浙江省2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷考生須知：1．本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；3．所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集和并集概念及運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以?又因?yàn)椋?，，所以，，?故故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充分必要條件 D.非充分非必要條件【答案】A【解析】【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】若，則，即，故，充分性成立，不妨設(shè)，此時(shí)，但不滿(mǎn)足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A3.已知向量，，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可求解.【詳解】根據(jù)題意，，又，所以，即，解得.故選：A4.在四邊形ABCD中，O為任意一點(diǎn)，若，則（）A.四邊形ABCD是矩形 B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形 D.四邊形ABCD是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的減法可得，進(jìn)而分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，即，可知兩邊平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形，但沒(méi)有足夠條件判斷ABCD是否為矩形、菱形或正方形，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可判定選項(xiàng)A，利用正弦定理和大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)B，C，D.【詳解】對(duì)于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)正弦定理得，，又，，B有兩解，故B符合題意；對(duì)于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合題意.對(duì)于D，根據(jù)正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合題意.故選：B6.已知六邊形ABCDEF為正六邊形，且，，以下不正確是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的特征求出,，再由向量加法的三角形法則以及向量的減法即可求解.【詳解】如圖，設(shè)因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，所以，且.又是等腰三角形，所以，從而可有，則，所以,同理有.所以，所以選項(xiàng)A不符合題意；，所以選項(xiàng)B不符合題意；，所以選項(xiàng)C符合題意；，所以選項(xiàng)D不符合題意.故選：C7.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說(shuō)黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩(shī)賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨(dú)崔嵬．有時(shí)風(fēng)激鼎湖浪，散作晴天雨點(diǎn)來(lái)”．某校開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（）米A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，利用正弦定理求，進(jìn)而在中求山的高度.【詳解】在中，則,因?yàn)?，且，則，在中，則.故選：B.8.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，射線(xiàn)與邊交于點(diǎn)，若，，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，所以點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，即為的角平分線(xiàn)，利用正弦定理得，，可知，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.【詳解】表示與共線(xiàn)單位向量，表示與共線(xiàn)的單位向量，的分向與的平分線(xiàn)一致，，所以點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，即為的角平分線(xiàn)，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，其中分析可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即故選：C二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基底的意義，利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示判斷作答.【詳解】由于，所以，不共線(xiàn)，可以作為基底，A正確；由于，所以，共線(xiàn)，不可以作為基底，B錯(cuò)誤；由于零向量與任意非零向量都共線(xiàn)，所以，共線(xiàn)，不可以作為基底，C錯(cuò)誤；，所以，不共線(xiàn)，可以作為基底，D正確.故選：AD10.函數(shù)（）的圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D.若（）在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合給定圖象求出，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】依題意，，由，得，解得，而，解得，，的最小正周期為，A正確；是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，令，則，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C正確；，，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，D正確.故選：ACD11.在中，，，O為內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若O為的重心，則B.若O為的外心，則C.若O為的內(nèi)心，則D.若O為的垂心，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，由重心可知，根據(jù)，，整理可得，即可判斷；對(duì)B，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由外心可知，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而判斷；對(duì)C，由內(nèi)心可知，結(jié)合，即可求解判斷；對(duì)D，由垂線(xiàn)可知，則，整理可得，而，代入求解，即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，重心中線(xiàn)交點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，則，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，外心為垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)，即的外接圓圓心，因?yàn)椋O(shè)為邊的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?，所以，在中，，則，，所以，易知，所以，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，內(nèi)心為角平分線(xiàn)交點(diǎn)，分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡(jiǎn)得則，即，所以，由A選項(xiàng)，則，，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，垂心為高線(xiàn)交點(diǎn)，設(shè)，垂足為邊上點(diǎn)，則，，共線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，已知，，所以，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：的“四心”，可知：（1）重心為中線(xiàn)交點(diǎn)，則；（2）內(nèi)心為角平分線(xiàn)交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心，則；（3）外心為垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)，外接圓圓心，則；（4）垂心為高線(xiàn)交點(diǎn)，則.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量與的夾角為，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】∵，∴.故答案為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，，則的面積是__________．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角函數(shù)恒等變形化簡(jiǎn)，得，可得，從而可得，又，正弦定理可求，再由三角形面積公式得解.【詳解】由題意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；由，，得，由，得，從而，，故，所以的面積為．故答案為：14.已知函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件的所有m的值組成的集合是_________．【答案】【解析】【分析】將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為同角三角函數(shù)，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論處理即可.【詳解】解：，令，則，則當(dāng)時(shí)，顯然無(wú)解；當(dāng)時(shí)可化為.利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)與圖象可知（如下圖所示）：①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)或，符合題意；②當(dāng)時(shí)，即或，此時(shí)或，符合題意；③當(dāng)時(shí)，即，由可得，易知當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解滿(mǎn)足，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，即，方程有兩根，不妨記為，其中，只有一個(gè)根，有兩個(gè)根，故方程有3個(gè)解，也不符合題意.∴滿(mǎn)足條件的所有m的值組成的集合是：.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．（1）求向量在的投影向量的坐標(biāo)；（2）求的面積．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由投影向量的定義求解即可；（2）由數(shù)量積的定義和模長(zhǎng)公式求出，再由同角三角函數(shù)的基本公式求出，最后由三角形的面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以在上的投影向量為：．【小?wèn)2詳解】，，，，，，．16.已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，解不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域解不等式即可；（2）設(shè)，可得，該函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，所以，即，解得，所以，解得，即；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)，，所以函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)或時(shí)，取最大值為，即當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)或時(shí)，取最大值，即函數(shù)的值域?yàn)?17.如圖，在中，D是BC中點(diǎn)，E在邊AB上，且，AD與CE交于點(diǎn)O．（1）用，表示；（2）過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)G，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)H，且，，求t的值；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）由E，O，C三點(diǎn)共線(xiàn)，得，又，從兩個(gè)角度用，表示，從而得的值得解；（2）因?yàn)镠，O，G三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，轉(zhuǎn)化為用，表示，可得的值；（3）用，表示，從而進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)锳，O，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，，且E，O，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，其中D是BC中點(diǎn)，且，所以即解得，，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镠，O，G三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，其中，，所以，根據(jù)平面向量基本定理可得：即，所以．【小問(wèn)3詳解】，整理可得：，所以．18.已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，．（1）求的大??；（2）若，將射線(xiàn)和射線(xiàn)分別繞點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)（如圖所示），且，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用兩角和（差）的余弦公式展開(kāi)得到，再利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】，，，，，由正弦定理可得，又在中，，所以，又因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】依題意，，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，于是，在中，由余弦定理得．19.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱(chēng)為海倫公式.其中，.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角