第15講 圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第15講圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關概念及性質．2.探索并掌握三角形相似的性質及條件，并能利用相似三角形的性質解決簡單的實際問題．3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質將一個圖形放大或縮?。?.掌握用坐標表示圖形的位置與變換，在給定的坐標系中，會根據坐標描出點的位置或由點的位置寫出它的坐標，靈活運用不同方式確定物體的位置．【知識導圖】【考點梳理】考點一、比例線段1.比例線段的相關概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或寫成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項.如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的性質（1）基本性質：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質（交換比例的內項或外項）（交換內項）（交換外項）（同時交換內項和外項）（3）反比性質（交換比的前項、后項）：（4）合比性質：（5）等比性質：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB.考點二、相似圖形相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性質：(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等，那么這兩個三角形相似.考點三、位似圖形位似圖形的定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.(2)內位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.3.位似圖形的性質位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；第二步：作位似中心與各關鍵點連線；第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點.【典型例題】題型一、比例線段例1.已知三個數(shù)1,2,,請你再添上一個(只填一個)數(shù),使它們能構成一個比例式,則這個數(shù)是_________.【變式】將一個菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴大為原來的2倍B．菱形的邊長擴大為原來的2倍C．菱形的對角線擴大為原來的2倍D．菱形的面積擴大為原來的4倍題型二、相似圖形例2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結論：①AB=；②當點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例3．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連結EF，DE，DF，M是FE中點，連結MC，設FE與DC相交于點N．則4個結論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式】如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.求證：求這個矩形EFGH的周長.例4.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為，直線BC經過點，，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線BC相交于點P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當時，的值是；（2）①如圖1，當四邊形的頂點落在軸正半軸時，求的值；②如圖2，當四邊形的頂點落在直線上時，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉過程中，當時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．例5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．①求證：ADE∽BEF；②設正方形的邊長為4，AE=，BF=．當取什么值時，有最大值?并求出這個最大值．題型三、位似圖形例6.如圖，用下面的方法可以畫出△AOB的“內接等邊三角形”，閱讀后證明相應的問題.畫法：(1)在△AOB內畫等邊△CDE，使點C在OA上，點D在OB上；(2)連結OE并延長，交AB于點E′，過E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；(3)連結C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內接三角形.請判斷△C′D′E′是否是等邊三角形，并說明理由.【中考過關真題練】一、填空題1．（2021·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于點O，已知，則_________．2．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面積是6，那么這個正方形的邊長是_____．3．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.4．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC為____米．5．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是____．二、解答題6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，梯形中，∥，，，，，點是邊上的動點，點是射線上一點，射線和射線交于點，且．（1）求線段的長；（2）如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）如果點在邊上（不與點、重合），設,,，求關于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；7．（2017·上海·中考真題）如圖，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點D，聯(lián)結OA、OC．（1）求證：△OAD∽△ABD；（2）當△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項，求OD的長．8．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）如圖1，AD、BD分別是的內角∠BAC、∠ABC的平分線，過點A作AE⊥AD，交BD的延長線于點E．（1）求證：；（2）如圖2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；（3）如果∠ABC是銳角，且與相似，求∠ABC的度數(shù)，并直接寫出的值．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，中線與中線相交于點G，聯(lián)結．下列結論成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在中，，點D、E分別在邊上，當時，_________．4．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）在中，點D、E分別在邊上，//，那么_______．（用、表示）．6．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，在梯形中，，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是邊AB、CD的中點，，設，那么_______．（用含向量的式子表示）7．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W?？级＃┤鐖D，梯形中，，，點在的延長線上，與相交于點，與邊相交于點．如果，那么與的面積之比等于______．8．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝________．9．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形中，對角線交于點O，，，，，如果，那么的值是___________．10．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，內有一點，滿足，那么點被稱為的“布洛卡點”．如圖，在中，，，點是的一個“布洛卡點”，那么______．11．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么＝_____．三、解答題12．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，，DF分別交對角線AC、底邊BC于點E、F，且．(1)求證：；(2)點G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長．13．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，點D、E分別在邊、上，且，．(1)求證：；(2)設，，試用向量、表示向量．14．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線（）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），交y軸于點C，聯(lián)結BC，的余切值為，，點P在拋物線上，且.(1)求上述拋物線的表達式；(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點O和點P，新拋物線的對稱軸與x軸交于點E．①求新拋物線的對稱軸；②點F在新拋物線對稱軸上，且，求點F的坐標．15．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）已知：如圖，兩個和中，，且點在一條直線上，聯(lián)結與交于點F．(1)求證：；(2)如果，求證：．16．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D1，在中，點E在的延長線上，且(1)求證：；(2)如圖2，D在上且，延長交于F，若，求的值．17．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點點在軸的正半軸上，與軸交于點，已知．(1)求頂點和點的坐標；(2)將拋物線向右平移個單位，得到的新拋物線與軸交于點，求點的坐標和的面積；(3)如果點在原拋物線的對稱軸上，當與相似時，求點的坐標．18．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2bx+c與x軸交于點A、B（點A在點B的右側），且與y軸交于點C，已知點A（3，0），O為坐標原點，(1)當B的坐標為（﹣5，0）時，求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，以A為圓心，OA長為半徑畫⊙A，以C為圓心，AB長為半徑畫⊙C，通過計算說明⊙A和⊙C的位置關系；(3)如果△BAC與△AOC相似，求拋物線頂點P的坐標19．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┮阎菏堑闹睆?，弦，垂足為點H，，，點E在上，射線與射線相交于點F，設，．(1)求的半徑；(2)如圖所示，當點E在弧上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)如果，求的長．20．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在等腰直角中，，點D為射線上一動點（點D不與點B、C重合），以為腰且在的右側作等腰直角，，射線與射線交于點E，聯(lián)結．(1)如圖1所示，當點D在線段上時，①求證：；②設，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；(2)當時，求的長．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）若一個扇形的弧長與半徑的比值等于另一個扇形的弧長與半徑的比值，則稱這兩個扇形相似．如圖，如果扇形AOB與扇形A'O'B'相似，且半徑OA：O'A＝k（k為大于0的常數(shù)）．那么下面四個結論：①∠AOB＝∠A'O'B；②△AOB∽△A'O'B'；③半徑OA的中點與弧AB中的連線段長度與半徑O'A'的中點與弧A'B'的中點的連線段長之比為k；④扇形AOB與扇形A'O'B'的面積之比為k2，成立的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共10小題）2．（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖，正方形ABCD邊長為2，點E、F分別為邊AB、BC中點，AF分別交線段DE、DB于點M、N，則S△DMN＝．3．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點O，若AC＝6，BD＝8，中位線長為5，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則+＝．4．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）直角坐標系xOy內有一個△OEF，原點O為位似中心，相似比為2，點E的對應點為E′，已知E（