6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)同步練習(xí)（含解析）人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES2*24頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES2*24頁6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知函數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．已知函數(shù)，則使得成立的正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，，在上的零點分別為，則的大小順序為（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）.A． B．C． D．6．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．7．設(shè)函數(shù)，記的極小值點為，極大值點為，則（

）A．2 B． C． D．8．函數(shù)有且只有一個零點，則的取值可以是（

）A．2 B．1 C．3 D．二、多選題9．定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若在上單調(diào)遞增，則C．若，則恒成立D．若在上恒成立，則11．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù)B．是函數(shù)的極小值點C．函數(shù)必有個零點D．12．已知，函數(shù)有兩個極值點，則（

）A．B．時，函數(shù)的圖象在處的切線方程為C．為定值D．時，函數(shù)在上的值域是三、填空題13．若對任意實數(shù)，則的最大值為．14．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為.15．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為．四、解答題16．設(shè)全集為，定義域為的函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)“函數(shù)組”，當n取中不同的數(shù)值時可以得到不同的函數(shù)．例如：定義域為的函數(shù)，當時，有若存在非空集合滿足當且僅當時，函數(shù)在上存在零點，則稱是上的“跳躍函數(shù)”．(1)設(shè)，若函數(shù)是上的“跳躍函數(shù)”，求集合;(2)設(shè)，若不存在集合使為上的“跳躍函數(shù)”，求所有滿足條件的集合的并集；(3)設(shè)，為上的“跳躍函數(shù)”，．已知，且對任意正整數(shù)n，均有．（i）證明：;（ii）求實數(shù)的最大值，使得對于任意，均有的零點．17．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若函數(shù)有最小值2，求的值.18．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù).(1)若曲線的一條切線方程為，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；(3)若，無零點，求的取值范圍．20．已知函數(shù)，，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求的最小值；(3)設(shè)，討論函數(shù)的零點個數(shù).答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】利用特殊值的函數(shù)值判斷充分性不成立，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和值域，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，從而判斷必要性.【詳解】，，滿足，但，故甲不是乙的充分條件；令，則，故在單調(diào)遞增，即，也即在恒成立，則在恒成立；故當時，，，甲是乙的必要條件.綜上所述，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.故選：B.2．B【分析】分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由題知的定義域為，且，所以為偶函數(shù)．又當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以若成立，則需解得．故選B．3．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理得出，，，再根據(jù)，可得，即可得出答案.【詳解】因為，，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以存在使得，所以，因為，，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增，又因為，又，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以最大，因為，所以，，，又，.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理確定零點所在區(qū)間，區(qū)間的長度越小越好.4．A【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】由得：，即的定義域為；，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．5．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較大小.【詳解】因為在上恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：D.6．B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當時，單調(diào)遞增，且當時，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點B）處切線的傾斜角比（即點A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B7．D【分析】根據(jù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到和的值，代入可得的值.【詳解】由題知函數(shù)的定義域為，，當時，，當時，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，．所以．故選：D．8．B【分析】由題意將原條件轉(zhuǎn)換為的根的個數(shù)之和為1，其中，，從而只需畫出它們的圖象即可通過數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】或，顯然單調(diào)遞增，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，注意到的交點為，而，所以在同一平面直角坐標系中作出的圖象如圖所示，

由圖可知的根的個數(shù)之和為1，當且僅當，對比選項可知的取值可以是1.故選：B.9．CD【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題目所給性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計算即可得.【詳解】令，則，由已知可得，即在上單調(diào)遞減，所以，故，即C?D選項正確.故選：CD.10．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值點求出判斷A；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性求出的范圍判斷B；利用函數(shù)最小值判斷C；利用恒成立的不等式求出的范圍判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為，對于A，，由是函數(shù)的極值點，得，解得，此時，顯然是在上的變號零點，因此，A正確；對于B，在上單調(diào)遞增，則，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，因此，B錯誤；對于C，由，得，，，當時，，遞減，當時，，遞增，因此，而，C錯誤；對于D，，，令，求導(dǎo)得，當且僅當取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，D正確.故選：AD11．BD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)滿足判斷選項AB，再結(jié)合，分，，判斷選項C；再由函數(shù)在上為增函數(shù)判斷選項D.【詳解】因為，所以，因為導(dǎo)函數(shù)滿足，當時，，則，所以是增函數(shù)；當時，，則，所以是減函數(shù)；故A錯誤，B正確；又，則，當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，可能有1個或個零點，故C錯誤；因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，整理得，故D正確；故選：BD12．ABC【分析】選項：由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的方程有兩個根可得；選項：由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，再由點斜式寫出方程即可；選項：由函數(shù)的極值點互為相反數(shù)代入計算可得；選項：由導(dǎo)數(shù)求出極值，再求出區(qū)間端點的值，即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的值域.【詳解】對于A，由題意，當時，，無極值點，當時，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值點，當時，令，得，解得，當，解得或，上單調(diào)遞增，當，解得，上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，是的極小值點，所以當時，函數(shù)有兩個極值點，故正確；對于B，若，則，則，則，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，故正確；對于C，因為，當時，由，得，則，所以為定值，故C正確；對于D，當時，則，則，令，解得或，所以當時，，，，上的值域是，故錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對含參的問題，要注意對參數(shù)的討論；利用導(dǎo)數(shù)求切線方程問題要注意是“在”某處還是“過”某處；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域問題，要注意舍去不在區(qū)間內(nèi)的極值.13．【分析】構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)的取值進行分類討論，在不同情況下，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求得參數(shù)的最大值.【詳解】令，，由題可知，恒成立；，；令，，；當，，故單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，，滿足題意；當，顯然單調(diào)遞增；若，即時，當趨近于正無窮時，趨近于正無窮；故存在，當，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；又，當趨近于正無窮時，趨近于正無窮；故存在，當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增；又，故當，，不滿足題意；若，即，又單調(diào)遞增，故，則單調(diào)遞增，又，故，則單調(diào)遞增，，滿足題意；綜上所述，當時，滿足題意，故的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題的關(guān)鍵是以端點值1處的二階導(dǎo)函數(shù)值的正負為討論的標準，進而在不同情況下考慮函數(shù)單調(diào)性和最值解決問題.14．【分析】條件可轉(zhuǎn)化為方程有兩個根，令，可得函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象可得結(jié)論.【詳解】令，所以.令，，求導(dǎo)可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，令，則有兩個零點等價于函數(shù)的圖象與直線有兩個交點.因為，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．【分析】由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式可得結(jié)論.【詳解】因為，故構(gòu)造函數(shù)，，則當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又不等式，可化為，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.16．(1)(2)(3)（i）證明見解析；（ii）2【分析】（1）將命題等價轉(zhuǎn)化為求使得在上有零點的全體，然后利用當時，的取值范圍是，得到，即可得解；（2）將命題等價轉(zhuǎn)化為求使得在上沒有零點的全體，然后通過分類討論即可解決問題；（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后將（i）等價轉(zhuǎn)化為證明對，在上有零點當且僅當是偶數(shù)，再分類討論證明；之后，先證明在上的零點必定大于，再證明當時，必存在正整數(shù)使得在上有一個滿足的零點，即可解決（ii）.【詳解】（1）根據(jù)題意，所求的為使得在上有零點的全體.由于在上有零點等價于關(guān)于的方程在上有解，注意到當時，的取值范圍是，故關(guān)于的方程在上有解當且僅當，從而所求.（2）根據(jù)題意，不存在集合使為上的“跳躍函數(shù)”，當且僅當對任意的，在上都不存在零點.這表明，全體滿足條件的的并集，就是使得在上不存在零點的全體構(gòu)成的集合.從而我們要求出全部的，使得在上沒有零點，即關(guān)于的方程在上沒有解.該方程在上可等價變形為，然后進一步變形為.設(shè)，則我們要求出全部的，使得在上沒有零點.當時，由于，，故在上必有一個零點，從而在上有零點；當時，由于，，故在上必有一個零點，從而在上有零點；當時，對，我們有：，由于兩個不等號的取等條件分別是和，而這無法同時成立（否則將推出），故此時對都有，從而在上一定沒有零點.綜上，使得在上沒有零點的構(gòu)成的集合為，故所求的集合為.（3）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)，有.當時，有，故結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對成立，即，則有：，故結(jié)論對也成立.綜上，對任意正整數(shù)，有.（i）命題等價于，對，在上有零點當且僅當是偶數(shù)，下面證明該結(jié)論：當為奇數(shù)時，對，有，所以在上沒有零點；當為偶數(shù)時，對，有，而，，從而在上一定存在零點，所以在上一定有零點.綜上，對，在上有零點當且僅當是偶數(shù)，結(jié)論得證.（ii）我們需要求實數(shù)的最大值，使得對于任意，均有的零點.根據(jù)（i）的討論，在上有零點當且僅當是偶數(shù)，所以我們需要求實數(shù)的最大值，使得對于任意，均有的零點.我們現(xiàn)在有，由于當時，有，故在上的零點必定大于.而對任意給定的，我們定義函數(shù)，則.取，則當時，有，這表明在上單調(diào)遞減，所以當時，有，從而.取正整數(shù)，使得，且，則我們有，但我們又有，這表明在上必有一個零點，從而在上必有一個滿足的零點.綜上所述，的最大值是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在（3）的（ii）中，我們先證明在上的零點必定大于，再證明當時，必存在正整數(shù)使得在上有一個滿足的零點，即可得到的最大值是，這是求解最值問題的一個較為有用的論證方法.17．(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點的函數(shù)值，得到答案.【詳解】（1）當時，的定義域為，則，則，由于函數(shù)在點處切線方程為，即.（2）的定義域為，，當時，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.18．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可對進行分類討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負求解，（2）將原不等式進行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，從而可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進行求解.【詳解】（1）由題知的定義域為，．①當時，，則，故單調(diào)遞增．②當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，，且，即．令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以．由題可得在上恒成立．令，則，令，則，可得在上單調(diào)遞減，又，故存在，使得，即，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．易知，由于，故，因此，故，即的取值范圍為．19．(1)(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）由在區(qū)間上為增函數(shù)，可得在內(nèi)恒成立，求出的最小值即可得解；（3）分進行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，設(shè)切點為，因為，所以，解得，因為，，所以，即，所以，

所以，解得；（2）因為，在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以在內(nèi)恒成立，因為，所以，所以，即；（3）因為，，當，即時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以在上無零點，符合題意；當時，令，則，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，所以的最小值為，當，即時，無零點，符合題意；當時，有一個零點，不符合題意；當時，的最小值，因為，所以，使得，不符合題意；綜上所述，當時，，無零點.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)