等比數(shù)列前項和

關(guān)于等比數(shù)列前項和回顧舊知1.等比數(shù)列{an}的通項公式：注意：當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列.

2.求等比數(shù)列通項公式的方法：觀察歸納法、累乘法。3.回想一下解等比數(shù)列題的一些技巧與方法.第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

國際象棋起源于古印度，關(guān)于國際象棋還有一個傳說。國王獎賞發(fā)明者，問他有什么要求，他答道：“在棋盤第一個格放1顆麥粒，在第二個格放2顆麥粒，在第三個格放4顆麥粒，在第四個格放8顆麥粒。以此類推，每個格子放的麥粒數(shù)是前一個格子的2倍，直到64個格子。國王覺得這太容易了，就欣然答應(yīng)了他的要求，你認為國王能滿足他的要求嗎？新課導(dǎo)入設(shè)問：同學(xué)們，你們知道他要的是多少小麥嗎？第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麥子每千粒約為40克，則折合約為737869762948382064克≈7378.7億噸.經(jīng)過計算，我們得到麥?？倲?shù)是那么這是怎么計算的呢？其實是一個比較大小的問題，則實質(zhì)上是求等比數(shù)列前n項和的問題.第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天探討問題發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特點？如果①式兩端同時乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②

比較①、②兩式，有什么關(guān)系呢？第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②

兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項，則②－①得：S64=264-1=18446744073709551615設(shè)問：縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2呢？第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天等比數(shù)列前n項和公式及推導(dǎo)在等比數(shù)列{an}中首先要考慮兩種情況：當(dāng)q≠1時，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？我們視目以待，看接下來的解答:當(dāng)q=1時，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

=a1+a1+a1+……+a1+a1

=na1共n個a1設(shè)等比數(shù)列，首項為,公比為如何求前n項和？第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2

=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3

=a1(1+q+q2+q3)分析：第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②

①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn這就是乘公比錯位相減法求和當(dāng)q≠1時，第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天則等比數(shù)列{an}前n項和公式為Sn=na1q=1q≠1注意點1.注意q=1與q≠1兩種情況.2.q≠1時，第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天通過上面的講解，對于等差數(shù)列的相關(guān)量a1、d、n、an、sn，一般確定幾個量就可以確定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例1等比數(shù)列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8項和S8.解法1：因為a8=a1q7，所以因此

這是公式法求和第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解法2：把原數(shù)列的第8項當(dāng)作第一項，第1項當(dāng)作第8項，即順序顛倒，也得到一個等比數(shù)列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8項和第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求和個分析：數(shù)列9，99，999，……，不是等比數(shù)列，不能直接用公式求和，但將它轉(zhuǎn)化為10－1，100－1，1000－1，……，就可以解決了。例2第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)

=(10+100+1000+……+10n)－n解：第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例3已知數(shù)列的前五項是（1）寫出該數(shù)列的一個通項公式；（2）求該數(shù)列的前n項和分析：此數(shù)列的特征是兩部分構(gòu)成，其中是整數(shù)部分，又是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.是分?jǐn)?shù)部分，和等比數(shù)列，所以此方法稱為“分組法求和”所以此數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：（1），（2）這是分組法求和第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均增長率為p(p>0)，求這個工廠去年全年產(chǎn)值的總和。解：該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a(1+p)元，3月，4月，……，的產(chǎn)值分別為a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12個月的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列，首項為a，公比為1+p，例4第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為元。第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求和：

.例5為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和.設(shè)，其中為等差數(shù)列，分析：這是錯位相減法求和第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：，兩端同乘以，得兩式相減得于是.第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天注意：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的通項公式中有參數(shù)，求前n項和時要注意公比是否為1．例6設(shè)數(shù)列

求這個數(shù)列的前n項和解:（與n無關(guān)的常數(shù)）

所以該數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，

，該數(shù)列的公比為1，

，該數(shù)列的公比不為1，

第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求和：.為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相減法求和.設(shè)，其中為等差數(shù)列，例7第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：，兩端同乘以，得兩式相減得于是.第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，怎樣用學(xué)過的知識來說明它？解：這句古語用現(xiàn)代文敘述是：一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完.如果每天取出的木棒的長度排成一個數(shù)列，則得到一個首項為a1=，公比q=的等比數(shù)列，思考與余味第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天它的前n項和為這說明一尺長的木棒，每天取它的一半，永遠也取不完.不論n取何值，總小于1，第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)本節(jié)課主要講述了等比數(shù)列的前n項和公式：

以及他們的推導(dǎo)過程，在具體使用時,不一定完全套用公式,要靈活變通.Sn=na1q=1q≠1第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法.2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.

-------錯位相加法-------方程思想3.公式中五個量a1,d,an,n,sn,已知其中三個量，可以求其余兩個.-------知三求二第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天（07年廣東）等比數(shù)列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．解：由得：q=2所以：高考鏈接第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天隨堂練習(xí)1.求等比數(shù)列的前8項的和解:第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.某商場第1年銷售計算機５０００臺，如果平均每年的銷售量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達到３００００臺（保留到個位）？分析：由題意可知，每年銷售量比上一年增加的百分率相同，所以從第1年起，每年的銷售量組成一個等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項和.第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000∴整理可得：1.1n=1.6兩邊取對數(shù)得即：答：約5年內(nèi)可以使總銷售量達到30000臺.第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且