模擬測試卷03（新高考沖刺卷01）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）含解析

2024年高考押題預(yù)測模擬測試卷03（新高考沖刺卷01）（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．2．已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B．6 C． D．43．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．105．對于角，甲、乙、丙、丁4人有4種不同的判斷，甲：的終邊在直線上，乙：，丙：，?。?，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判斷錯(cuò)誤，則判斷錯(cuò)誤的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．7．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．、、兩兩互斥8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，滿足，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為410．已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且對，都有，定義在上的函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．C． D．為偶函數(shù)11．球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的球面部分稱為球面，定義為經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長度，已知地球半徑為，北極為點(diǎn)N，點(diǎn)P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)，則（

）

A．B．若點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，則C．若點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，則球面的面積D．若，則球面的面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在的展開式中，的系數(shù)為.13．如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．14．將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上個(gè)顏色各不相同的點(diǎn)經(jīng)過次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件”，并將所有滿足“條件”的圖形個(gè)數(shù)記為，則．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知在中，三邊所對的角分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的直徑為4，求的面積．16．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．17．隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀?，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：(1)試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．18．已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)相同，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)存在，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合），直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．19．基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，求數(shù)列的最小項(xiàng)；(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；(3)若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．2024年高考押題預(yù)測模擬測試卷03（新高考沖刺卷01）（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一?選擇題1．已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得集合B,再進(jìn)行補(bǔ)集交集運(yùn)算【解析】由題故，.故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，準(zhǔn)確求得集合B是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2．已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B．6 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)極差和中位數(shù)概念得到關(guān)于的方程，再利用百分位數(shù)的概念即可.【解析】由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，則，這四個(gè)數(shù)為極差為，中位數(shù)為，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，所以，這四個(gè)數(shù)由小到大依次為、、、，因?yàn)?，故這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：A.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.【解析】由換底公式得，，，所以.故選：D.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列中成等差數(shù)列求解即可.【解析】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C5．對于角，甲、乙、丙、丁4人有4種不同的判斷，甲：的終邊在直線上，乙：，丙：，?。?，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判斷錯(cuò)誤，則判斷錯(cuò)誤的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)題意以及象限角和三角恒等變換分析判斷即可得解.【解析】對于甲：為第一象限角或第三象限角，則；對于乙：因?yàn)?，整理得，解得或；對于丙：因?yàn)?，解得；對于?。阂驗(yàn)?，則；若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判斷錯(cuò)誤，可知：甲、乙、丙一定正確，此時(shí)，為第一象限角或第三象限角，可知或，故丁錯(cuò)誤.故選：D.6．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【解析】令，為實(shí)數(shù)由，所以，因此當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：B7．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．、、兩兩互斥【答案】A【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).【解析】依題意，，，，，，B對，，A錯(cuò)；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨(dú)立，C對，由題意可知，事件、、中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對.故選：A.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出，推導(dǎo)出為等邊三角形，求出、，利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【解析】因?yàn)?，則為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，則，所以，為等邊三角形，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.二、多選題9．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，滿足，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】ACD【分析】根據(jù)已知等式，利用換元法轉(zhuǎn)化可判斷A，C，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷B，D.【解析】解：選項(xiàng)A，由，可得，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，當(dāng)時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且對，都有，定義在上的函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．C． D．為偶函數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性判斷AD；利用賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)判斷BC．【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，可得，所以為奇函數(shù)，故A正確；又因?yàn)?，可得，則，可得，所以是以為周期的周期函數(shù)，可得，但沒有足夠條件推出，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，令，則，故C正確；因?yàn)椋瑒t，可得，又因?yàn)?，則，所以為偶函數(shù)，故D正確，故選：ACD．11．球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的球面部分稱為球面，定義為經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長度，已知地球半徑為，北極為點(diǎn)N，點(diǎn)P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)，則（

）

A．B．若點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，則C．若點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，則球面的面積D．若，則球面的面積為【答案】BD【分析】當(dāng)時(shí)，求得，可判定A錯(cuò)誤；求得，得出，可判定B正確；由球心角，結(jié)合球的表面積求得的面積，可判定C錯(cuò)誤；由時(shí)，構(gòu)造正四面體，求得，結(jié)合對稱性，求得球面的面積，可判定D正確.【解析】對于A中，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，可得，所以A不正確；對于B中，當(dāng)點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，可得球心角，此時(shí)，所以B正確；對于C中，當(dāng)點(diǎn)在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，可得球心角，又由球的表面積為，所以的面積為，所以C錯(cuò)誤；對于D中，如圖所示，當(dāng)時(shí)，可得為等邊三角形，構(gòu)造一個(gè)球內(nèi)接正四面體，其中心為，連接交于點(diǎn)，則，為正四面體內(nèi)切球得到半徑，設(shè)正四面體的表面積為，可得，即，可得，即為高的靠近的四等分點(diǎn)，則，由余弦定理可得，解得，根據(jù)對稱性，可得球面的面積為，所以D正確.故選：BD.

三、填空題12．在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理分別得到與的展開通項(xiàng)公式即可得解.【解析】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)公式為，的展開通項(xiàng)公式為，所以取，得的系數(shù)為.故答案為：.13．如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．【答案】【分析】取中點(diǎn)為，根據(jù)二面角平面角定義可知，得到為等邊三角形；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和異面直線所成角的定義可知：或其補(bǔ)角即為所求角，結(jié)合長度關(guān)系，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【解析】連接，，，取中點(diǎn)，連接，，∵四邊形，為矩形，∴，，平面平面，平面，平面，∴即為二面角的平面角，∴，又，，∴，∴為等邊三角形，∴；∵，分別為，中點(diǎn)，∴，，∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，∵，∴，∴，所以異面直線與所成角的正弦值為．故答案為：．14．將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上個(gè)顏色各不相同的點(diǎn)經(jīng)過次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件”，并將所有滿足“條件”的圖形個(gè)數(shù)記為，則．【答案】125【分析】利用新定義，結(jié)合排列組合，分情況討論即可.【解析】，即，.如圖，在單位圓上有5個(gè)顏色不同的點(diǎn)，由4條邊連接起來，每條邊有2個(gè)端點(diǎn)，所以4條邊一共有8個(gè)端點(diǎn)，又由于從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著可邊可以達(dá)到任意一點(diǎn)，所以每一點(diǎn)必定會(huì)作邊，至少一條邊的端點(diǎn).所以可能出現(xiàn)的情形有三種情形，按照5個(gè)點(diǎn)可能同時(shí)做邊幾條邊的公共端點(diǎn)來分情況討論.情形1：有3個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，另2個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，有種；情形2：有1個(gè)點(diǎn)是3條邊的端點(diǎn)，有1個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，另3個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，有種；情形3：有1個(gè)點(diǎn)是4條邊的端點(diǎn)，另4個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，共有種；綜上：.故答案為：125【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于特殊類型的排列問題，注意根據(jù)問題的特征將其轉(zhuǎn)化等價(jià)的排列問題，而后者容易計(jì)數(shù).四、解答題15．已知在中，三邊所對的角分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的直徑為4，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形中三內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系消去角，解三角方程即得；（2）由正弦定理求得邊，再由余弦定理求出邊，利用面積公式即得.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，則，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理，，則，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面積．16．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求出切點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程求出；（2）求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最值即可.【解析】（1）切點(diǎn)，，．切線過，∴，∴．（2），，，或3，則當(dāng)或時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,在上為減，在為增，，，∴．17．隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀荆鸩饺〈鷤鹘y(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：(1)試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)0.96(2)，219.4萬元【分析】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進(jìn)一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程并預(yù)測.【解析】（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.18．已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)相同，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)存在，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合），直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由已知求得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得結(jié)果.（2）設(shè)出，，坐標(biāo)，由，，三點(diǎn)共線可得，進(jìn)而可得，同理可得，分別寫出與時(shí)直線EP的方程即可求得定點(diǎn).【解析】（1）由題意知，，，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，又拋物線焦點(diǎn)為，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：如圖所示，設(shè)，，，則，．由，，三點(diǎn)共線可得，即，化簡，得．所以．同理：由，，三點(diǎn)共線可得．①當(dāng)，即時(shí)，直線EP的斜率存在，此