專題21 平面解析幾何（選填壓軸題）試題含解析

專題21平面解析幾何（選填壓軸題） 1②范圍（最值）問題 3 4 6⑤新定義新文化題 712023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學?？计谀┰O橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1,F2橢圓C上的任意一點，.的最小值取值范圍為c2,3c2，其中a2=b2+c2，則橢圓C的離心率為()22023秋·天津北辰·高二?？计谀┤綦p曲線C:-所截得的弦長為2，則C的離心率為()223202332023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習）已知雙曲線 -a2b2為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A，B兩點，且|AB|=2AF1，若經(jīng)F1AF2=，則雙曲線離心率為()42023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知雙曲線C:-F，F(xiàn)2，若在C上存在點P(不是頂點)，使得經(jīng)PF2F1=3經(jīng)PF1F，則C的離心率的取值范圍為())52023·福建福州·福州四中校考模擬預測）已知雙曲線C:一,A2分別為左、左頂點，P為C右支上的點，且OP=OF（O為坐標原點）.若直線PF與以線段A1A2為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為()C．)62023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？茧A段練習）雙曲線一=1和橢圓+=1有共同的焦點，則橢圓的離心率是() 72023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）過點(2,2)能作雙曲線x2率e的取值范圍為.=1的兩條切線，則該雙曲線離心82023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C：x2yx2a22=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為雙曲線C右支上一點，直線AF1交雙曲線的左支于點B，若AB=AF2，且原點O到直線AF1的距離為1，則C的離心率為.別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.102023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知橢圓C:+=1(a>b>0)，A,B是長軸的左、右端點，動點M滿足MB」AB，連接AM，交橢圓于點P，且.為常數(shù)，則橢圓離心率為.112023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C：x2yx2a2b2曲線C的漸近線于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限.設O為坐標原點，若△OAF的面積為ΔOBF面積的2倍，且AF=a，則雙曲線C的離心率為.122023·福建寧德·?？寄M預測）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點是F，直線y=kx交橢圓于A,B兩點﹐直線AF與橢圓的另一個交點為C，若AF2②范圍（最值）問題12023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知橢圓C：+=1的右焦點為F，O為坐標原點，點P,Q為橢圓C上的兩點，且4kOP.kOQ+3=0，R為PQ中點，則|RF|的最小值為()為4，則的最小值為()32023·山東·山東師范大學附中?？寄M預測）在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存「12)(12]「1212]「12]「12)(12]「1212]「12]x2442023·北京·?？寄M預測）已知橢圓x242=1.過點(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點.將AB表示為m的函數(shù)，則AB的最大值是()52023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C:,F為2，焦點到漸近線的距離為.過F2作直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點，若H,G分別為△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)心，則HG的取值范圍為()交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()72023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:一=1(a>0)，過其右焦點F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，已知AB=16，若這樣的直線l有4條，則實數(shù)a的取值范圍是.82023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C的圓心在拋物線x2=2py(p>0)上運動，且圓C過定點A(0,p)，圓C被x軸所截得的弦為MN，設AMAN92023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ>0且λ子1）的點的軌跡是圓”，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知A(0,1)，-,2，Q為拋物線y2=4x上的動點，點Q在直線x=-上的射影為H，M為圓的阿氏圓，則22+y2=2上的動點，若點P的軌跡是到A，B兩點的距離之比為的阿氏圓，則2MC+QH+QM的最小值為.102023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）已知雙曲線x2y2a2-b2點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，AF2，BF2分別交y軸于P，b2Q兩點，若‘PQF2b2的最大值為.112023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知F為拋物線：y2=4x的焦點，過直線l:x=-2上任一點P向拋物線引切線，切點分別為A，B，若點M(4,0)在直線AB上的射影為H，則FH的取值范圍為.12023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學考試）已知圓C1:(x-)2+y2=r2(0<r<4)與圓2+y22交點的軌跡為M，過平面內(nèi)的點P作軌跡M的兩條互相垂直的切線，則點P的軌跡方程為()22222522023·貴州黔西·?？家荒＃┰谡襟wAC1中，點M為平面ABB1A1內(nèi)的一動點，d1是點M到平面ADD1A1的距離，d2是點M到直線BC的距離，且d1=λd2(λ>0)(λ為常數(shù)），則點M的軌跡不可能是()32023·全國·高二專題練習）已知動點P(x,y)滿足常數(shù)則動點P的軌跡是()2x2+y2x2+y-22x22x2+5=a+a（a為大于零的42023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學?？计谥校┮阎獔Ax2+y2一4y=0的圓心為S，)的直線m交圓S于C、D兩點，過點T作SC的平行線，交直線SD于點M，則點M的軌跡為()A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．雙曲線一支法中錯誤的是()A．a(chǎn)=0時，點P的軌跡是y軸B．a(chǎn)=1時，點P的軌跡是一條直線62023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C的方程為x2+y2=16，直線l為圓C的切線，記A(一2,0),B(2,0)兩點到直線l的距離分別為d1,d2，動點P滿足PA=d1，PB=d2，則動點P的軌跡方程為()2頂點B的軌跡方程是()動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.92023·全國·高三對口高考）已知動圓P過點N(一2,0)，且與圓M:(x一2)2+y2=8外切，則動圓P圓心P(x,y)的軌跡方程為.102023·全國·高三專題練習）已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(+)·()=0．則動點P的軌跡方程為；112023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知△HMN的周長是18，M，N是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若MN=6，動點G滿足++=.則動點G的軌跡方程為；++122023春·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學校考期中）一個動圓與圓C1:x2+(y+3)2=1外切，與圓:x2+(y-3)=81內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為.132023·全國·高二課堂例題）已知點A(0,2),B(0,-2),C(3,2)，若動點M(x,y)滿足|MA|+|AC|=|MB|+|BC|，則點M的軌跡方程為.142023·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.12023·全國·高三對口高考）已知實數(shù)x，y滿足：+=1，則x-y的最大值為()22023秋·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？计谀┪覈麛?shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如：與(x-a)2+(y-b)2相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點B(a,b)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，若實數(shù)x,y滿足xx2xx2y-2x-y-2x-3的取值范圍是()32023·全國·高三專題練習）已知點P為函數(shù)f(x)=ex的圖象上任意一點，點Q為圓(x-1)2+y2=1上任意一點，則線段PQ長度的最小值為()42022·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎獙崝?shù)x，y滿足xx-=1，則3x-y-6的取值范圍是()B．6-,6)「)「)52023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)x,y滿足xx-yy=1，則x-y的取值范圍是()A．-,00,262023·河南·統(tǒng)考模擬預測）若直線l：y=-x+m與曲線C：+=1有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為()-2,0)u0,272022·高二單元測試）橢圓+=1上的點到直線x+2y-=0的最大距離是⑤新定義新文化題12023·江蘇·高二假期作業(yè)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的面積為2π,兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標準方程是()22023春·云南紅河·高二開遠市第一中學校校考階段練習）公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點A(-1,0)和B(2,1)，且該平面內(nèi)的點P滿足PA=PB，若點P的軌跡關(guān)于32023·全國·高三專題練習）閔氏距離（Minkowskidistance）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常見的方法，設點A、B坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則閔氏距離Dp(A,B)=(x1-x2p+y1-y2p)1p(peN*). 若點A、B分別在y=ex和y=x-1的圖像上，則Dp(A,B)的最小值為()4多選2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，可以推導出雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知F1、F2分別是以y=±x為漸近線且過點A(4,3)的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點0>0)處的切線l交x軸于點Q，則()4A．雙曲線C的離心率為B．雙曲線C的方程為-=14(16)0)C．過點F1作F1K」PQ，垂足為K，則OK=8D．點Q的坐標為|(16)0)52023春·江西贛州·高二?？茧A段練習）我國后漢時期的數(shù)學家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這種利用面積出入相補證明勾股定理的方法巧妙又簡便，對于勾股定理我國歷史上有多位數(shù)學家創(chuàng)造了不同的面積政法，如三國時期的劉徽、清代的梅文鼎、華蘅芳等．下圖為華蘅芳證明勾股定理時構(gòu)造的圖形，若圖中CB=1，CA=2，經(jīng)ABC=90，以點C為原點，為x軸正方向．為y軸正方向，建立平面直角坐標系，以AB的中點D為圓心作圓D，使得圖中三個正方形的所有頂點恰有2個頂點在圓D外部，則圓D的一個標準方程為寫出一個即可）62023·福建三明·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學家托勒密在他的名著《數(shù)學匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當且僅當凸四邊形的四個頂點同在一個圓上時等號成立.已知雙曲線C:xy 72023·全國·高三專題練習）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓 +y222，橢圓C的離心率為，M為蒙日圓上一個動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P、Q兩點，則ΔMPQ面積的最大值為.（用含b的代數(shù)式表示）82023·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)間的“曼哈頓距離”定義x2+y1y2，則平面內(nèi)與兩定點F1(1,0)和F2(1,0)的“曼哈頓距離”之和等于4的點的軌跡圍成的面積為.專題21平面解析幾何（選填壓軸題） 1②范圍（最值）問題 11 21 30⑤新定義新文化題 3512023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學?？计谀┰O橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1,F2橢圓C上的任意一點，.的最小值取值范圍為c2,3c2，其中a2=b2+c2，則橢圓C的離心率為()【答案】D【詳解】由題意可知，F(xiàn)1(一c,0),F22------(cx,y)------2cy PF.PF22cy PF.PF22cb2------2c22當y2=b2時，PF1.PF2取得最小值a2一------2c22222222-3即橢圓C的離心率為,.故選：D.22023秋·天津北辰·高二校考期末）若雙曲線C:-所截得的弦長為2，則C的離心率為()【答案】B【詳解】雙曲線C的漸近線方程為y=土x，直線y=土x被圓x2+(y-2)2=4所得截得的弦長為2，由點到直線的距離公式可得2 2，解得故選：B.32023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習）已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A，B兩點，且|AB|=2AF1，若經(jīng)F1AF2=，則雙曲線離心率為()【答案】A在△AF1F2中，令雙曲線半焦距為c，由余弦定理得：(2a)2+(4a)2一2x2ax4acos=(2c)2，解得c=a，所以雙曲線離心率e==.故選：A42023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知雙曲線C:一F，F(xiàn)2，若在C上存在點P(不是頂點)，使得經(jīng)PF2F1=3經(jīng)PF1F，則C的離心率的取值范圍為())【答案】AF2，且三角形內(nèi)角和為180。，故選：D故經(jīng)PF1F2。所以C的離心率的取值范圍為(,2)，故選：A52023·福建福州·福州四中?？寄M預測）已知雙曲線C:一,A2分別為左、左頂點，P為C右支上的點，且OP=OF（O為坐標原點）.若直線PF與以線段A1A2為直徑的圓相交，則C的離心率的取值范圍為()C．)【答案】D【詳解】設雙曲線的右焦點為F1，則OP=OF=|OF1|，P為C右支上的點，取PF的中點為B，連接OB，則OB」PF，又直線PF與以線段A1A2為直徑的圓相交，故0<t<a，即雙曲線離心率的范圍為1<e<，即C的離心率的取值范圍為(1,)，62023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考階段練習）雙曲線-=1和橢圓+=1有共同的焦點，則橢圓的離心率是() 【答案】D【詳解】對于雙曲線-=1，設右焦點為(c1,0)，設右焦點為(c2,0)，所以c22=2m2-n2，因為有共同的焦點，所以m2=3n2， 5n 5n2所以橢圓的離心率是e=1== 6n26 2m2 6n26故選：D.72023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）過點(2,2)能作雙曲線x2率e的取值范圍為.【詳解】當過點(2,2)的直線的斜率不存在時，直線的方程為x=2，-=1的兩條切線，則該雙曲線離心2-=1相交，不合乎題意；當過點(2,2)的直線的斜率存在時，設直線方程為y-2=k(x-2)，即y=kx+(2-2k)，(2-22k)lax-y=a可得(k2-a2)x2-4k(k-1)x+4(1-k)2+a2=0，因為過點(2,2)能作雙曲線x2-=1的兩條切線，2-a22(k-1)2-4(k2-a2)4(1-k)2+a2=由題意可知，關(guān)于k的二次方程3k2-8k+4+a2=0有兩個不等的實數(shù)根，432)，4()24()82023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C：-=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為雙曲線C右支上一點，直線AF1交雙曲線的左支于點B，若AB=AF2，且原點O到直線AF1的距離為1，則C的離心率為.【答案】【詳解】：點A為雙曲線C右支上一點，:AF1-AF2=2a，：點B為雙曲線C左支上一點，過O,F2作直線AF1的垂線，垂足分別為M,N,則OM//F1N,又O為F1F2的中點，可得F1N=2OM=2，0la2c2a2c2b22c在直角三角形F1NF2中F1N2+F2N2=F1F22,244a21)12a2=a4a21,平方可得a2=4,1,3227(c)2:C的離心率為.故答案為：.別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.「)【詳解】方法一：設點M的坐標是(x0,y0)，則x0<a.0,y0)00002又點M在橢圓上，即y=b2一x，2，即c2eb2,a2)，222c2，即「)方法二：設點M的坐標是(x0,y0)，0，得x2=2c2-b2)2，2由②得c2-b2<c2，此式恒成立.由①得c22，即c2「)「)方法三：設橢圓的一個短軸端點為P，222-c2，即（經(jīng)F1MF2最大時，M為短軸端點） 1,2「)「)102023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知橢圓C:+=1(a>b>0)，A,B是長軸的左、右端點，動點M滿足MB」AB，連接AM，交橢圓于點P，且.為常數(shù)，則橢圓離心率為.【答案】/1【詳解】由題意設P(x0,y0),M(a,t)(t子0)，因為A,P,M三點共線，所以=，得t=，00a+xa02(ax0)a222b2x0--------------所以a2=2b2=2(a2c2)，得a2=2c2，a22故答案為：112023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C：x2yx2a2b2曲線C的漸近線于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限.設O為坐標原點，若△OAF的面積為ΔOBF面積的2倍，且AF=a，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的焦點為F(c,0)，漸近線方程為y=土x，依題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k(x一c)，3【答案】【答案】/A=，yA=k-（aa)同理可求得B,，由于△OAF的面積為‘OBF面積的2倍，所以yA=-2yB，此時A,，由于AF=a，22-a2，所以①可化為81c4-72a2c2-128a4=0，兩邊除以a4得81e4-72e2-128=0，9e2故答案為：122023·福建寧德·?？寄M預測）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點是F，直線y=kx交橢圓OFAF2CF于A,BOFAF2CF【詳解】設橢圓的左焦點為E，連接AE，BE，BF，CE，OFAF2CFOFAF2CF所以ΔAEF，△AFB，△BEF均為直角三角形，所以四邊形AEBF為矩形，所以在直角ΔAEF中AE2+AF2=EF2，即(2a一2t)2+(2t)2=(2c)2①,由②解得t= a ,3將t=代入①得a2=4c2，即=，53②范圍（最值）問題12023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知橢圓C：+=1的右焦點為F，O為坐標原點，點P,Q為橢圓C上的兩點，且4kOP.kOQ+3=0，R為PQ中點，則|RF|的最小值為()【答案】D【詳解】由橢圓C:x2+y2=1可得a244t21，即c=1，所以右焦點F(1,0)； 4t2(4t2)2t23，解得t2=2，=一4這時PQ的中點R在x軸上，且R的橫坐標為土，當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y=kx+t，t設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則PQ的中點R(，y12)，22124k2t212k28k2t2+3t2+4k2t23t212k2,2可得2t2=3+4k2，符合△>0，(-4kt(2k|x=-t42〈(2k|x=-t42〈，兩式平方相加可得：x2+|2|2+4k2即R的軌跡方程為：+=1，焦點在x軸上的橢圓，所以RF>-1，當R為該橢圓的右頂點時，取2等號，綜上所述：FR的最小值為-1，故選：D.22023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）設a，b為正數(shù)，若直線ax-by+1=0被圓x2+y2+4x-2y+1=0截得弦長為4，則的最小值為()【答案】D故圓的直徑是4，所以直線過圓心(-2,1)，即2a+b=1，故選：D.32023·山東·山東師范大學附中?？寄M預測）在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4．設「12)(12]「1212]「12]「12)(12]「1212]「12]【答案】D【詳解】圓心C的橫坐標為a，則圓心C的坐標為(a,2a-4)，則圓C的方程(x-a)2+(y-2a+4)2=1，設M(x,y)，由MA=2MO，可得x2+(y-3)2=2x2+y2，整理得x2+(y+1)2=4，則圓(x-a)2+(y-2a+4)2=1與圓x2+(y+1)2=4有公共點，故選：D.5x2442023·北京·?？寄M預測）已知橢圓x242=1.過點(m,0)作圓x2+y2點.將AB表示為m的函數(shù)，則AB的最大值是()【答案】B當m=-1時，同理可得AB=3；當m>1時，設切線方程為y=k(x-m)，1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0，設A，B兩點兩點坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則2x2又由l于圓x2+y2=1相切，得1=1，即m2k2=k2+1，4k2m2-4]644k2m2-4]64k4m241+4k21+4k221+k2| |-x2)2m2+3)，4m44m4m∴AB的最大值為2.故選：B.252023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C:,F為2，焦點到漸近線的距離為.過F2作直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點，若H,G分別為△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)心，則HG的取值范圍為()【答案】D【詳解】由題意，xy - a22a2a記△AF1F2的內(nèi)切圓在邊AF1，AF2，F(xiàn)1F2上的切點分別為M,N,E，則H，E橫坐標相等AM=AN，F(xiàn)1M=F1E，F(xiàn)2N=F2E，記H的橫坐標為x0，則E(x0,0)，同理內(nèi)心G的橫坐標也為a，故HGLx軸.設直線AB的傾斜角為θ,則經(jīng)OF2G=θ,經(jīng)HF2O=90。-θ（Q為坐標原點），3由于直線l與C的右支交于兩點，且C的一條漸近線的斜率為=，傾斜角為60。，。<θ<120。，即<sinθ<1，「4)「4)故選：D.交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()【答案】B【詳解】∵直線l是圓C：x2+y2=1的切線，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，①當AB⊥x軸時，|AB|=.②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m.把y=kx+m代入橢圓方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，2x22)(x2-x1)2222-(3k22令t=k2-1(teR)由韋達定理可得y1+y22由韋達定理可得y1+y22283 當且僅當9t=時等號成立.當且僅當9t=時等號成立.綜上所述AB=.故選：B.72023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:一=1(a>0)，過其右焦點F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，已知AB=16，若這樣的直線l有4條，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】記c=，若直線l與x軸重合，此時，AB=2a；若直線l」x軸時，將x=c代入雙曲線方程可得y=士，此時AB=，所以，雙曲線C的實軸長和通徑長不可能同時為16；當直線l與x軸不重合時，記c=，則點F2(c,0)，2(12m2a2)y2+24mcy+144=0，2222222222222222222222222224mc12m2a21y2=12m2a2,ABm=+.y22ABm=+.24am2+112m2224am2+112m22a12m2a22a所以，關(guān)于m的方程3a(m2+1)=212m2a由四個不等的實數(shù)解.當12m2-a2>0時，即當m2>時，可得3a(m2+1)=2(12m2-a2)，可得m2=-當12m2-a2<0時，即當m2<，可得3a(m2+1)=2(a2-12m2)，323282023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C的圓心在拋物線x2=2py(p>0)上運動，且圓C過定點A(0,p)，圓C被x軸所截得的弦為MN，設AM=m，AN=n，則+的取值范圍是.【答案】2,2故圓C的方程(x-x0)2+y-2=+-p2，令y=0有(x-x0)2+=x+-x+p2，故(x-x0)2=p2，解得x1=x0+p，x2=x0-p，故MN=x1-x2=2p.設經(jīng)MAN=θ,因為S‘MAN=AM.AN.sinθ=OA.MN=p2，所以mn=，又由余弦定理可得m2+n2-2mncosθ=4p2，所以m2+n2=4p2+cosθ=4p2θ,2x2x22x222222nm當且僅當θnm的取值范圍為2,2.故答案為：2,292023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ>0且λ士1）的點的軌跡是圓”，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知A(0,1)，,2，Q為拋物線y2=4x上的動點，點Q在直線x=上的射影為H，M為圓的阿氏圓，則22+y2=2上的動點，若點P的軌跡是到A，B兩點的距離之比為的阿氏圓，則2MC+QH+QM的最小值為.【答案】3 【詳解】設P(x,y)，由題意=22，即 2個單位得到的，2+y2=2可以看作把圓x2+y2=2向左平移 2個單位得到的，所以根據(jù)阿氏圓的定義有PA=PB，所以MD=MC，又由拋物線定義有QH=QF，當且僅當D，M，Q，F(xiàn)四點共線，且Q，M在D，F(xiàn)之間時取等號，故MC+QH+QM的最小值為3.故答案為：3.102023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）已知雙曲線點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，AF2，BF2分別交y軸于P，Q兩點，若‘PQF2的周長為16，則的最大值為.【答案】4【詳解】∵AB」x軸且過F1，則AB為雙曲線的通徑，由xA=xB=-c，代入雙曲線可得yA=-yB=，故AB=2b2.aO為F1F2的中點，AB∥PQ，則PQ為△ABF2的中位線，故AB=2PQ,AF2=2PF2,BF2=2QF2，故由①②可得32-=4a+，即b2=a(8-a)>0，可得ae(0,8).故答案為：4112023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知F為拋物線：y2=4x的焦點，過直線l:x=-2上任一點P向拋物線引切線，切點分別為A，B，若點M(4,0)在直線AB上的射影為H，則FH的取值范圍為.【答案】[1,3).【詳解】設A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(一2,t)，不妨設A在x軸上方，1 ,1 ,代入(2,t)得ty1=(2x1)，又y1=2，∴y1t2x1=2x1，得x1y1t2=0，同理可得x2y2t2=0.因此直線AB的方程為x一ty一2=0，直線AB過定點N(2,0)，MH」AB，∴H在以MN為直徑的圓上，該圓圓心Q(3,0)，半徑為1，t=0時，直線AB方程為x=2，此時，AB與x軸垂直，H點與N點重合，即FH=1，H點不可能與M點重合，最大值取不到.所以FH的范圍是[1,3).C22+y22交點的軌跡為M，過平面內(nèi)的點P作軌跡M的兩條互相垂直的切線，則點P的軌跡方程為()222225【答案】A，2+y22圓心C2(-,0)，設兩圓交點為N(x,y)，則由題意知NC1=r，NC2=4-r，所以NC1+NC2=4，又由于C1C2=2，所以由橢圓定義知，交點N是以C1(,0)、C2(-,0)為焦點的橢圓，a-cx24=1，所以軌跡Mx24設點P(x0,y0)，當切線斜率存在且不為0時，設切線方程為：y-y0=k(x-x0)，聯(lián)立〈消y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，即(4-x)k2+2x0y0k+1-y=0，由于k1k2=-1，則由根與系數(shù)關(guān)系知=-1，即x+y=5.牽牽故所求軌跡方程為x2+y2=5.故選：A.22023·貴州黔西·?？家荒＃┰谡襟wAC1中，點M為平面ABB1A1內(nèi)的一動點，d1是點M到平面ADD1A1的距離，d2是點M到直線BC的距離，且d1=λd2(λ>0)(λ為常數(shù)），則點M的軌跡不可能是()【答案】A【詳解】由條件作出正方體AC1，并以A為原點，直線AB、AD和AA1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設正方體AC1的棱長為a（a>0），點M(x,0,z)， 22a-x+z 22a-x+z由d1(λ>0)，得x=λ(a-x)2+z2，所以x2=λ2(a-x)2+z2，即λ2z2+(λ2-1)x2-2λ2ax=-λ2a2①(λ>0當λ=1時，①式化得：z2=2ax-a2，此時，點M的軌跡是拋物線；2-=-λ2a2，即λ2z2+(λ2-1)2牽λ2z2+(λ2-1)z2λ2-1(λ2a)22λ2-1λ2-12當0<λ<1時，λ2-1<0，則②式，是雙曲線的方程，即點M的軌跡為雙曲線；當λ>1時，λ2-1>0，則②式，是橢圓的方程，即點M的軌跡為橢圓；故選：A.32023·全國·高二專題練習）已知動點P(x,y)滿足常數(shù)則動點P的軌跡是()【答案】C2x22x22x22x2+5=a+a（a為大于零的 2【詳解】x2+y2的幾何意義為點P(x, 2【詳解】x2+y2同理x2+(y+2)2的幾何意義為點P(x,y)與點B(0,一2)間的距離， 當且僅當a=，即a=時取等，2即動點P到點A與到點B的距離之和為定值，且大于AB，所以動點P的軌跡為橢圓，故選：C.42023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中）已知圓x2+y2一4y=0的圓心為S，)的直線m交圓S于C、D兩點，過點T作SC的平行線，交直線SD于點M，則點M的軌跡為()A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．雙曲線一支【答案】B2因為SC平行與TM，SD=SC，所以MT=MD，故MT一MS=SD=2，故點M的軌跡為雙曲線.故選：B52023·高二課時練習）已知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足PF1-PF2=2a（a為常數(shù)則下列說法中錯誤的是()A．a(chǎn)=0時，點P的軌跡是y軸B．a(chǎn)=1時，點P的軌跡是一條直線【答案】B【詳解】對選項A：a=0時，PF1=PF2，點P的軌跡是y軸，正確；對選項B：a=1時，PF1-PF2=2=F1F2，點P的軌跡是兩條射線，錯誤；對選項C：當a<0時，PF1-PF2<0不成立；當a>1時，PF1-PF2=2a>F1F2不成立，點P的軌跡不存在，正確；對選項D：0<a<1時，根據(jù)雙曲線定義知，點P的軌跡是雙曲線，正確.故選：B62023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C的方程為x2+y2=16，直線l為圓C的切線，記A(-2,0),B(2,0)兩點到直線l的距離分別為d1,d2，動點P滿足PA=d1，PB=d2，則動點P的軌跡方程為()2【答案】B【詳解】如圖，分別過點A,O,B做直線l的垂線，垂足分別為A1,O1,B1，則AA1//OO1//BB1，d1=AA1,d2=BB1，切點為O1,因為A(-2,0),B(2,0)，所以O是AB的中點，,又因為圓C的方程為x2+y2=16，r=4，2所以動點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為8的橢圓，所以動點P的軌跡方程為+=1.故選：B72023·高二課時練習）在‘ABC中，已知A(-1,0),C(1,0)，若a>b>c，且滿足2sinB=sinA+sinC，則頂點B的軌跡方程是()【答案】A【詳解】解：在‘ABC中，因為2sinB=sinA+sinC，所以點B的軌跡是以A(-1,0),C(1,0)為焦點的橢圓的左半部分，故選：A.動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.F，c=5，于是b2=c2-a2.∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，且a=.424外切，則動圓P圓心92023·全國·高三對口高考）已知動圓P過點N(-2,0)，且與圓M:(x-2)2+y外切，則動圓P圓心P(x,y)的軌跡方程為.【答案】x2-y2=2，(x<-)【詳解】定圓的圓心為M(2,0)，與N(-2,0)關(guān)于原點對稱，設動圓P的半徑為r，則有PN=r，因為與圓M:(x-2)2+y2=8外切，所以PM=2+r，即PM-PN=2<MN=4，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，故答案為：x2-y2=2，(x<-)102023·全國·高三專題練習）已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(+)·(-)=0．則動點P的軌跡方程為；【詳解】設P(x,y)，則Q(8,y)，即4(x-2)2+y2=(x-8)2+(y-y)2，化簡得+=1，所以點P在橢圓上，即動點P的軌跡方程為+=1.112023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知△HMN的周長是18，M，N是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若MN=6，動點G滿足++=.則動點G的軌跡方程為；不妨設M(-3,0)，N(3,0)，則GF1∥HM，GF2∥HN，所以點G是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓（除去長軸端點），122023春·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學校考期中）一個動圓與圓C1:x2+(y+3)2=1外切，與圓:x2+(y-3)=81內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為.【詳解】設動圓圓心為M，半徑為r，根據(jù)題意知：|MC1|=1+r，|MC2|=9-r，|=6，所以圓心M的軌跡為橢圓.因為焦點在y軸上，故圓心軌跡方程為：+=1.132023·全國·高二課堂例題）已知點A(0,2),B(0,-2),C(3,2)，若動點M(x,y)滿足|MA|+|AC|=|MB|+|BC|，則點M的軌跡方程為.【答案】y2-=1(y<-1)即|MA|-|MB|=2.故M(x,y)的軌跡是以A(0,2),B(0,-2)為焦點,2a=2的雙曲線的下支.此時a=1,c=2.故b22-a2=3.故y2-=1(y<-1).故答案為：y2-=1(y<-1)142023·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】x2=-12y【詳解】設動圓半徑為r，則M到直線y=2的距離為r，MC=r+1，故M到(0,-3)的距離等于到y(tǒng)=3的距離，故軌跡為拋物線，即x2=-12y.故答案為：x2=-12y.++12023·全國·高三對口高考）已知實數(shù)x，y滿足：+=1，則x-y的最大值為()【答案】B【詳解】令m=x-y，則直線2x-y-2m=0與+=1有交點情況下，直線在x軸上截距最大，假設直線與橢圓相切，則x2+3(x-m)2=3，即4x2-6mx+3m2-3=0，要使2x-y-2m=0在x軸上截距最大，即m=2.故選：B.22023秋·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？计谀┪覈麛?shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如：與(x-a)2+(y-b)2相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點B(a,b)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，若實數(shù)x,y滿足xx2xx2y-2x-y-2x-3的取值范圍是()【答案】C【詳解】因為x2+y2+4x+4+x2+y2-4x+4=+(x-2)2+(y點(x,y)到點(-2,0)和點(2,0)的距離之和為4，故點(x,y)在橢圓+=1上.表示點P(3,2)與橢圓+=1上一點所連直線的斜率，設該直線的方程為y=k(x-3)+2，由圖可知，當直線與橢圓相切時，k取得最值.(1+2k2)x2-(12k2-8k)x+18k2-24k=0，故選：C.32023·全國·高三專題練習）已知點P為函數(shù)f(x)=ex的圖象上任意一點，點Q為圓(x-1)2+y2=1上任意一點，則線段PQ長度的最小值為()【答案】A【詳解】由圓的對稱性可得只需考慮圓心M(1,0)到函數(shù)f(x)=ex圖象上一點的距離的最小值.設f(x)圖象上一點N(m,em)，令f(x)圖象上一點N(m,em)的切線為l由f(x)的導數(shù)為f,(x)=ex，即切線l的斜率為k=em，當MN」l時，圓心M(1,0)到函數(shù)f(x)=ex圖象上一點的距離最小，此時=-e-m，即有e2m+m-1=0，由g(x)=e2x+x-1，可得g,(x)=2e2x+1>0，g(x)遞增，又g(0)=0，所以m=0，:N(0,1)，所以點(0,1)到點Q的距離最小，且為，則線段PQ的長度的最小值為-1，故選：A.42022·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎獙崝?shù)x，y滿足xx-=1，則3x-y-6的取值范圍是()B．6-,6)「)「)【答案】B【詳解】因為實數(shù)x，y滿足xx-=1，所以當x之0,y之0時，x2-=1，其圖象是位于第一象限，焦點在x軸上的雙曲線的一部分（含點(1,0)x2+=1其圖象是位于第四象限，焦點在y軸上的橢圓的一部分，-x2-=1其圖象不存在，-x2=1其圖象是位于第三象限，焦點在y軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中xx-=1圖象如下：任意一點(x,y)到直線x-y-6=0的距離d= x-y-62所以3x-y-6=2d，結(jié)合圖象可得3x-y-6的范圍就是圖象上一點到直線x-y-6=0距離范圍的2倍，2雙曲線x2-雙曲線x232=1其中一條漸近線x-y=0與直線x-y-6=0平行，通過圖形可得當曲線上一點位于P時，2d取得最小值，無最大值，2d小于兩平行線x-y=0與 x-y-6=0之間的距離3的2倍，2=1其圖像在第一象限相切于點P，22x-4=-或c=（舍去）所以直線x-y-=0與直線x-y-6=0的距離為此時3x-y-6=2d=6-，所以3x-y-6的取值范圍是6-,6).故選：B.52023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)x,y滿足xx-yy=1，則x-y的取值范圍是()A．-,00,2【答案】C【詳解】當x之0，y之0時，方程為x2-y2=1，是雙曲線x2-y2=1在第一象限的部分；當x<0，y之0時，方程為-x2-y2=1，不能表示任何曲線；當x<0，y<0時，方程為y2-x2=1，是雙曲線y2-x2=1在第三象限的部分；當x之0，y<0時，方程為x2+y2=1，是圓x2+y2=1在第四象限的部分；其圖象大致如圖所示：令x-y=t，則直線x-y=t與曲線xx-yy=1有公共點，：xx-yy=1表示的曲線如圖，則當表示部分雙曲線時，該曲線的漸近線斜率1，和直線x-y=t平行，:t>0；把直線往下移，直到如圖與第四象限的圓相切，此時圓心到直線的距離等于半徑， 2:=1，解得：t=土，又是與第四象限圓相切， 2若直線繼續(xù)下移，則無交點，不合題意；綜上所述：0<t<，即x-y的取值范圍為(0,.故選：C.062023·河南·統(tǒng)考模擬預測）若直線l：y=-x+m與曲線C：+=1有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為()-2,0)u0,2【答案】B當x<0時，曲線C的方程為-=1，軌跡為雙曲線-=1的左半部分，其漸近線為y=土x，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線y=-x平行的直線，平行移動直線y=-x，可得直線l，如圖可知，當直線l介于直線y=-x和l1（l1與l平行且與橢圓相切，切點在第一象限）之間時，直線l與曲線C有兩個公共點.聯(lián)立〈，消去x并整理得2y2-2聯(lián)立〈，消去x并整理得2y2-2m0y+m02-），故選：B.72022·高二單元測試）橢圓+=1上的點到直線x+2y-=0的最大距離是【答案】【詳解】設直線x+2y+c=0與橢圓x2+y2=1相切.當c=4時符合題意(c=-4舍去).即x+2y+4=0與橢圓+=1相切,橢圓+=1上的點到直線x+2y-=0的最大距離即為兩條平行線之間的距離:d=-=⑤新定義新文化題12023·江蘇·高二假期作業(yè)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的面積為2π,兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標準方程是()【答案】A222，解得故選：A.22023春·云南紅河·高二開遠市第一中學校?？茧A段練習）公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點A(-1,0)和B(2,1)，且該平面內(nèi)的點P滿足PA=PB，若點P的軌跡關(guān)于【答案】B【詳解】設點P的坐標為(x,y)，因為PA=PB，則PA2=2PB2，所以點P的軌跡方程為(x-5)2+(y-2)2=20，所以圓心(5,2)在此直線上，即5m+2n=2，所以+的最小值是20.故選：B.32023·全國·高三專題練習）閔氏距離（Minkowskidistance）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常見的方法，設點A、B坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則閔氏距離Dp(A,B)=(x1-x2p+y1-y2p)1p(pEN*). 若點A、B分別在y=ex和y=x-1的圖像上，則Dp(A,B)的最小值為()【答案】A【詳解】由題意得，設A(x1,ex1),B