專題05角的平分線（七大題型跟蹤訓(xùn)練）

專題05角的平分線（七大題型+跟蹤訓(xùn)練）題型1：角平分線的性質(zhì)定理1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A．2m B．3m C．4m D．6m【答案】A【分析】先由由題意可求DC的長，由角平分線的性質(zhì)可求解．【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，∵AC＝8m，，∴DC＝2m，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，∴CD＝DH＝2m，∴點(diǎn)D到AB的距離等于2m，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．如圖，，是的中點(diǎn)，平分，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件和平行線的性質(zhì)可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)角平分線的判定定理可得是的角平分線，進(jìn)而可得【解析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，,平分，，是的中點(diǎn)，平分故選A【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，則的長是______．【答案】10【分析】過點(diǎn)D作于F，然后利用角平分線的性質(zhì)得到，然后利用的面積公式列式計算即可得解．【解析】解：過點(diǎn)D作于F，∵是的角平分線，于點(diǎn)E，∴，∴，解得．故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．4．如圖，在中，是的平分線，過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，若，則的長為________．【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可．【解析】∵是的平分線，，，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理．5．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，若，則的面積為________．【答案】36【分析】過D作于F，由角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．【解析】解：過D作于F，∵，∴，∵平分，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，∴，∴的面積．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．題型2：角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用6．三條公路將三個A，，村莊連成一個三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)：“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可知，應(yīng)建在三條平分線的交點(diǎn)．【解析】解：∵集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，∴集貿(mào)市場應(yīng)建在三條平分線的交點(diǎn)．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，理解角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，直線a、b、c表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個，可得可供選擇的地址有4個．【解析】解：內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；如圖：點(diǎn)是兩條外角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，，，，點(diǎn)到的三邊的距離相等，兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個；綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個，可供選擇的地址有4個．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)．注意掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，小心別漏解．8．如下圖，AO、BO、CO分別平分、、，，的周長為12，，則的面積為__________．【答案】12【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得OD＝OE＝OF，再根據(jù)三角形面積計算即可得解．【解析】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∵，∴OD＝OE＝OF＝2，∵△ABC的周長為12，∴△ABC的面積＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟記角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則：：___________【答案】4：6：5【分析】過點(diǎn)作三邊的高，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，根據(jù)三角形面積公式得到面積之比等于三邊之比即可得到答案．【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、、是的三條角平分線，，，，的長分別為40，50，60，：：：：：：4：6：5故答案為：4：6：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的做法，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．10．如圖，雙驕制衣廠在廠房O的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公路相連，并且廠房O與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且．已知廠房O到每條公路的距離相等．（1）則點(diǎn)O為三條_____的交點(diǎn)（填寫：角平分線或中線或高線）；（2）如圖，設(shè)，，，，，，現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是_____．【答案】角平分線【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)題意，得到三條路線，在上截取，連接，證明，利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到最短路徑．【解析】解：（1）∵廠房O到每條公路的距離相等，∴點(diǎn)O為三條角平分線的交點(diǎn)；故答案為：角平分線．（2）如圖：有三條路線可走：，在上截取，連接，∵點(diǎn)O為三條角平分線的交點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，同理，∴最短，即最短路線長為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．題型3：角平分線的判定定理11．如圖所示，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則________．【答案】/35度【分析】根據(jù)條件證明是的角平分線，即可求得．【解析】∵，，，∴是的角平分線，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的角平分線的判定定理得到都是角平分線，故可求解．【解析】解：∵O到三角形三邊距離相等，∴O三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴都是角平分線，∴，，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形角平分線的判定定理，與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的判定定理．13．如圖，，，于．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過C點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)F．由證明，可得，結(jié)論得證；（2）證明，可得，可求出．【解析】（1）證明：過C點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)F．∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．14．如圖，，，，，交于點(diǎn)，連接.求證：(1)；(2)平分.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定；（2）首先作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由，可得，即可證得平分．【解析】（1）證明：，在和中，（2）證明：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在和中，，又，，平分【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)以及角平分線的判定，此題難度適中，注意掌握輔助線的做法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是證明三角形全等．題型4：角的平分線—尺規(guī)作圖15．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得，進(jìn)而逐項分析判斷即可求解．【解析】解：根據(jù)作圖可得，故A，C正確；∴在的垂直平分線上，∴，故D選項正確，而不一定成立，故C選項錯誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．16．閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，連接，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作圖過程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．【解析】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；不能確定,故C選項不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點(diǎn)，使點(diǎn)到邊、的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】點(diǎn)P到、的距離相等，說明點(diǎn)P在的角平分線上，作出角平分線即可得到答案．【解析】解：∵需要在邊上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到、的距離相等，∴點(diǎn)P是的平分線與的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作角的平分線，懂得把問題轉(zhuǎn)化成角平分線的問題是解題關(guān)鍵．18．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，則的面積是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，由題意可知，平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，由題意可得：平分，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?角平分線、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若點(diǎn)到的距離為，則的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型5：角平分線的最值問題20．如圖，平分，于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線上的一個動點(diǎn)，若，則的最小值為___________【答案】2.5//【分析】根據(jù)垂線段最短可得時，最短，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，從而得解．【解析】解：當(dāng)時，的值最小，∵平分，，∴，∵，∴的最小值為2.5．故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，點(diǎn)P是平分線上一點(diǎn)，，垂足為D，且，點(diǎn)M是射線上一動點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】2【分析】根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時，最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答案．【解析】解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)時，最小，當(dāng)時，又平分，，，，故的最小值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中，是的平分線．若分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】【分析】過點(diǎn)作交于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由是的平分線可得，這時有最小值，即的長度，再根據(jù)，即可求得答案．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作交于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

，是的平分線，，，，這時有最小值，即的長度，，，，即的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出滿足有最小值時點(diǎn)和點(diǎn)的位置．題型7：角平分線的判定與性質(zhì)的綜合題23．如圖，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平分．(1)求證：是的平分線；(2)已知，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，根據(jù)等量代換可得，再根據(jù)角平分線的判定可得平分；（2）利用（1）的結(jié)論證明和，可推出，，再根據(jù)，，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，平分，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，，∴平分．（2）解：∵，，∴和都為，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴和都為，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴．∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用等積法計算四邊形的面積．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理．24．如圖，在中，點(diǎn)在邊的延長線上，，的平分線與外角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．(1)求的度數(shù)．(2)若，，，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，得出是的角平分線，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出，即可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由（1）可知：，根據(jù)，且，得出，根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，是的平分線，是的平分線，∴，，∴∴是的角平分線，∴，∵，∴，即∴（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由（1）可知：，，且，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題型7：線段垂直平分線與角平分線的綜合題25．如圖，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用證出，得到，再利用證出，得到，即可證明結(jié)論；（2）由（1）知，得到，，再利用證出，得到，，即可證明結(jié)論．【解析】（1）∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是的平分線；（2）如圖，由（1）知，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴線段垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合，熟練掌握角平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．26．如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上即可證明；（2）如圖，過D作于M，結(jié)合已知易證即，同理可得，易證得，同理可得，然后轉(zhuǎn)換求周長即可．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，∴A在的垂直平分線上，又，∴D在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（2）如圖，過D作于M，，又是等邊三角形，同理可得平分，平分，在與中同理可得.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造線段相等、進(jìn)行轉(zhuǎn)換．27．在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若點(diǎn)D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC的外部時，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延長線于F，且BE＝CF．①求證：點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②BE＝．（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，交AD與點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥BE，交BC于點(diǎn)G，則①∠DFG＝；②若BC＝8，EC＝，則GC＝．（3）如圖3，過點(diǎn)A的直線lBC，若∠C＝90°，BC＝8，點(diǎn)D到△ABC三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)D到直線l的距離是．【答案】（1）①見解析；②2；（2）①45°；②；（3）2或4或6或12．【分析】（1）①由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，得出DE=DF，借助Rt△BDE≌Rt△CDF，得到BD=CD，即可證明點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②通過Rt△ADE≌Rt△ADF證出AE=AF，從而有ABBE=AC+CF，即可得出2BE=4，即可求出BE的長；（2）①先利用角平分線的定義求得∠ABF+∠BAF=45°，再利用三角形的外角性質(zhì)求得∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，即可求解；②延長FG交AB于H，證明△AFH≌△AFE(ASA)，得到AH=AE，再由△BFG≌△BFH(ASA)，即可求解；（3）分4種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【解析】（1）①證明：連接BD，CD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(SAS)，∴BD=CD，∴點(diǎn)D在BC的垂直平分線上；②由①知：DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵BE=CF，∴ABBE=AC+CF，∴10BE=6+BE，∴BE=2；故答案為：2；（2）①∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°=45°，即∠ABF+∠BAF=45°，∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，∴∠DFG=90°∠DFB=45°；故答案為：45°；②延長FG交AB于H，∵∠AFH=∠DFG=45°，∠AFE=∠BFD=45°，∴∠AFH=∠AFE，∵∠HAF=∠EAF，AF=AF，∴△AFH≌△AFE(ASA)，∴AH=AE，∴AB=10，AC=6，BC=8，EC=，∴AE=ACCE=6，∴AH=AE，∴BH=ABAH，∵∠CBE=∠ABE，∠BFH=∠BFG，BF=BF，∴△BFG≌△BFH(ASA)，∴BH=BG，∴GC=BCBG，故答案為：；（3）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時，如圖：∵，∴，∴h=2，點(diǎn)D到直線l的距離是ACh=62=4；當(dāng)點(diǎn)D在BC的下方時，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為x，由題意得：BE=8x，AE=AF，∴10+8x=6+x，∴x=6，點(diǎn)D到直線l的距離是AF=12；當(dāng)點(diǎn)D在AC的右邊時，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為y，同理可得：8+y=10+6y，∴x=4，點(diǎn)D到直線l的距離是6y=2；當(dāng)點(diǎn)D在AB的上方時，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為z，同理可得：z6+z8=10，∴z=12，點(diǎn)D到直線l的距離是z6=6；綜上，點(diǎn)D到直線l的距離是2或4或6或12．故答案為：2或4或6或12．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．28．我們知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸，角平分線有許多性質(zhì)．（1）如圖1，在的平分線上截取線段，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E、F．畫直線，分別交、于點(diǎn)D．G連結(jié)，，則形狀一定是_____________________；（2）如圖2，在中，，平分，過點(diǎn)D作于M，連結(jié)，若，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)D是的平分線上一點(diǎn)，P是邊上一點(diǎn)，若，，點(diǎn)D到的距離為8，直接寫出線段的長．【答案】（1）等腰三角形；（2）見詳解；（3）21或9【分析】（1）證明OC是DG的中垂線，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作DN⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)N，先證明Rt?ADN?Rt?ADM，得AN=AM，從而得MB=CN，再證明?CDN??BDM，可得∠DCN=∠ABD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt?ADF中，求出AF的值，然后分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)F得右邊時，當(dāng)點(diǎn)P2在點(diǎn)F得左邊時，別分求解，即可．【解析】（1）∵分別以點(diǎn)O和點(diǎn)C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E、F，∴EF⊥OC且EF平分OC，∵OM平分∠AOB，∴OM是∠AOB的對稱軸，∴DP=GP，又∵DG⊥OC，∴OC是DG的中垂線，∴CD=CG，即是等腰三角形，故答案是：等腰三角形；（2）過點(diǎn)D作DN⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)N，∵AD是∠CAB的平分線，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DN=DM，又∵AD=AD，∴Rt?ADN?Rt?ADM（HL），∴AN=AM，∵，∴AM+MB+ANCN=2AM，即MB=CN，又∵∠CND=∠BMD=90°，DN=DM，∴?CDN??BDM（SAS），∴∠DCN=∠ABD，∴；（3）過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，由題意得：DE=8，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB∴DF=DE=8，∴在Rt?ADF中，AF=，當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)F得右邊時，在Rt?DFP1中，F(xiàn)P1=，∴AP1=AF+FP1=15+6=21，當(dāng)點(diǎn)P2在點(diǎn)F得左邊時，在Rt?DFP2中，F(xiàn)P2=，∴AP2=AFFP2=156=9，綜上所述：AP=21或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，點(diǎn)在平分線上，，，則點(diǎn)到的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的平分線，，，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．點(diǎn)在的角平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，∴點(diǎn)P到OB的距離為5，∵點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，∴PQ≥5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點(diǎn)C到射線OA的距離為（

）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：過點(diǎn)C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得度數(shù)，則結(jié)果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．6．在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D，，則AC長為（

）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】過作，垂足為，利用角平分線的性質(zhì)證出，再利用全等的性質(zhì)和勾股定理建立等式運(yùn)算求解即可．【解析】解：過作，垂足為∵為角平分線，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉利用角平分線的性質(zhì)證三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．下列說法正確的有（

）①角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等②到一個角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上③三角形三個角平分線的交點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理逐一判斷即得答案．【解析】解：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故①正確；在一個角的內(nèi)部，到一個角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上，故②錯誤，三角形三個角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，故③錯誤，④正確；綜上，正確的說法是①④，有2個．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AD平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”證明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，從而可以利用“SAS”證明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合題意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明△BDE≌△CDF，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．9．如圖，在中，，，BD是的平分線，設(shè)、的面積分別為、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：如圖，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)E，由BD是的平分線，得，由于，，又∵，∴．答案：A易錯：B錯因：誤以為．滿分備考：性質(zhì)中的“距離”是指“點(diǎn)到直線的距離”，因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等．10．如圖，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，有以下結(jié)論；①；②；③若，則；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)角相等推出線段相等，再將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可證明；②與不能得出全等的結(jié)論，無法證明；③若，無法推出；④利用三角形面積的公式即可證明；⑤通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系，從而證明．【解析】①∵∴，∵內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)∴，∴，∴，∴∴，故①正確．②與只有兩個角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，不能推出，故②錯誤③若，則，則，無法推出，故③錯誤④的面積為乘以點(diǎn)到線段的距離乘以的面積為乘以點(diǎn)到線段的距離乘以點(diǎn)到線段的距離與點(diǎn)到線段的距離相等∴，故④正確⑤過點(diǎn)E作于N，于D，于M，如圖，∵平分，∴∵平分，∴∴，∴平分，設(shè)，，，則，，∵，∴，∴°，∵，∴，∴，即，故⑤正確；故選C【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等多個知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)的定理進(jìn)行求解．二、填空題11．如圖，已知P是平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別是E、F，如果，那么．【答案】3【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等即可求解．【解析】解：∵P是平分線上一點(diǎn)，，，，故答案為：．12．在的網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則到兩邊距離相等的點(diǎn)是．【答案】M【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵，根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，故滿足條件的點(diǎn)是點(diǎn)M，故答案為：M．13．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，，垂足為E，若，則的長為．【答案】4【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，據(jù)此得到，由此求出的長，掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵平分交于點(diǎn)D，，∴，∵∴，故答案為：4．14．如圖在中，，平分，交于點(diǎn)D，垂直平分，交于點(diǎn)E，若，，則．【答案】【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．由垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求得的長是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵垂直平分，∴，，∵在中，，平分交于點(diǎn)D，∴，∴．故答案為：．15．閱讀作圖過程，并解答問題：①在，上分別截取，，使；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，如圖所示．已知點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接．若，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及角平分線作圖、垂線段最短：根據(jù)題意，得是的平分線，再結(jié)合角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可作答．【解析】解：∵根據(jù)題意，得是的平分線，∴點(diǎn)P到的距離為5，則的最小值為5，故答案為：516．如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，，和的面積分別為和．過點(diǎn)作于，則（填“、、”）；的面積為．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，先利用角平分線的性質(zhì)，即可得出與的數(shù)量關(guān)系；證明，從而可得，再證明，從而可得，然后結(jié)合圖形利用面積的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，∵是的角平分線，，，∴；在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵和的面積分別為和，∴，∴，∴，即，∴，∴，即的面積為．故答案為：；．17．如圖，平分，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．【答案】9【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計算即可得解．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，平分，，垂足為，，是線段的垂直平分線，，的面積．故答案為：9．18．如圖，在中，，于點(diǎn)，平分，且于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正確的是．【答案】①②④【分析】證明即可判斷①，證明即可判斷②；過作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合，可得，又可得，即可判斷③，證明、，可判斷④．【解析】解：①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在和△FBD中，，∴，∴，故①正確；②∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，故②正確；③如圖所示，過作于點(diǎn)，∵是邊的中點(diǎn)，，∴，即，∴，又∵平分，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，故③錯誤；④∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等腰三角形，即、都為等腰三角形，故④正確，∴正確的是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查等腰三角形的判定性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第三個問題難度比較大，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知：如圖，，垂足分別為D，E，與相交于點(diǎn)O，平分．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得，再證明，即可得到答案．【解析】證明：∵平分，∴，在和中，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)定理，三角形的性質(zhì)和判定，靈活應(yīng)用知識點(diǎn)結(jié)合圖形思考分析是解題重點(diǎn)．20．已知：如圖，于，于，若，；求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定，證是解題關(guān)鍵．【解析】證明：∵，，∴在和中：∴，∴又∵，，∴平分21．如圖，在中，．(1)用尺規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查基本作圖，等腰三角形的判定，角平分的定義，掌握角平分線的尺規(guī)作圖基本步驟及角平分線的定義性質(zhì)是解決的關(guān)鍵；（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖步驟，以為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫圓弧使其交于點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)，則即為所求；（2）根據(jù)角平分線的定義可以得到，即可證明；【解析】（1）解：作圖如圖所示，則為所求作的角平分線（2）證明：在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形，∴．22．如圖，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，平分，于點(diǎn)D，且，交的延長線于點(diǎn)B，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．（1）利用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)即可證明；（2）過點(diǎn)P作，垂足為G．利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用證明，推出，根據(jù)線段的和與差計算求解即可．【解析】（1）證明：，，是的垂直平分線，；（2）解：如圖，過點(diǎn)P作，垂足為G．平分，，，．在與中，．．在與中，，，．，，，．23．如圖，在中，，于點(diǎn)E，，交于點(diǎn)F，的延長線交于點(diǎn)G，連接，求證：(1)；(2)平分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．（1）證明，即可得結(jié)論；（2）證明，得，然后根據(jù)角平分線的判定即可解決問題．【解析】（1）證明：，，∵，，，，在和中，，，；（2）證明：在和中，，，，，，平分．24．我們學(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分任意一個角，而“利用尺規(guī)作圖三等分任意一個角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具——三分角器．如圖1是它的示意圖，其中與半圓O的直徑在同一直線上，且的