卷積和單位脈沖響應(yīng)可以唯一地確定LTI系統(tǒng)的特性篩選性質(zhì)任何信號與單位沖激/單位脈沖信號的卷積仍等于該信號本身

恒等系統(tǒng)滿足：幾種重要系統(tǒng)的沖激/脈沖響應(yīng)時移系統(tǒng)：

累加器與積分器：

差分器與微分器：

計算卷積例1.求以下兩個信號的卷積：

計算卷積例2.求以下兩個信號的卷積：內(nèi)容提要從篩選性質(zhì)到LTI系統(tǒng)的時域分析卷積的運算性質(zhì)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)交換律數(shù)學(xué)描述物理意義=分配律數(shù)學(xué)描述物理意義=結(jié)合律數(shù)學(xué)描述物理意義=交換律與結(jié)合律對于由若干線性時不變子系統(tǒng)級聯(lián)而成的系統(tǒng)，總的系統(tǒng)響應(yīng)與級聯(lián)次序無關(guān)。注意：卷積的結(jié)合律不是無條件成立的。時移、微分、積分性質(zhì)時移性質(zhì)微分/差分性質(zhì)積分/求和性質(zhì)卷積運算性質(zhì)的應(yīng)用例1：考慮兩個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)分別為h1[n]=sin8n和h2[n]=anu[n]，|a|<1。這兩個系統(tǒng)按照如下圖所示的方式級聯(lián)。請計算當(dāng)輸入為x[n]=δ[n]-aδ[n-1]時系統(tǒng)的輸出。

卷積運算性質(zhì)的應(yīng)用解：利用卷積運算的交換律和結(jié)合律，有：注意到：因此：卷積運算性質(zhì)的應(yīng)用例2：若一個LTI系統(tǒng)對輸入x(t)=e-5tu(t)的響應(yīng)為y(t)=sint，試確定該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：

內(nèi)容提要從篩選性質(zhì)到LTI系統(tǒng)的時域分析卷積的運算性質(zhì)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)記憶性無記憶系統(tǒng)恒等系統(tǒng)×可逆性如果一個LTI系統(tǒng)是可逆的，那么它就有一個LTI的逆系統(tǒng)系統(tǒng)與其逆系統(tǒng)的級聯(lián)是一恒等系統(tǒng)恒等系統(tǒng)=注意該結(jié)論成立的條件因果性因果系統(tǒng)因果信號充分必要條件穩(wěn)定性一個LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的充分必要條件是：容易驗證：積分器和累加器都不是穩(wěn)定系