專題21 圖形的相似（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：平行線分線段成比例【高頻考點(diǎn)精講】1、三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2、推論（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。（2）如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（3）平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。知識(shí)點(diǎn)02：相似三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、相似三角形的判定（1）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）（2）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似）（3）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）（4）兩三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩三角形相似。（三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似）（5）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似）2、相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成正比例。（2）相似三角形對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）的比等于相似比。（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。知識(shí)點(diǎn)03：位似變換【高頻考點(diǎn)精講】1、位似圖形的概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。2、位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或﹣k。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.48一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2分）（2023?廣東）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)解：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，故選：A．3．（2分）（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：D．4．（2分）（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．3解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故選：A．5．（2分）（2023?遂寧）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）解：如圖：△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)（﹣1，0），則位似中心的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故選：A．6．（2分）（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．3解：∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴EF＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故選：C．7．（2分）（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）解：由題意可知：點(diǎn)A1（﹣2，1），點(diǎn)A4（﹣1，2），點(diǎn)A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（33﹣2，33+1），即（31，34），故選：A．8．（2分）（2023?德陽(yáng)）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，DB的延長(zhǎng)線與OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切線；③B，E兩點(diǎn)間的距離是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．4解：①連接AE，BE，如圖，∵⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，∴，∵＝，∴，∴，∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝3∠DAB．∵∠DBF為圓內(nèi)接四邊形ADBC的外角，∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．∴①的結(jié)論正確；②連接OC，∵，∴OE垂直平分BC，∴GC＝GB．在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠OCG＝∠OBG．由題意GB與⊙O相交，∴∠OBG為鈍角，∴∠OCG為鈍角，∴OC與GC不垂直，∴CG不是⊙O的切線．∴②的結(jié)論不正確；③∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．設(shè)DE交BO于點(diǎn)H，∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴OE∥AC，∴∠EOB＝∠CAB，∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝，∴，∴EH＝3，∴OH＝＝4，∴BH＝OB﹣OH＝1，∴BE＝＝．∴③的結(jié)論正確；④∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∵sin∠BAC＝，sin∠BAC＝，∴BC＝AB＝6．∴AC＝＝8．∵，∴BD＝BE＝．∴AD＝＝＝3．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDF＝∠ACB＝90°，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FAC，∴，∴，解得：．∴FD＝．∴④的結(jié)論不正確．∴結(jié)論正確的有：①③．故選：B．9．（2分）（2023?綏化）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接BD交AE于點(diǎn)G，F(xiàn)H平分∠BFG交BD于點(diǎn)H．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB2＝BF?AE②S△BGF：S△BAF＝2：3③當(dāng)AB＝a時(shí)，BD2﹣BD?HD＝a2A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，∵BF⊥AE，∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，∴cos∠ABF＝cos∠EAD，即，又AB＝AD，∴AB2＝BF?AE．故①正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∵點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，∴，∴．在Rt△ABF中，，∴．在Rt△ADE中，，∴．∵AB∥DE，∴△GAB∽△GED，∴＝2，∴，∴，∴，∴S△BGF：S△ABF＝2：3．故②正確；∵AB＝a，∴AD＝AB＝a，∴BD2＝AB2+AD2＝2a2，如圖所示，過點(diǎn)H分別作BF，AE的垂線，垂足分別為M，N，如圖，又∵BF⊥AE，HM⊥BF，HN⊥AE，∴四邊形FMHN是矩形，∵FH是∠BFG的角平分線，∴HM＝HN，∴四邊形FMHN是正方形，∴FN＝HM＝HN，∴，，∴．設(shè)MH＝b，則BF＝BM+FM＝BM+MH＝3b+b＝4b，在Rt△BMH中，．∵，∴，解得：．∴，∴BD2﹣BD?HD＝2a2﹣a×a＝a2．故③正確．故選：D．10．（2分）（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點(diǎn)P，對(duì)角線BD交AF于點(diǎn)H，連接HM，CM，DM，BM，下列結(jié)論正確的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF＝2；⑤EP?DH＝2AG?BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠BFA，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE．故①正確；∵將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE．故②正確；當(dāng)CM⊥FM時(shí)，∠CMF＝90°，∵∠AMF＝∠ABF＝90°，∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直線上，∴∠MCF＝45°，∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，由翻折的性質(zhì)可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，∴BC∥MH，HB∥MF，∴四邊形BHMF是平行四邊形，∵BF＝MF，∴平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則AE＝BF＝a，在Rt△AED中，，∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，∴△AHD∽△FHB，∴，∴．∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，∴△AGE∽△ABF，∴，∴，，∴，．∵∠BHF＝∠DHA，∴在Rt△DGH中，，故④錯(cuò)誤；由題意得：△ABF≌△AMF，∴∠EAG＝∠PAG，在△EAG和PAG中，，∴△EAG≌PAG（ASA），∴EG＝PG，∴EG＝EP．∵AD∥BC，∴△AHD∽△FHB，∴．∵AD＝AB，∴．∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，∴△EAG∽△FAB，∴，∴，∴EG?DH＝AG?BH，∴EP?DH＝AG?BH，∴EP?DH＝2AG?BH，故⑤正確．綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．解：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故答案為：．12．（2分）（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵，∴設(shè)AE＝2a，則BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，故答案為：．13．（2分）（2023?長(zhǎng)春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為1：3．解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為1：3，故答案為：1：3．14．（2分）（2023?泰州）兩個(gè)相似圖形的周長(zhǎng)比為3：2，則面積比為9：4．解：∵兩個(gè)相似圖形，其周長(zhǎng)之比為3：2，∴其相似比為3：2，∴其面積比為9：4．故答案為：9：4．15．（2分）（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）．解：∵△ABC與△A1B1C1位似，且原點(diǎn)O為位似中心，且＝3，點(diǎn)A（9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），故答案為：（3，1）．16．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AC，AD，CE是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，AD與CE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2＝AD?EF．其中正確的結(jié)論是①③④．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）解：①∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB＝，在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，∴∠ACE＝∠BCD﹣∠BCA﹣∠DCE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，∴∠ACE＝∠DCE，即CF平分∠ACD，故①正確；②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，∴，∵，∴，即AF≠2DF，故②錯(cuò)誤；③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，∴AB∥FC，∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，∴∠DAB＝∠EAB﹣∠EAD＝108°﹣36°＝72°，∵∠ABC＝108°，∴∠ABC+∠DAB＝108°+72°＝180°，∴AF∥BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCF是菱形，故③正確；④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴，∵DE＝AE＝AB，∴，即AB2＝AD?EF，故④正確；綜上，正確的結(jié)論是：①③④；故答案為：①③④．17．（2分）（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點(diǎn)C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個(gè)方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為9．（2）若，則＝．解：（1）在圖1中，過C作CM⊥AB于M，如圖：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC＝，∴cos∠BCT＝，即＝，∴CT＝BC，∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，∴CM＝AC，∴CT?CM＝BC?AC＝BC?AC，∵△ABC的面積為16，∴BC?AC＝16，∴BC?AC＝32，∴CT?CM＝18，∴紙片Ⅲ的面積為CT?BT＝CT?CM＝9；故答案為：9；（2）如圖：∵＝，∴＝，設(shè)NT＝19t，則BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴＝，∴CT?WT＝BT2，∴CT?（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，當(dāng)CT＝9t時(shí)，WT＝25t，這情況不符合題意，舍去；當(dāng)CT＝25t時(shí)，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴＝．故答案為：．18．（2分）（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴．故答案為：．19．（2分）（2023?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線所在直線分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN?CD＝EC?CF；④若EM＝1，MB＝4，則PM＝．其中正確的是①④．解：記N到PC的距離為h，∴＝＝，∵CM⊥BE，四邊形ABCD是正方形，∴∠CME＝90°，∠PCN＝45°，∵M(jìn)N平分∠CME，∴∠CMN＝∠EMN＝∠PMF＝45°＝∠PCN，∵∠MPF＝∠NPC，∴△PMF∽△PCN，∴，∠PFM＝∠PNC，∴，同理可得：△NCM∽△NPC，∴，∴，∴＝，∴＝，故①正確；∵∠PMF＝45°＝∠PCE，∴∠PCE+∠FMN＝180°，∴M，F(xiàn)，C，N四點(diǎn)共圓，∴∠FNC＝∠FMC＝90°，∴FN∥BC，∴△EFN∽△EBC，∴，∴EN?CD＝EC?FN，故③不正確；∵EM＝1，BM＝4，∴BE＝5，∵正方形ABCD，CM⊥BE，∴∠BCD＝∠BMC＝∠EMC＝90°，∴∠MEC+∠MCE＝90°＝∠MCE+∠BCM，∴∠MEC＝∠BCM，∴△CME∽△BMC，∴，即CM2＝BM?EM＝4，∴CM＝2，（負(fù)根舍去），∴，BC＝＝2＝AB，同理可得：△CEF∽△ABF，∴＝＝，∴EF＝BF，∴EF＝BE＝，BF＝，∴FM＝BM﹣BF＝4﹣＝，∵∠PMF＝∠ACB＝45°，∠PFM＝∠BFC，∴△PMF∽△BCF，∴，∵△EFN∽△EBC，∴，∴EN＝EC＝，∴CN＝EC﹣EN＝，∴CF＝CN＝，∴＝，∴PM＝，故④正確；同理可得：△EMN∽△ECF，∴，即＝，∴MN＝，∴PN＝PM+MN＝+＝，而CM＝2，∴CM≠PN，故②不正確；綜上所述：正確的有①④，故答案為：①④．20．（2分）（2023?鄂州）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，則的值是．解：設(shè)直角三角形是長(zhǎng)直角邊是a，短直角邊是b，∴BE＝b，EH＝a﹣b，∵BE：EQ＝3：2，∴EQ＝b，∴QH＝EH﹣EQ＝a﹣b﹣b＝a﹣b，∵AH∥EC，∴△AHQ∽△CEQ，∴AH：CE＝HQ：EQ，∴b：a＝（a﹣b）：b，∴3a2﹣5ab﹣2b2＝0，∴a＝2b，∴BQ＝BE+EQ＝b+b＝b，∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b，∴BC＝＝b，∵∠QEO＝∠QCB＝45°，∠EQO＝CQB，∴△QEO∽△QCB，∴＝＝＝，∵趙爽弦圖是中心對(duì)稱圖形，∴OP＝OQ，∴＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．22．（6分）（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．解：設(shè)BD＝xm，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可證△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴該古建筑AB的高度為36m．23．（8分）（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．24．（8分）（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根．∴a?（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．25．（8分）（2023?江西）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對(duì)角線BD⊥AC，垂足為O．求證：?ABCD是菱形．知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若∠E＝∠ACD，求的值．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足為O，∴AC是BD的垂直平分線，∴AB＝AD，∴?ABCD是菱形．（2）①證明：∵?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴?ABCD是菱形；②解：如圖，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，連接OG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG＝AD＝，由①知：四邊形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位線，∴OG∥AD∥BE，∴△OGF∽△ECF，∴，又∵OG＝，CE＝4，∴．26．（8分）（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對(duì)的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．27．（8分）（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）求的值．（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BA