數(shù)學(xué)-概率與統(tǒng)計專題

高考高中資料無水印無廣告word版不加密群559164877精品資料，天天更新高考數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)資料群562298495；新高考資料全科總?cè)?32599440；概率與統(tǒng)計專題一：二項分布一、必備秘籍一般地，在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為（）如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作。二、例題講解1．（2021·全國高三其他模擬）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分?jǐn)?shù)先達(dá)21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．2．（2021·青銅峽市高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.3．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；（3）求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·湖北武漢·）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀(jì)錄的概率都是，那么在本次運動會上：（1）求該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄的概率；（2）若該運動員能打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為，求的分布列及期望．2．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試）某醫(yī)院為篩查某病毒，需要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，為了優(yōu)化檢驗方法，現(xiàn)在做了以下兩種檢驗方式：實驗一：逐份檢驗，則需要檢驗次.實驗二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記釆用逐份檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為，釆用混合檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為.（1）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，以該樣本的陽性概率估計全市的血液陽性概率，從全市人民中隨機(jī)抽取3名市民，（血液不混合）記抽取到的這3名市民血液成陽性的市民個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（2）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值.（，，）3．（2021·全國高三其他模擬（理））新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中個人一周的口罩使用為個以及個上的有人.個人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個）頻率（1）求、的值；（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機(jī)抽取人，記一周使用口罩?jǐn)?shù)量（單位：個）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.4．（2021·新沂市第一中學(xué)高三其他模擬）市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該市某校200名高中學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時間進(jìn)行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：平均每天鍛煉的時間(分鐘)總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均課外體育鍛煉時間在內(nèi)的學(xué)生評價為“課外體育達(dá)標(biāo)”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)；課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)總計男女20110總計（2）從上述課外體育不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中抽取4名學(xué)生，求其中恰好有2名學(xué)生課外體育達(dá)標(biāo)的概率.5．（2021·陜西漢中·高三月考（理））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）對（1）中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某樹木的殘差為零，則認(rèn)為該樹木“長勢標(biāo)準(zhǔn)”，以此頻率來估計概率，則在此片樹木中隨機(jī)抽取棵，記這棵樹木中“長勢標(biāo)準(zhǔn)”的樹木數(shù)量為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差.參考公式：回歸直線方程為，其中6．（2021·四川成都·雙流中學(xué)高三三模（理））從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在以上的概率.若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機(jī)抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.7．（2021·安徽安慶一中高三三模（理））安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.8．（2021·湖北恩施·高三其他模擬）目前某市居民使用天然氣實行階梯價格制度，從該市隨機(jī)抽取10戶調(diào)查同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計表如下：用氣居民編號12345678910年用氣量(立方米)95106112161210227256313325457（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市居民中抽取10戶，其中恰有戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求使取到最大值時，的值.概率與統(tǒng)計專題二：超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．1.公式中個字母的含義—總體中的個體總數(shù)—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達(dá)式中，各個字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍。二、例題講解1．（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考（理））某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學(xué)成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2．（2021·合肥市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（理））近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項調(diào)查結(jié)果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為．為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三（1）班隨機(jī)抽取7名學(xué)生，其中4人近視、3人不近視．現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取球3人做進(jìn)一步醫(yī)學(xué)檢查．（1）用表示抽取的3人中近視的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“抽取的3人，既有近視的學(xué)生，又有不近視的學(xué)生”，求事件發(fā)生的概率．三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·安徽高三開學(xué)考試（理））為預(yù)防某種疾病發(fā)生，某團(tuán)隊研發(fā)一種藥物進(jìn)行提前干預(yù)，現(xiàn)進(jìn)入臨床試驗階段.為了考察這種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下列聯(lián)表.患病未患病總計服藥1045未服藥50總計30（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機(jī)抽取4只動物，設(shè)其中未服用藥的動物為只，求的分布與列與期望.2．（2021·湖南益陽市箴言中學(xué)高三其他模擬）2021年五一節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握五一節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：9:46，記作時刻46.（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間內(nèi)通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為，求X的分布列；（3）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）.假如4日上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費站點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布，則，，.3．（2021·渾源縣第七中學(xué)校（理））由商務(wù)部和北京市人民政府共同舉辦的2020年中國國際服務(wù)貿(mào)易交易會(簡稱服貿(mào)會)于9月4日開幕，主題為“全球服務(wù)，互惠共享”.某高校為了調(diào)査學(xué)生對服貿(mào)會的了解情況，決定隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行采訪.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，采訪的學(xué)生中男女比例為3：2，已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會，抽取的女生中有25名了解服貿(mào)會，請你解答下面所提出的相關(guān)問題.（1）完成2×2列聯(lián)表，并回答“是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對服貿(mào)會的了解情況與性別有關(guān)”.了解不了解合計男生女生合計100（2）若從被采訪的學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人在校內(nèi)開展一次“介紹服貿(mào)會”的專題活動，記抽取男生的人數(shù)為，求出的分布列及均值.附：.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（2021·全國高三二模）某初中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對40名七年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表所示(平均每天喝以上為常喝，體重超過為肥胖.單位：人)經(jīng)常飲用不經(jīng)常飲用合計肥胖818不肥胖15合計40（1）將列聯(lián)表補充完整，并回答能否有的把握認(rèn)為學(xué)生是否肥胖和經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)？（2）已知經(jīng)常飲用碳酸飲料且肥胖的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選5人進(jìn)行家訪，求被選中的男生人數(shù)的分布列和期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8285．（2021·赤峰二中高三其他模擬（理））學(xué)期結(jié)束時，學(xué)校對食堂進(jìn)行測評，測評方式：從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人給食堂打分，打分在60以下視為“不滿意”?在60~80視為“基本滿意”，在80分及以上視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們給食堂打的分?jǐn)?shù)分組：，得到如下頻率分布直方圖：（1）求這100人中“不滿意”的人數(shù)并估計食堂得分的中位數(shù)；（2）若按滿意度采用分層抽樣的方法，從這100名學(xué)生中抽取15人，再從這15人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中對食堂“非常滿意”的人數(shù)為.（i）求的分布列；（ii）若抽取的3人中對食堂“非常滿意”的同學(xué)將獲得食堂贈送的200元現(xiàn)金，其他同學(xué)將獲得100元現(xiàn)金，請估計這3人將獲得的現(xiàn)金總額.6．（2021·陜西西安·高三其他模擬（理））某中學(xué)高一（1）班在接種了“新冠疫苗”之后，舉行了“疫情防控，接種疫苗”知識競賽.這次競賽前名同學(xué)成績的莖葉圖如圖所示，已知前名女生的平均得分為分.（1）①求莖葉圖中的值；②如果在競賽成績高于分且按男生和女生分層抽樣抽取人，再從這人中任選人作為后期舉行的“接種疫苗，感恩祖國”主題班會中心發(fā)言人，求這人中有女生的概率；（2）如果在競賽成績高于分的學(xué)生中任選人參加學(xué)校座談會，用表示人中成績超過分的人數(shù)，求的分布列和期望.7．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團(tuán)隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進(jìn)行了一些實驗．（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機(jī)抽取4只進(jìn)行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）科研人員在另一個實驗中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%，如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿足以上要求．8．（2021·遼寧高三其他模擬）1．2020年11月22日，第29屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽舉行，若將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)吭?，之?nèi)，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示．已知，，成等差數(shù)列且．（1）求頻率分布直方圖中，，的值；（2）并估計這100名學(xué)生成績的眾數(shù)；（3）若按照分層抽樣從成績在，，，的兩組中抽取了6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．9．（2021·全國高三專題練習(xí)）某校高一年級進(jìn)行安全知識競賽（滿分為100分），所有學(xué)生的成績都不低于75分，從中抽取100名學(xué)生的成績進(jìn)行分組調(diào)研，第一組，第二組，，第五組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.（1）若競賽成績不低于85分為優(yōu)秀，低于85分為非優(yōu)秀，且成績優(yōu)秀的男學(xué)生人數(shù)為35，成績非優(yōu)秀的女學(xué)生人數(shù)為25，請判斷是否有95%的把握認(rèn)為競賽成績的優(yōu)秀情況與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣方法，在成績不低于85的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)選3人發(fā)言談體會，設(shè)這3人中成績在的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.臨界值表：0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87910．（2021·全國高三其他模擬）垃圾分類指的是按照一定規(guī)定或者標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱我國的垃圾分類大致分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四類，而正確的掌握垃圾分類也是中學(xué)生的必修課之一．某學(xué)校從甲、乙兩個班級中各隨機(jī)抽取了8名學(xué)生參加垃圾分類知識的檢測，并將檢測后的成績統(tǒng)計如表所示：甲7364747865728785乙748576747786其中，，，．（1）求，的值；（2）現(xiàn)從乙班同學(xué)中隨機(jī)抽取4人，記80分以上的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．11．（2021·全國（理））隨著如今人們生活水平的不斷提高，旅游成了一種生活時尚，尤其是老年人的旅游市場在不斷擴(kuò)大.為了了解老年人每年旅游消費支出（單位：元）的情況，相關(guān)部門抽取了某地區(qū)名老年人進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)（1）求所得樣本平均數(shù)（精確到元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為老年人的旅游費用支出X服從正態(tài)分布，若該地區(qū)共有老年人人，試估計有多少位老年人旅游費用支出在元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名老人中有名女性，名男性.現(xiàn)想選其中名老人回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列.附：若，，必備秘籍1、若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為對任意的,,它的圖象在軸的上方.可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為.特別地,當(dāng)時,稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即.由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點：曲線在軸的上方，與軸不相交。（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱.（3）曲線在處達(dá)到峰值(最高點)（4）當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸.（5）軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.2、正態(tài)分布的原則二、例題講解1．（2021·湖南高三其他模擬）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分?jǐn)?shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn)．為全面推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如下．（1）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上（含60分）的成績定為合格．為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會．記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點值作代表），若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵，本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，試估計此次競賽受到獎勵的人數(shù)．（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：，，．2．（2021·全國高三其他模擬）中國人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學(xué)的學(xué)生中，為了加強(qiáng)愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)的抽取了100人，對他們進(jìn)行校史問卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為新人學(xué)的學(xué)生校史問卷測試分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個人中至少有1人校史問卷測試分?jǐn)?shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)，請用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(ⅰ)得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費；(ⅱ)每次獲贈送的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為:贈送的隨機(jī)話費(單元:元)2040概率0.750.25現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則①；②；③.2．（2021·沙坪壩·重慶八中高三月考）消費扶貧是社會各界通過消費來自貧困地區(qū)和貧困人口的產(chǎn)品與服務(wù)，幫助貧困人口增收脫貧的一種扶貧方式，是社會力量參與脫貧攻堅的重要途徑.某地為了解消費扶貧對貧困戶幫扶情況，該地民政部門從本地的貧困戶中隨機(jī)抽取2000戶時2020年的收入進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：收入(千元)頻數(shù)200600600300200100（1）將調(diào)查的2000戶貧困戶按照收入從低到高依次編號為1，2，3，……，2000，從這些貧困戶中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50戶貧困戶進(jìn)行深度幫扶，已知8號被抽到；（i）收入在和的貧困戶卬被抽到進(jìn)行深度幫扶的戶數(shù)分別為多少？（ii）收入在和的貧困戶中被抽到進(jìn)行深度幫扶的凡中隨機(jī)選取2戶，記選取的2戶中來自的戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布表可認(rèn)為該地貧困戶的收入近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該地的所有貧困戶中隨機(jī)抽取10戶，記收入在之外的戶數(shù)為，求(精確到0.001).參考數(shù)據(jù)1：當(dāng)時，，，.參考數(shù)據(jù)2：，.3．（2021·湖北高三開學(xué)考試）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合計10001.000（1）求，，的值；（2）求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（3）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中已計算得.如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元，從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品，記為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求.附：，，.4．（2021·四川高三其他模擬（理））在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費；②每次獲贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，.5．（2021·遼寧）《中國制造2025》提出，堅持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人オ為本”的基本方針，通過“三步走”實現(xiàn)制造強(qiáng)國的戰(zhàn)略目標(biāo)：第一步，到2025年邁入制造強(qiáng)國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達(dá)到世界制造強(qiáng)國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，綜合實力進(jìn)入世界制造強(qiáng)國前列．質(zhì)檢部門對設(shè)計出口的甲、乙兩種“無人機(jī)”分別隨機(jī)抽取100架檢測某項質(zhì)量指標(biāo)，由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種“無人機(jī)”100架樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為，試比較的大小（只需給出答案）；（2）若質(zhì)檢部門規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)高于20的無人機(jī)為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，根據(jù)上面抽取的200架無人機(jī)的質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行判斷，是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩種“無人機(jī)”的優(yōu)質(zhì)率有差異？甲乙合計優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品合計1001002000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種“無人機(jī)”的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，設(shè)表示從乙種無人機(jī)中隨機(jī)抽取10架，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（11.6，35.4）的架數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得；②若，則．6．（2021·山西高三三模（理））2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌?nèi)容，其中第一項是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識競賽人員的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，，.7．（2021·全國高三其他模擬）從2020年開始，部分高校實行強(qiáng)基計劃，選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，越來越多的學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)競賽來證明自己的數(shù)學(xué)實力.某省舉行的數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽有10000名學(xué)生參加，成績數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N（80，100），現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市50名參賽學(xué)生的初賽成績進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)他們的成績?nèi)课挥趨^(qū)間[50，110]內(nèi).將成績分成6組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，該50名學(xué)生成績的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（2）（i）若要在全省選拔15.865%的同學(xué)通過初賽進(jìn)入決賽，則分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？（ii）若給成績位于全省前228名的同學(xué)頒發(fā)初賽一等獎的證書，現(xiàn)從本市這50名同學(xué)里面能成功進(jìn)入決賽的同學(xué)中任意抽取3人，記這3人中得到初賽一等獎的數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若X~N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.8．（2021·河南鄭州·（理））已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸（單位：）服從正態(tài)分布．（1）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取個，求至少有一個尺寸小于的概率；（2）為了保證生產(chǎn)線正常運行，需要對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障維修，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個維護(hù)周期，每個周期內(nèi)日常維護(hù)費為元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生故障維修費；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運行，則除了日常維護(hù)費外，還會產(chǎn)生一次故障維修費．已知故障維修費第一次為元，此后每增加一次則故障維修費增加元．假設(shè)每個維護(hù)周期互相獨立，每個周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費用總和的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．9．（2021·通遼新城第一中學(xué)高三其他模擬（理））近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進(jìn)入課堂，考生選擇大學(xué)就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等專業(yè)報考的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校數(shù)學(xué)專業(yè)近五年的錄取平均分與當(dāng)年該學(xué)校的最低提檔線對照表：年份20162017201820192020年份代碼（）該校最低提檔分?jǐn)?shù)線數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分提檔線與數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年數(shù)學(xué)專業(yè)的錄取分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的數(shù)學(xué)錄取平均分，假設(shè)2021年該校最低提檔分?jǐn)?shù)線為分．（i）若該大學(xué)2021年數(shù)學(xué)專業(yè)錄取的學(xué)生成績在分以上的有人，本專業(yè)2021年錄取學(xué)生共多少人？進(jìn)入本專業(yè)高考成績前名的學(xué)生可以獲得一等獎學(xué)金．一等獎學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)該設(shè)定為多少分？請說明理由．（ii）若同學(xué)2021年高考考了分，他很想報考這所大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)，想第一志愿填報，請利用概率與統(tǒng)計知識，給該同學(xué)一個合理的建議．（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報考）參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，10．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（理））2020年是全面建成小康社會之年，是脫貧攻堅收官之年．蓮花村是鄉(xiāng)扶貧辦的科學(xué)養(yǎng)魚示范村，為了調(diào)查該村科技扶貧成果，鄉(xiāng)扶貧辦調(diào)查組從該村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機(jī)捕撈兩次，上午進(jìn)行第一次捕撈，捕撈到60條魚，共105kg，稱重后計算得出這60條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為200.41，下午進(jìn)行第二次捕撈，捕撈到40條魚，共66kg．稱重后計算得出這40條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為117．（1）請根據(jù)以上信息，求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)以往經(jīng)驗，可以認(rèn)為該魚塘魚質(zhì)量X服從正態(tài)分布，用作為的估計值，用作為的估計值．隨機(jī)從該魚糖捕撈一條魚，其質(zhì)量在的概率是多少？（3）某批發(fā)商從該村魚塘購買了1000條魚，若從該魚塘隨機(jī)捕撈，記為捕撈的魚的質(zhì)量在的條數(shù)，利用（2）的結(jié)果，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）數(shù)據(jù)，，…的方差，（2）若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則；；．13．（2021·湖南師大附中高三其他模擬）某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備M，為對其進(jìn)行評估，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計值.（1）為評估設(shè)備M對原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量y和原料中的該材料含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，求y與x的線性回歸方程.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.（2）為評判設(shè)備M生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(P表示相應(yīng)事件的概率)；①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級.（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.從樣本中隨意抽取2件零件，再從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y).概率與統(tǒng)計專題四：獨立性檢驗一、必備秘籍1．列聯(lián)表設(shè)，為兩個變量，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(列聯(lián)表)如下：總計總計2．獨立性檢驗利用隨機(jī)變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．3．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表；(2)計算隨機(jī)變量的觀測值k，查下表確定臨界值k0：(3)如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．【注意】(1)通常認(rèn)為時，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”．(2)獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．(3)獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷．二、例題講解1．（2021·榆林市第十中學(xué)高三月考（文））隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們的生活水平顯著提高，健康意識不斷增強(qiáng)，健康管理理念深入人心，人們參加體育鍛煉的次數(shù)與時間在逐漸增加.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究居民參加體育鍛煉的時長（時長不超過60分鐘）是否與性別有關(guān)，對某小區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查，并隨機(jī)抽取了100名居民的調(diào)查結(jié)果，其中男性有55人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了居民日均鍛煉時間的頻率分布直方圖如下：(1)求樣本中居民日均鍛煉時間的中位數(shù)；(2)將日均鍛煉時間不低于40分鐘的居民稱為“健生達(dá)人”（健康生活達(dá)人），已知樣本中“健生達(dá)人”中有10名女性，根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有的把握認(rèn)為“健生達(dá)人”與性別有關(guān).非健生達(dá)人健生達(dá)人合計男女10合計100附：，.0.100.050.012.7063.8416.6352．（2021·江蘇南京市·高三開學(xué)考試）科研小組為提高某種水果的果徑，設(shè)計了一套實驗方案，并在兩片果園中進(jìn)行對比實驗.其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個果實，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計：，，，，（單位：）.統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36及以上的為“大果”.（1）請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“大果”與“采用實驗方案”有關(guān)；采用實驗方案未采用實驗方案合計大果非大果合計100100200（2）根據(jù)長期種植經(jīng)驗，可以認(rèn)為對照園中的果徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，，請估計對照園中果徑落在區(qū)間內(nèi)的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）附：①；②若服從正態(tài)分布，則，，.三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三開學(xué)考試（文））微信是騰訊公司推出的一種手機(jī)通信軟件，它支持發(fā)送語音短信?視頻?圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人.為了調(diào)查微信用戶每天使用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的店家在一廣場隨機(jī)采訪男性?女性用戶各50名，將男性?女性平均每天使用微信的時間（單位：h）分成5組：分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計女性平均每天使用微信的時間；（2）若每天玩微信超過的用戶稱為“微信控”，否則稱為“非微信控”，判斷是否有90%的把握認(rèn)為“微信控”與性別有關(guān).附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）2．（2021·河北唐山·高三開學(xué)考試）數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運營機(jī)構(gòu)參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費?餐飲服務(wù)?交通出行?購物消費?政務(wù)服務(wù)等領(lǐng)域.為了進(jìn)一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了-次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：學(xué)歷小學(xué)及以下初中高中大學(xué)專科大學(xué)本科碩士研究生及以上不了解數(shù)字人民幣35358055646了解數(shù)字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學(xué)歷稱為“低學(xué)歷”，大學(xué)?？萍耙陨蠈W(xué)歷稱為“高學(xué)歷”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表；學(xué)歷了解情況低學(xué)歷高學(xué)歷合計不了解數(shù)字人民幣了解數(shù)字人民幣合計（2）若從低學(xué)歷的被調(diào)查者中，按對數(shù)字人民幣的了解程度用分層抽樣的方法抽取8人，然后從這8人中抽取2人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率；（3）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān)？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2021·廣東實驗中學(xué)高三月考）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)85205310250130155（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把捏認(rèn)為潛伏期與息者年齡有關(guān)；潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下55總計200（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立．為了深入研究，該研究團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.6354．（2021·黑龍江高三其他模擬（文））據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2020年本科生的平均簽約薪酬為每月4300元.2020年某高校畢業(yè)生就業(yè)指導(dǎo)中心為了分析本校本科畢業(yè)生的專業(yè)課成績優(yōu)秀與否與本科畢業(yè)生就業(yè)后獲得薪酬的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了從學(xué)校畢業(yè)的200名本科畢業(yè)學(xué)進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明：在專業(yè)課成績優(yōu)秀的120名本科畢業(yè)生中有90人每月工資超過人民幣4300元，另30人每月工資低于人民幣4300元；在專業(yè)課成績不優(yōu)秀的80名本科畢業(yè)生中有20人每月工資超過人民幣4300元，另60人每月工資低于人民幣4300元.（1）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；專業(yè)課優(yōu)秀專業(yè)課不優(yōu)秀合計每月平均工資超過4300元每月平均工資低于4300元合計（2）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“該高校本科畢業(yè)生的專業(yè)課成績優(yōu)秀”與“每月工資超過當(dāng)年本科生的平均簽約薪酬”有關(guān)系？參考公式：，其中.（）5．（2021·山東濟(jì)寧一中高三開學(xué)考試）為提高教育教學(xué)質(zhì)量，越來越多的高中學(xué)校采用寄宿制的封閉管理模式．某校對高一新生是否適應(yīng)寄宿生活十分關(guān)注，從高一新生中隨機(jī)抽取了100人，其中男生占總?cè)藬?shù)的40%，且只有20%的男生表示自己不適應(yīng)寄宿生活，女生中不適應(yīng)寄宿生活的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的32%，學(xué)校為了考察學(xué)生對寄宿生活適應(yīng)是否與性別有關(guān)，構(gòu)建了如下2×2列聯(lián)表：不適應(yīng)寄宿生活適應(yīng)寄宿生活合計男生女生合計（1）請將2×2列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“適應(yīng)寄宿生活與否”是否與性別有關(guān)；（2）從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標(biāo)準(zhǔn)采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取2人，若所選2名學(xué)生中的“不適應(yīng)寄宿生活”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0256.63510.8286．（2021·全國高三月考）某企業(yè)計劃招聘新員工，現(xiàn)對應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素進(jìn)行調(diào)查﹐所得統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：男性女性以月薪作為主要考慮因素以發(fā)展前景作為主要考慮因素（1）是否有的把握認(rèn)為應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素與性別有關(guān)；（2）若招聘考核共設(shè)置個環(huán)節(jié)，應(yīng)聘者需要參加全部環(huán)節(jié)的考核，每個環(huán)節(jié)設(shè)置兩個項目，若應(yīng)聘者每通過一個項目積分，未通過積分.已知甲第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，各環(huán)節(jié)?各項目間相互獨立.求甲經(jīng)過兩個環(huán)節(jié)的考核后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：7．（2021·重慶墊江第五中學(xué)校高三月考）隨著墊江五中教學(xué)質(zhì)量的提升學(xué)生總?cè)藬?shù)達(dá)到了歷史最高點即4700人左右，但學(xué)校發(fā)展的同時也對學(xué)校學(xué)生就餐帶來前所未有的挑戰(zhàn).因此學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)制定出學(xué)生分時就餐（第一輪11：40，第二輪12：30）.經(jīng)過一段時間的運行后，學(xué)校對就餐滿意度進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從學(xué)校初、高中學(xué)生中隨機(jī)抽取200人作為樣本，得到下表（單位：人次）滿意度初中學(xué)生高中學(xué)生男生女生男生女生滿意45403530不滿意5101520（1）初中學(xué)生高中學(xué)生合計滿意不滿意合計（2）（1）通過上表完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為“是否滿意”與初、高中學(xué)生有關(guān)？（2）現(xiàn)從調(diào)查的學(xué)生中按表（2）分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中任選2人，記X為這2人中為滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.0248．（2021·全國高三月考（理））梨樹絕大多數(shù)品種自花授粉，結(jié)實率很低，因此果農(nóng)在栽培梨樹的時候，必須在果園配置授粉樹，并結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助授粉方法，以便更順利地完成梨樹的授粉受精過程，以此達(dá)到果園豐產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)、高品質(zhì)的目的．某地區(qū)將梨樹蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率進(jìn)行比較，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：坐果授粉方式總計自然授粉蜜蜂授粉花朵未坐果花朵坐果（1）自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果數(shù)的頻率分別是多少？（2）根據(jù)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有的把握認(rèn)為自然授粉與蜜蜂授粉的花朵坐果率有差異？坐果授粉方式總計自然授粉蜜蜂授粉花朵未坐果花朵坐果總計附：，9．（2021·陜西西安中學(xué)高三月考（文））2019年2月4日20：00，2019年央視春晚在中央電視臺綜合頻道等頻道并機(jī)直播．人們通過手機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)、電視等方式，都在觀看央視春晚．某調(diào)查網(wǎng)站從觀看央視春晚的觀眾中隨機(jī)選出200人，經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新型的傳媒PC端口觀看的人數(shù)之比為4：1．將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，其中統(tǒng)計通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡；（2）把年齡在第1，2，3組的觀眾稱青少年組，年齡在第4，5組的觀眾稱為中老年組，若選出的200人中通過新型的傳媒方式端口觀看的中老年人有12人，請完成下面2×2列聯(lián)表，則能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為觀看央視春晚的方式與年齡有關(guān)？附：通過PC端口觀看通過電視端口觀看合計青少年中老年合計（其中為樣本容量）．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82810．（2021·合肥市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文））醫(yī)學(xué)統(tǒng)計表明，疾病在老年人中發(fā)病率較高．已知某地區(qū)老年人的男女比例為3：2，為了解疾病在該地區(qū)老年人中發(fā)病情況，按分層抽樣抽取100名老人作為樣本，對這100位老人是否患有疾病進(jìn)行統(tǒng)計，得條形圖如下所示．（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷有沒有90%的把握認(rèn)為患疾病與性別有關(guān)？男性女性合計患有疾病未患疾病合計（2）在這100個樣本中，將未患疾病老年人按年齡段，，，，分成5組，得頻率分布直方圖如圖二所示．求未患病老年人的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82811．（2021·武功縣普集高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某校組織了全體學(xué)生參加“建黨周年”知識競賽，從高一、高二年級各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（滿分分），統(tǒng)計如下表：分?jǐn)?shù)段高一年級高二年級（1）分別估計高一、高二年級競賽成績的平均值與（同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）；（2）學(xué)校規(guī)定競賽成績不低于分的為優(yōu)秀，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為競賽成績優(yōu)秀與年級有關(guān)？非優(yōu)秀優(yōu)秀合計高一年級高二年級合計附：，其中.概率與統(tǒng)計專題五：回歸直線方程一、必備秘籍1．兩個變量線性相關(guān)(1)散點圖：將樣本中個數(shù)據(jù)點(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負(fù)相關(guān)：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2．回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導(dǎo)過程：①假設(shè)已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設(shè)所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．二、例題講解1．（2021·哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學(xué)校高三模擬預(yù)測（文））十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》這部法律自年月日起施行，某市相關(guān)部門進(jìn)行法律宣傳，某宣傳小分隊記錄了前周每周普及宣傳的人數(shù)與時間的數(shù)據(jù)，得到下表：時間周人數(shù)（1）若可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）的回歸方程，預(yù)測該宣傳小分隊第7周普及宣傳（民法典）的人數(shù)．參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，.2．（2021·合肥市第六中學(xué)高三模擬預(yù)測（文））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取6棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：0.10.20.30.40.50.61.11.31.61.52.02.1（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）對（1）中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某樹木的殘差為零則認(rèn)為該樹木“長勢標(biāo)準(zhǔn)”，在此片樹木中隨機(jī)抽取1棵樹木，估計這棵樹木“長勢標(biāo)準(zhǔn)”的概率.參考公式：回歸直線方程為，其中，.三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·湖南師大附中高三月考）今年五月，某醫(yī)院健康管理中心為了調(diào)查成年人體內(nèi)某種自身免疫力指標(biāo)，從在本院體檢的人群中隨機(jī)抽取了100人，按其免疫力指標(biāo)分成如下五組：，其頻率分布直方圖如圖1所示．今年六月，某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種疫苗，對提高該免疫力有顯著效果．經(jīng)臨床檢測，將自身免疫力指標(biāo)比較低的成年人分為五組，各組分別按不同劑量注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)y與疫苗注射量x個單位具有相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)的散點圖如圖2所示．（1）健管中心從自身免疫力指標(biāo)在內(nèi)的樣本中隨機(jī)抽取3人調(diào)查其飲食習(xí)慣，記表示這3人中免疫力指標(biāo)在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于大劑量注射疫苗會對身體產(chǎn)生一定的副作用，醫(yī)學(xué)部門設(shè)定：自身免疫力指標(biāo)較低的成年人注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)不應(yīng)超過普通成年人群自身免疫力指標(biāo)平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作為普通人群的樣本，據(jù)此估計疫苗注射量不應(yīng)超過多少個單位．附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為．2．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)（理））根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經(jīng)驗，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段，我國正在安全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識到了疫苗接種的重要作用，自宣傳開始后村干部統(tǒng)計了本村名居民（未接種）的一個樣本，天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，如下統(tǒng)計表：第天新接種人數(shù)（1）建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)全村共計名居民（均未接種過疫苗），用樣本估計總體來預(yù)測該村居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．3．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）隨著城市規(guī)模的擴(kuò)大和人們生活水平的日益提高，某市近年機(jī)動車保有量逐年遞增.根據(jù)機(jī)動車管理部門的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以5年為一個研究周期，得到機(jī)動車每5年純增數(shù)據(jù)情況為：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020時間變量12345純增數(shù)量（單位：萬輛）3691527其中，時間變量對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)據(jù)為，且通過數(shù)據(jù)分析得到時間變量與對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)量（單位：萬輛）具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）求機(jī)動車純增數(shù)量（單位：萬輛）關(guān)于時間變量的回歸方程，并預(yù)測2025~2030年間該市機(jī)動車純增數(shù)量的值；附：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.（2）該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機(jī)采訪了200名市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：贊同限行不贊同限行合計沒有私家車8515100有私家車7525100合計16040200根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有95%的把握認(rèn)為“對限行的意見與是否擁有私家車”有關(guān).附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（2021·貴州貴陽·高三月考（理））據(jù)貴州省氣候中心報，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實驗的方法來估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計算機(jī)或計算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時，表示該地區(qū)不下雨.因為是3天，所以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下:332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機(jī)數(shù)估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當(dāng)天降雨量（單位:mm）如表：時間2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.并預(yù)測該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？參考公式：，.5．（2021·重慶高三月考）為了研究義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力指標(biāo)分、推理能力指標(biāo)分、建模能力指標(biāo)分的相關(guān)性，其中，，，并將它們各自量化為一級、二級、三級3個等級，再用綜合指標(biāo)的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解重慶市1年級至9年級在校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了該地的五個年級，訪問了每個年級的2個學(xué)生，統(tǒng)計得到這10個學(xué)生的如下數(shù)據(jù)：年級24568數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分29，3138，4247，5356，6469，71數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)平均分分3040506070（1）畫出散點圖，并判斷，之間是否具有相關(guān)關(guān)系（2）若，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試估計重慶市9年級的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)平均分為多少（3）在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：①參考數(shù)據(jù)：，②求線性回歸方程的系數(shù)公式，6．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考）近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進(jìn)入課堂，考生選擇大學(xué)就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，報考之前較冷門專業(yè)的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校專業(yè)近五年來在某省錄取平均分與當(dāng)年該大學(xué)的最低提檔線對照表：年份20172018201920202021年份代碼（）該校最低提檔分?jǐn)?shù)線專業(yè)錄取平均分專業(yè)錄取平均分與提檔線之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)專業(yè)每年錄取分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)專業(yè)錄取的平均分.假設(shè)2022年該大學(xué)最低提檔線為分．①利用（1）的結(jié)果預(yù)測2022年專業(yè)錄取平均分；②若某同學(xué)2022年高考考了分，該大學(xué)專業(yè)在該省共錄取100人，錄取成績前五名的學(xué)生可以獲得一等獎學(xué)金，請問該同學(xué)能否獲得該獎學(xué)金？請說明理由．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，.7．（2021·全國（理））某藥廠為了了解某新藥的銷售情況，將今年2至6月份的銷售額整理得到如下圖表：月份23456銷售額(萬元)1925353742（1）根據(jù)2至6月份的數(shù)據(jù)，求出每月的銷售額關(guān)于月份的線性回歸方程；（2）根據(jù)所求線性回歸方程預(yù)測該藥廠今年第三季度(7，8，9月份)這種新藥的銷售總額.(參考公式：，)8．（2021·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)（文））為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤？（參考公式：回歸方程，其中，）9．（2021·四川內(nèi)江·高三其他模擬（文））為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部開展了招生改革工作——強(qiáng)基計劃.現(xiàn)對某高中學(xué)校學(xué)生對強(qiáng)基課程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，隨機(jī)抽取了名學(xué)生.（1）在某次數(shù)學(xué)強(qiáng)基課程的測試中，這名學(xué)生成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，其中某男生的成績被污損（為整數(shù)），求女生的平均分?jǐn)?shù)超過男生的平均分?jǐn)?shù)的概率.男生女生（2）已知學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，現(xiàn)統(tǒng)計了小明同學(xué)連續(xù)次在強(qiáng)基課程測試中的數(shù)學(xué)和物理成績（如下表）.若第次測試該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到，請你估計第次測試他的物理成績大約是多少？數(shù)學(xué)成績物理成績附：，.10．（2021·全國高三模擬預(yù)測（文））發(fā)展清潔能源，是改善能源結(jié)構(gòu)、保障能源安全、推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要任務(wù).十三五以來，我國加快調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，減少煤炭消費、穩(wěn)定油氣供應(yīng)、大幅增加清潔能源比重，風(fēng)電、光伏等可再生能源發(fā)電效率不斷提高.據(jù)資料整理統(tǒng)計我國從2015年到2019年的年光伏發(fā)電量如表：年份20152016201720182019編號12345年光伏發(fā)電量（億千瓦時）395665117817752243其中.（1）請用相關(guān)系數(shù)說明是否可用線性回歸模型擬合年光伏發(fā)電量與的關(guān)系；（2）建立年光伏發(fā)電量關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2021年年光伏發(fā)電量（結(jié)果保留整數(shù)）.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,,11．（2021·全國高三其他模擬（文））實施新規(guī)后，某商場2020年1月份至10月份的收入情況如表.月份12345678910收入(萬元)10121513161715161620并計算得，，，.（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(當(dāng)時，那么變量，有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)（2）建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并預(yù)測該商場12月份的收入情況.(結(jié)果保留整數(shù))附：，，.概率與統(tǒng)計專題六:非線性回歸方程必備秘籍當(dāng)經(jīng)驗回歸方程并非形如(）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當(dāng)兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．二、例題講解1．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量級已經(jīng)從(1=1024)級別躍升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)級別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49，2009年數(shù)據(jù)量為0.8，2010年增長到1.2，2011年數(shù)據(jù)量更是高達(dá)1.82.下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：)及相關(guān)統(tǒng)計量的值：年份201420152016201720182019序號123456年數(shù)據(jù)量6.68.616.121.633.041.03.521.152.8517.5813.82125.356.73表中，.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程(是自然對數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號x的回歸方程類型，試求此回歸方程(精確到0.01).（2）有人預(yù)計2021年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將超過2011年的50倍.根據(jù)（1）中的回歸方程，說明這種判斷是否準(zhǔn)確，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，.2．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））有一種速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進(jìn)鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變.中國的高鐵技術(shù)不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵.高鐵可以說是中國一張行走的名片.截至到2020年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬公里.下表是2013年至2020年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017201820192020年份代碼12345678運營里程萬公里1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題.（1）甲同學(xué)用曲線來擬合，并算得相關(guān)系數(shù)，乙同學(xué)用曲線來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，試問哪一個更適合作為關(guān)于的回歸方程類型，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到).參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：；參考數(shù)據(jù)：令三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·山東菏澤·高三二模）“十四五”是我國全面建成小康社會、實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)之后，乘勢而上開啟全面建設(shè)社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個五年，實施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．2．（2021·重慶高三三模）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈.某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關(guān)系，對該網(wǎng)點近5天的每日攬件量(單位：千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現(xiàn)總利潤的增長，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時效保障外，價格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價格(單位；元)之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問題：①預(yù)測該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.3．（2021·安徽蚌埠二中高三模擬預(yù)測（文））自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，美國疫情持續(xù)升級，以下是美國2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計1次共計11次累計確診人數(shù)（萬）．日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13統(tǒng)計時間序號123456累計確認(rèn)人數(shù)43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14統(tǒng)計時間序號7891011累計確認(rèn)人數(shù)646.0744.7888.91187.41673.7（1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計，若將統(tǒng)計時間序號作為變量，每次累計確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關(guān)系，對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計量的值，，，，，，，，，，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關(guān)系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果對比，求這2人中至少有一人是老年人的概率．參考公式：線性回歸方程中，，；4．（2021·貴州（理））某二手車交易市場對2020年某品牌二手車的交易進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖和散點圖.用表示該車的使用時間（單位：年），表示其相應(yīng)的平均交易價格（單位：萬元）.（Ⅰ）已知2020年在此交易市場成交的該品牌二手車為輛，求使用時間在的車輛數(shù)；（Ⅱ）由散點圖分析后，可用作為此交易市場上該種車輛的平均交易價格關(guān)于其使用時間的回歸方程.5.59230080385表中，.根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.5．（2021·河南洛陽市·高三二模（理））某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（、為大于0的常數(shù)）.按照某項指標(biāo)測