正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

熟練掌握正、余弦定理．能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法求解距離、高度和角度等問(wèn)題．解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】求解距離、高度和角度等問(wèn)題．(重點(diǎn))從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型(即畫(huà)出三角形)．(難點(diǎn))

1．2．1．2．仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線_____時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線_____時(shí)叫俯角，如圖所示．測(cè)量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語(yǔ)1．上方下方方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖所示)．2．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指從原點(diǎn)O出發(fā)的經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上．依此可類推正北方向、正東方向和正西方向．(2)東南方向：指經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線(如圖所示)．3．想一想：用三角形知識(shí)解決高度，角度問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？提示

關(guān)鍵是將要解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，然后求解．測(cè)量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語(yǔ)的應(yīng)用(1)在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，目的是使測(cè)量具有較高的精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．(2)準(zhǔn)確了解測(cè)量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語(yǔ)，方能理解實(shí)際問(wèn)題的題意，根據(jù)題意作出示意圖．(3)方位角α的范圍是0°<α<360°，方向角β的范圍是0°<β<90°.1．解三角形應(yīng)用題的一般步驟2．用三角形解實(shí)際問(wèn)題的技巧有些實(shí)際問(wèn)題常抽象成解三角形問(wèn)題，一般有以下兩種類型：(1)已知量與未知量集中在一個(gè)三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解．(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)(或多個(gè))三角形時(shí)，在已知條件下，弄清哪個(gè)三角形可解，為解其他三角形需求可解三角形的哪個(gè)邊(角)．有時(shí)需設(shè)出未知量，由已知條件列出方程，然后解方程得出所要求的解．

3．題型一測(cè)量距離問(wèn)題某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得與C相距31千米的公路上的B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D，此時(shí)測(cè)得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？[思路探索]欲求AD，應(yīng)先求出AB；從△ABC中求AB，還需求出AC；在△ABC中求AC，只需求出sinB；在△BCD中，可求出cosB,進(jìn)而求出sinB問(wèn)題即可解決．【練習(xí)1】由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D處距A還有15千米．

如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為(

)．【練習(xí)2】答案

A題型二

測(cè)量高度問(wèn)題【練習(xí)1】A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD(精確到整數(shù))．[思路探索]解答本題可先求出∠BDA，然后由正弦定理求出AD即可．【練習(xí)2】規(guī)律方法解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟是：(1)畫(huà)圖：根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖；(2)分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用．

地平面上有一旗桿設(shè)為OP，已知地平面上的一基線AB，AB＝200m，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為∠OAP＝30°，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為∠OBP＝45°，又測(cè)得∠AOB＝60°，求旗桿的高h(yuǎn).【練習(xí)3】題型三

測(cè)量角度問(wèn)題【練習(xí)1】審題指導(dǎo)

本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的理解分析能力，同時(shí)也考查了學(xué)生的計(jì)算能力．【練習(xí)2】【題后反思】測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解．

如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得一建筑物頂端C對(duì)于山坡的坡度為15°，向山頂前進(jìn)100m后，又從B點(diǎn)測(cè)得斜度為45°，設(shè)建筑物的高度為50m，求此山相對(duì)于地平面的傾斜角的余弦值．【練習(xí)3】函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)思想就是在解決問(wèn)題時(shí)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去觀察、分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)加以研究，從而解決問(wèn)題．本節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題為函數(shù)思想的應(yīng)用搭建了一個(gè)很好的平臺(tái)，利用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，某些最值、范圍等問(wèn)題就可順利解決．方法技巧函數(shù)與方程的思想在一次反恐演習(xí)中，某特警在一條筆直的公路上追擊前方20公里的一恐怖分子，此時(shí)恐怖分子正在跳下公路，沿與前方公路成60°角的方向以每小時(shí)8公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度為每小時(shí)10公里．特警決定在公路上離恐怖分子最近時(shí)將其擊斃，問(wèn)再過(guò)多少小時(shí)，特警向恐怖分子射擊．[思路分析]根據(jù)人物的不同位置，分情況列出相距最近的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求最值的條件即可求所需時(shí)間．【示例】解設(shè)開(kāi)始時(shí)特警在B地，恐怖分子在A地，t小時(shí)后兩人分別到達(dá)Q，P兩地，特警到達(dá)A地需2小時(shí)，分別畫(huà)出示意圖．圖1圖2(1)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1，在△APQ