第15講 圓弧形動(dòng)點(diǎn)軌跡與最值問(wèn)題專(zhuān)題探究 (原卷版)

第15講圓弧形動(dòng)點(diǎn)軌跡與最值問(wèn)題專(zhuān)題探究類(lèi)型一定義法【知識(shí)點(diǎn)睛】定義法——若一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒等于固定長(zhǎng)，則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓（或圓?。┐祟?lèi)問(wèn)題常出現(xiàn)環(huán)境——折疊求最值時(shí)常結(jié)合原理——①圓與圓外定點(diǎn)最值的求解方法如圖：點(diǎn)A為圓外定點(diǎn)，點(diǎn)P為圓周上一點(diǎn)，OPOPHQ②圓上點(diǎn)到圓外定直線最值的求解方法如圖：直線l為圓外定直線，點(diǎn)P、點(diǎn)Q為圓周上一點(diǎn)，則PH即為圓O上的點(diǎn)到直線l的最小值;QH為最大值l【類(lèi)題講練】1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，則∠BAD＝．3．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．4．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分別是AB邊和BC的中點(diǎn)，若線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，連接BN′，如圖2所示．（1）當(dāng)線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，線段BN′的長(zhǎng)＝cm；（2）如圖3，連接DN′，則DN′長(zhǎng)度的最小值是cm．5．如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MN的最大值為．6．如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，點(diǎn)F，連接CF，EF，CE，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△CEF面積的最大值是．7．如圖，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM＝AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長(zhǎng)度的最小值是．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是斜邊AB上任意一點(diǎn)，連接EF，將△AEF沿EF對(duì)折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長(zhǎng)的最小值是．9．已知，在半圓O中，直徑AB＝10，點(diǎn)C，D在半圓O上運(yùn)動(dòng)，弦CD＝5．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：△CAB≌△DBA；（2）如圖2，若∠DAB＝22.5°，求圖中陰影部分（弦AD、直徑AB、弧BD圍成的圖形）的面積；（3）如圖3，取CD的中點(diǎn)M，點(diǎn)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：點(diǎn)M到AB的距離的最小值是．?10．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問(wèn)題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問(wèn)題．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長(zhǎng)．11．（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．類(lèi)型二定邊對(duì)直角【知識(shí)點(diǎn)睛】模型原理：直徑所對(duì)的圓周角是直角故：有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形必滿足四點(diǎn)共圓思路構(gòu)造：若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為直角，則直角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓?。┕剩河泄残边叺膬蓚€(gè)直角三角形必滿足四點(diǎn)共圓如圖：用此方法解題的一般步驟：用此方法解題的一般步驟：①確定動(dòng)點(diǎn)所在角=直角②確定“定直角”所對(duì)的邊為定邊③確定該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以“定邊”為直徑的圓弧求最值時(shí)常結(jié)合原理——同類(lèi)型一（略）【類(lèi)題講練】1．如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．2．如圖，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣6，0），連接CD，點(diǎn)P為邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)AE取最小值時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．3．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．4．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是⊙O上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（）A．2 B． C． D．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，BF⊥AE，則CG的最小值為．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點(diǎn)，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．7．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF＝FG，則CG的最小值為．類(lèi)型三定邊對(duì)定角【知識(shí)點(diǎn)睛】模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等思路構(gòu)造：若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為定角，則該定角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定角為圓周角，該定邊為弦的圓（或圓弧）解決辦法：當(dāng)∠P是那個(gè)定角時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題要求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，則∠P一定為特殊角。下以30°，45°，60°，120°為例，說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)軌跡圓的確定方法：若∠P=30°，以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心若∠P=45°，以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=60°，以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心若∠P=120°，以AB為底，異側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心另：若∠P=135°，以AB為斜邊，異側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=150°，以AB為邊，異側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心求最值時(shí)常結(jié)合原理——同類(lèi)型一（略）【類(lèi)題訓(xùn)練】1．如圖，BC是⊙O的直徑，BC＝4，M、N是半圓上不與B、C重合的兩點(diǎn)，且∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在上從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A． B． C． D．2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．23．如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連BP交△APC的外接圓于點(diǎn)E，則AE的最小值為．4．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，連接CF，則∠AFB＝，CF的最小值是．5．拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，D是線段BC上一點(diǎn)，BD＝3DC，作射線OD交拋物線于點(diǎn)E，H是拋物線上一點(diǎn)，連接OH，若OE平分∠COH，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；??（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于x軸于點(diǎn)F，在直線EF上存在點(diǎn)M，使得∠DMB＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．??6．問(wèn)題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則△ABC的面積為；問(wèn)題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC