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2023-2024學(xué)年廣東省“六校聯(lián)盟”高考數(shù)學(xué)一模試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2332.已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,設(shè),,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.4.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i5.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.6.某中學(xué)有高中生人,初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間,采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人,則的值為()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.38.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.9.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.10.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時(shí),則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.12.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_________.14.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在和兩處取得極值,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15.已知,滿足,則的展開式中的系數(shù)為______.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說:“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說:“我獲獎(jiǎng)了”.丁說:“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎(jiǎng)的歌手是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對任意的實(shí)數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.18.(12分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況,隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員,統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員,其中平均車速超過的有30人,不超過的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān);平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員女性駕駛員合計(jì)(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體,隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中,駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)已知函數(shù),(其中,).(1)求函數(shù)的最小值.(2)若,求證:.22.(10分)設(shè)函數(shù),直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所對的邊分別是,若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心,且,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2、A【解析】
根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,從而得到在上單調(diào)遞增且;再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時(shí),單調(diào)遞減時(shí),單調(diào)遞增又且,即本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性,通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.3、B【解析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為5、A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.6、B【解析】
利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比,本題是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】
直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)幾何概率計(jì)算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題,是基礎(chǔ)題.11、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.12、B【解析】,選B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足,∴,∴,故而可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先將函數(shù)在和兩處取得極值,轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根,且,再令,將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn),且橫坐標(biāo)滿足,用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性,作出簡圖,求出時(shí),的值,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,又函?shù)在和兩處取得極值,所以是方程的兩不等實(shí)根,且,即有兩不等實(shí)根,且,令,則直線與曲線有兩交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足,又,由得,所以,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),,即函數(shù)在和上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得,此時(shí),因此,由得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問題,通常需要將函數(shù)極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根,再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問題來處理,屬于??碱}型.15、1【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理求出,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開式中的系數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.16、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙.考點(diǎn):反證法在推理中的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,Q為線段中點(diǎn)【解析】
解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計(jì)算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當(dāng)Q為線段的中點(diǎn)時(shí).解法二,以為原點(diǎn),以為建立空間直角坐標(biāo)系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點(diǎn)為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點(diǎn),,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí),對于任意的實(shí)數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個(gè)法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當(dāng)時(shí),直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,,依題意,對于任意的實(shí)數(shù)要使,等價(jià)于,即,解得,即當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí),對于任意的實(shí)數(shù),都有.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計(jì)算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)先通過求得,再由得,和條件中的式子作差可得答案;(2)變形可得,通過裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】(1)①,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),②,①②得:,,適合,故;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)求和,是基礎(chǔ)題.19、(1)填表見解析;有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān)(2)詳見解析【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)利用二項(xiàng)分布的知識計(jì)算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計(jì)352560因?yàn)?,,所以有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)服從,即,.所以的分布列如下0123的期望【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.20、(1),();(2).【解析】
(1)根據(jù)是等差數(shù)列,,、、成等比數(shù)列,列兩個(gè)方程即可求出,從而求得,代入化簡即可求得;(2)化簡后求和為裂項(xiàng)相消求和,分組求和即可,注意討論公比是否為1.【詳解】(1)由題意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)相消求和等知識點(diǎn),考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于一般性題目.21、(1).(2)答案見解析【解析】
(1)利用絕對值不等式的性質(zhì)即可求得最小值;(2)利用分析法,只需證明,兩邊平方后結(jié)合即可得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,∴的最小值;(2)證明:依題意,,要證,即證,即證,即證,即證,又可知,成立,故原不等式成
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