正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

熟練掌握正、余弦定理．能夠運用正、余弦定理等知識和方法求解距離、高度和角度等問題．解三角形的實際應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標】

【重點與難點】求解距離、高度和角度等問題．(重點)從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型(即畫出三角形)．(難點)

1．2．1．2．仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角．目標視線在水平視線_____時叫仰角，目標視線在水平視線_____時叫俯角，如圖所示．測量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語1．上方下方方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖所示)．2．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指從原點O出發(fā)的經(jīng)過目標的射線與正南的方向線重合，即目標在正南的方向線上．依此可類推正北方向、正東方向和正西方向．(2)東南方向：指經(jīng)過目標的射線是正東和正南的夾角平分線(如圖所示)．3．想一想：用三角形知識解決高度，角度問題的關(guān)鍵是什么？提示

關(guān)鍵是將要解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，然后求解．測量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語的應(yīng)用(1)在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，目的是使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．(2)準確了解測量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語，方能理解實際問題的題意，根據(jù)題意作出示意圖．(3)方位角α的范圍是0°<α<360°，方向角β的范圍是0°<β<90°.1．解三角形應(yīng)用題的一般步驟2．用三角形解實際問題的技巧有些實際問題常抽象成解三角形問題，一般有以下兩種類型：(1)已知量與未知量集中在一個三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解．(2)已知量與未知量涉及兩個(或多個)三角形時，在已知條件下，弄清哪個三角形可解，為解其他三角形需求可解三角形的哪個邊(角)．有時需設(shè)出未知量，由已知條件列出方程，然后解方程得出所要求的解．

3．題型一測量距離問題某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上的B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？[思路探索]欲求AD，應(yīng)先求出AB；從△ABC中求AB，還需求出AC；在△ABC中求AC，只需求出sinB；在△BCD中，可求出cosB,進而求出sinB問題即可解決．【練習(xí)1】由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D處距A還有15千米．

如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為(

)．【練習(xí)2】答案

A題型二

測量高度問題【練習(xí)1】A、B是海平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D是點C到水平面的垂足，求山高CD(精確到整數(shù))．[思路探索]解答本題可先求出∠BDA，然后由正弦定理求出AD即可．【練習(xí)2】規(guī)律方法解決測量高度問題的一般步驟是：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖；(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形；(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用．

地平面上有一旗桿設(shè)為OP，已知地平面上的一基線AB，AB＝200m，在A處測得P點的仰角為∠OAP＝30°，在B處測得P點的仰角為∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高h.【練習(xí)3】題型三

測量角度問題【練習(xí)1】審題指導(dǎo)

本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對實際應(yīng)用問題的理解分析能力，同時也考查了學(xué)生的計算能力．【練習(xí)2】【題后反思】測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．

如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點A測得一建筑物頂端C對于山坡的坡度為15°，向山頂前進100m后，又從B點測得斜度為45°，設(shè)建筑物的高度為50m，求此山相對于地平面的傾斜角的余弦值．【練習(xí)3】函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)思想就是在解決問題時，用函數(shù)的觀點去觀察、分析問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來加以研究，從而解決問題．本節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用問題為函數(shù)思想的應(yīng)用搭建了一個很好的平臺，利用正、余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，某些最值、范圍等問題就可順利解決．方法技巧函數(shù)與方程的思想在一次反恐演習(xí)中，某特警在一條筆直的公路上追擊前方20公里的一恐怖分子，此時恐怖分子正在跳下公路，沿與前方公路成60°角的方向以每小時8公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度為每小時10公里．特警決定在公路上離恐怖分子最近時將其擊斃，問再過多少小時，特警向恐怖分子射擊．[思路分析]根據(jù)人物的不同位置，分情況列出相距最近的表達式，利用二次函數(shù)求最值的條件即可求所需時間．【示例】解設(shè)開始時特警在B地，恐怖分子在A地，t小時后兩人分別到達Q，P兩地，特警到達A地需2小時，分別畫出示意圖．圖1圖2(1)當(dāng)0≤t≤2時，如圖1，在△APQ