湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二4月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023-2024-2麓山國(guó)際高二4月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷命題人：蔡云清審題人：王京臣總分：150分時(shí)量：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“，”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.3.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)中去掉后，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.相關(guān)系數(shù)r變大 B.殘差平方和變大C.變量x，y正相關(guān) D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)4.已知，，，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.5.函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A. B. C. D.6.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小.其中叫做信噪比，當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至6000，則C的增長(zhǎng)率為（）（，）A.10% B.16% C.26% D.33%7.若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若A，B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)B.決定系數(shù)越大的模型，擬合的效果越好C.回歸直線至少會(huì)經(jīng)過(guò)其中一個(gè)樣本點(diǎn)D.以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則a，b的值分別為2，610.已知，則以下不等式成立的是（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，的定義域均為，，是偶函數(shù)，且，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計(jì)算______.13.若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_(kāi)_____.14.已知x，滿足，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）若不等式解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.16.（15分）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)k的值和解析式；（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；（3）直接寫(xiě)出的單調(diào)遞減區(qū)間，并求不等式的解集.17.（15分）已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求b的值和函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若不等式對(duì)于任意的上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.（17分）產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命線，為提高產(chǎn)品質(zhì)量.企業(yè)非常重視產(chǎn)品生產(chǎn)線的質(zhì)量，某企業(yè)引進(jìn)了生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的A，B兩條生產(chǎn)線，為比較兩條生產(chǎn)線的質(zhì)量，從A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各自隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，把產(chǎn)品等級(jí)結(jié)果和頻數(shù)制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖.（1）請(qǐng)完成列聯(lián)表：并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析一級(jí)品率是否與生產(chǎn)線有關(guān)？（2）生產(chǎn)一件一級(jí)品可盈利100元，生產(chǎn)一件二級(jí)品可盈利50元，生產(chǎn)一件三級(jí)品則虧損20元，以頻率估計(jì)概率.①分別估計(jì)A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)；②你認(rèn)為哪條生產(chǎn)線的利潤(rùn)較為穩(wěn)定？并說(shuō)明理由.附：①參考公式：，其中.②臨界表值：0.100.020.0100.0050.0012.7063.8416.6357.89710.82819.對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若.（1）已知，，試寫(xiě)出、的表達(dá)式；（2）設(shè)且，函數(shù)，，如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；（3）若，存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的k，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.2023-2024-2麓山國(guó)際高二4月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)答案命題人：蔡云清審題人：王京臣總分：150分時(shí)量：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選B.2.【答案】A【詳解】命題“，”為假命題，則，解得，對(duì)于A，能推出，反之不成立，故A正確；對(duì)于B，不能推出，反之成立，故B不正確；對(duì)于C，不能推出，反之成立，故C不正確；對(duì)于D，能推出，反之成立，故D不正確.所以命題“，”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是.故選：A3.【答案】B【詳解】觀察散點(diǎn)圖知，變量x，y呈線性相關(guān)，點(diǎn)D偏離回歸直線較遠(yuǎn)，去掉后：對(duì)于A，相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r變大，A正確；對(duì)于B，殘差平方和變小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，散點(diǎn)的分布是從左下到右上，因此變量x，y正相關(guān)，C正確；對(duì)于D，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，D正確.故選：B4.【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，，所以，故選：D5.【答案】C【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋膳懦鼴、D，，∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)A.故選：C.6.【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴C的增長(zhǎng)率約為26%.故選：C7.【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，無(wú)最大值；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意可得，解得，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B8.【答案】A【詳解】令，則，，原函數(shù)化為，令，顯然，即函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)，，都是R上的增函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，不等式，則，于是，解得，所以x的取值范圍是.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋碅組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較弱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，決定系數(shù)越大則殘差平方和越小，則其擬合的效果越好，故B正確；對(duì)于C，回歸直線不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，，，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.【答案】ABD【詳解】當(dāng)，所以，則，當(dāng)時(shí)可得，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可得，故A正確；因?yàn)椋?，故B正確；取、滿足，但是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD11.【答案】ABC【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；，所以是以6為周期的周期函數(shù)，所以，故C正確；，D不正確.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】.13.【答案】12【詳解】原方程可化為，設(shè)，則原方程可化為.設(shè)方程的兩根為，，則，.由已知a，b是原方程的兩個(gè)根.可令，，則，.故答案為：12.14.【答案】4【詳解】設(shè)，則為往右平移兩個(gè)單位得來(lái).又為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱.故為單調(diào)遞增的函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱.又可知，關(guān)于對(duì)稱.故，即.又對(duì)任意的，恒成立.即恒成立.故判別式，得.故k的最小值為4.故答案為4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.【答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）由題設(shè)，是的解集，，整理得，解得或； ……5分（2）由題意，時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，則有恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則有， ……9分若，要使題設(shè)不等式恒成立，僅需即可，而上，……11分，解之得綜上， ……13分16.【答案】（1），（2）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）的單調(diào)遞減區(qū)間，【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在R上是奇函數(shù)，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，在上是偶函數(shù)，綜上，， ……4分（2），，對(duì)于任意的，，故是上的偶函數(shù) ……8分（3）因?yàn)?，且，在上是單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增，所以在上是單調(diào)遞減， ……10分因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上是單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間，所以由可得，所以，……13分解得或，所以不等式的解集為 .……15分17.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由得，所以定義域?yàn)椋? ……1分由是奇函數(shù)，則，即，解得 ……3分所以.經(jīng)檢驗(yàn)滿足 ……4分令，易知在單調(diào)遞減，則.故，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤?分（2），其中，所以，即，所以， ……9分令，，，則， ……11分因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以，所以 ……15分18.【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為一級(jí)品率與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.05.（2）①A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)分別為46元、50元；②A生產(chǎn)線的利潤(rùn)更為穩(wěn)定；答案見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可建立列聯(lián)表如下：一級(jí)品非一級(jí)品合計(jì)A生產(chǎn)線2080100B生產(chǎn)線3565100合計(jì)55145200……2分零假設(shè)為：一級(jí)品率與生產(chǎn)線無(wú)關(guān)聯(lián).計(jì)算得：，……………4分依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為一級(jí)品率與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.05. ……6分（2）A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級(jí)晶的概率分別為，，.記A生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X，則X的取值為100，50，，其分布列為X10050P……8分B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一、二、三級(jí)品的概率分別為，，.記B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為Y，則Y的取值為100，50，，其分布列為Y10050P……10分①；.故A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)分別為46元、50元. ……12分②；……14分.……16分因?yàn)?，所以A生產(chǎn)線的利潤(rùn)更為穩(wěn)定. ……17分19.【答案】（1）、（2）（3）是，【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則， ……2分因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則.…………4分（2）解：若與恰好為同一函數(shù)，只須在上是單調(diào)遞增，……6分當(dāng)時(shí)，令，則，由，則，對(duì)稱軸，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在