1.5-1.6三角函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

1.5-1.6三角函數(shù)的應(yīng)用分層練習(xí)考查題型一利用三角函數(shù)求高度（2023秋?萊蕪區(qū)期中）電線桿直立在水平的地面上，是電線桿的一根拉線，測(cè)得，，則拉線的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．【解答】解：，，，，故選：．（2022秋?秦皇島期末）如圖釣魚(yú)竿長(zhǎng)，露在水面上的魚(yú)線長(zhǎng)，釣者想看看魚(yú)釣上的情況，把魚(yú)竿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線長(zhǎng)度是A． B． C．4 D．【分析】因?yàn)槿切魏腿切尉鶠橹苯侨切?，且、都是我們所要求角的?duì)邊，所以根據(jù)正弦來(lái)解題，求出，進(jìn)而得出的度數(shù)，然后可以求出魚(yú)線長(zhǎng)度．【解答】解：，．，．，解得：．故選：．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)處掛了一個(gè)鉛錘．如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)，與樹(shù)頂在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)距地面，到樹(shù)的距離，．則樹(shù)的高度為A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9【分析】由題意可知，，，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：樹(shù)的高度為，故選：．（2022秋?臨朐縣期末）廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的中柱為底邊中點(diǎn)）長(zhǎng)10米，，則跨度的長(zhǎng)是A．米 B．米 C．米 D．米【分析】先由已知得到直角、與的關(guān)系，再由直角三角形的邊角間關(guān)系求出得結(jié)論．【解答】解：由題意，得，為底邊的中點(diǎn)，，．在中，，．（米．故選：．考查題型二坡度問(wèn)題（2023秋?正定縣期中）某一時(shí)刻，與地面垂直的長(zhǎng)的木桿在地面上的影長(zhǎng)為．同一時(shí)刻，樹(shù)的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角為的斜坡上，如圖所示．已知落在地面上的影長(zhǎng)為，落在斜坡上的影長(zhǎng)為．根據(jù)以上條件，可求出樹(shù)高為（結(jié)果精確到A． B． C． D．【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義分別求出、，根據(jù)題意求出，進(jìn)而求出，根據(jù)題意計(jì)算即可．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，長(zhǎng)的木桿在地面上的影長(zhǎng)為，，，長(zhǎng)的木桿在地面上的影長(zhǎng)為，，故選：．（2023秋?晉州市期中）如圖所示，是一座建筑物的截面圖，高，坡面的坡度為，則斜坡的長(zhǎng)度為A． B． C． D．【分析】由坡面的坡度為，可得，再根據(jù)勾股定理可得．【解答】解：坡面的坡度為，，．故選：．（2023秋?洪洞縣期中）如圖是冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)賽道的剖面圖，剖面圖的一部分可抽象為線段．已知斜坡的坡比接近，坡長(zhǎng)為米，則坡的鉛垂高度約為米．A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)已知可設(shè)米，則米，從而在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：，斜坡的坡比接近，，設(shè)米，則米，在中，（米，米，，解得：，米，故選：．（2023秋?橋西區(qū)校級(jí)期中）如圖是某幼兒園的滑滑梯的簡(jiǎn)易圖，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平寬度是，則高為．A．3 B．5 C．2 D．4【分析】根據(jù)題意可得：在中，，從而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：滑坡的坡度是，在中，，，，故選：．考查題型三仰角問(wèn)題（2023?昆明模擬）如圖，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明在學(xué)校門口的點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)的頂端的仰角為，同時(shí)測(cè)得米，則樹(shù)的高（單位：米）為A． B． C． D．【分析】通過(guò)解直角可以求得的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，在直角中，，，，，則．故選：．（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）高樓和斜坡的縱截面如圖所示，斜坡的底部點(diǎn)與高樓的水平距離為30米，斜坡的坡度（坡比），坡頂?shù)降拇怪本嚯x米，在點(diǎn)處測(cè)得高樓樓頂點(diǎn)的仰角為，求樓的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的長(zhǎng)，從而求出，的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則米，，斜坡的坡度（或坡比），米，，（米，米，（米，在中，，（米，（米，高樓的高度為17.2米．（2022秋?岱岳區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明為了測(cè)量門口一棵大樹(shù)的高度，他自制一個(gè)紙板測(cè)量大樹(shù)的高度，已知，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得邊離地面的高度，，則樹(shù)的高度是A． B． C． D．【分析】在，利用和的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)，利用，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意，得：，，，，；故選：．考查題型四方向角（2023秋?高密市期中）一艘游輪從小島正南方向的點(diǎn)處向西航行海里到達(dá)點(diǎn)處，然后沿北偏西方向航行海里到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)觀測(cè)到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點(diǎn)之間的距離為海里．A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意得：，，，在中，海里，，（海里），（海里），海里，海里，在中，，海里，海里，小島與出發(fā)點(diǎn)之間的距離為海里，故選：．（2023秋?肥城市期中）如圖，島位于島的正西方，、兩島間的距離為海里，由島、分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里【分析】要求的長(zhǎng)，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線，然后根據(jù)題目中的條件可以得到的長(zhǎng)，本題得以解決．【解答】解：作于點(diǎn)，如圖所示，，，，海里，，，，，解得，海里，海里，故選：．（2023秋?泰山區(qū)期中）如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，則，兩港之間的距離是A． B．30 C．40 D．50【分析】根據(jù)題意可得：，，，從而可得，從而在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖，由題意得：，，，，，在中，，，，，兩港之間的距離為，故選：．（2023秋?貴陽(yáng)期中）如圖，，，，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，則點(diǎn)在點(diǎn)的A．北偏東 B．北偏東 C．東偏北 D．東偏北【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知為直角三角形，即，則可得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．【解答】解：，，為直角三角形，，在點(diǎn)的北偏西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．故選：．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)四模）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測(cè)得，，則點(diǎn)到的距離為A． B． C． D．【分析】通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，即點(diǎn)到的距離為，故選：．（2023?港南區(qū)三模）如圖，小明為了測(cè)量遵義市湘江河的對(duì)岸邊上，兩點(diǎn)間的距離，在河的岸邊與平行的直線上點(diǎn)處測(cè)得，，已知河寬18米，則，兩點(diǎn)間的距離為（參考數(shù)據(jù)：，，A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以表示出和，然后即可得到的長(zhǎng)．【解答】解：作于點(diǎn)，如圖，，，，，，，，米，，，，，解得米，米，米，故選：．（2023秋?趙縣月考）如圖，一個(gè)圓規(guī)的兩腳不等長(zhǎng)，若一腳，另一腳，則使用這個(gè)圓規(guī)畫(huà)出的圓的半徑長(zhǎng)可能是A． B． C． D．【分析】由三角形的邊的關(guān)系知，，即可求解．【解答】解：圓的半徑相當(dāng)于中，邊的長(zhǎng)度，由三角形的邊的關(guān)系知，，即，故選：．（2023?吉林模擬）如圖，一塊矩形木板斜靠在墻邊，，點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，已知，，，則點(diǎn)到的距離等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數(shù)即可表示出點(diǎn)到的距離，本題得以解決．【解答】解：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖，四邊形是矩形，，，，，，，，，故選：．（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，是平面鏡，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)上點(diǎn)反射后照射到點(diǎn)，若入射角為，反射角為（反射角等于入射角），于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，，，則的值為A． B． C． D．【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得解．【解答】解：如圖，由題意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，，，故選：．（2023?綠園區(qū)校級(jí)模擬）如圖，電線桿的高度為3米，兩根拉線與相互垂直，、、在同一條線上，，則拉線的長(zhǎng)度為A． B． C． D．【分析】證明出，在中，求出即可．【解答】解：，，，，，在中，，，．故選：．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）圖1是一種落地晾衣架，晾衣時(shí)，該晾衣架左右晾衣臂張開(kāi)后示意圖如圖2所示，和分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，其中兩支腳，展開(kāi)角，晾衣臂，則支撐桿的端點(diǎn)離地面的高度為A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)正弦的定義可得答案．【解答】解：，，，，，在中，，故選：．（2023秋?晉州市期中）如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹(shù)垂直于水平地面），當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上樹(shù)影的長(zhǎng)為30米，則大樹(shù)的高為A．15米 B．米 C．米 D．米【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出、，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，則，米，（米，（米，在中，，米，米，故選：．（2023?夾江縣模擬）如圖，在外力的作用下，一個(gè)滑塊沿坡度為的斜坡向上移動(dòng)了10米．此時(shí)滑塊上升的高度是（單位：米）A． B． C． D．10【分析】利用坡度關(guān)系知道鉛直高度于水平寬度之比，再利用勾股定理列方程求出鉛直高度的值即可．本題也可先求出的正弦，再求鉛直高度．【解答】解：如圖，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，，在中，，，解得，滑塊上升的高度為：．故選：．（2022秋?道縣期末）如圖，河堤的橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長(zhǎng)度是A． B． C． D．【分析】根據(jù)坡度的定義求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【解答】解：迎水坡的坡度，，（米，在中，由勾股定理得，（米，故選：．（2023秋?東阿縣校級(jí)月考）如圖大壩的演斷面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的長(zhǎng)度為米，則斜坡的長(zhǎng)度為A．6米 B．米 C．米 D．米【分析】分別過(guò)、作，，四邊形為矩形，根據(jù)斜坡的坡比為，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)度，可得、的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求得答案．【解答】解：分別過(guò)、作，，四邊形為矩形，斜坡的坡比，即，不妨設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理：，，解得或（不合題意，舍去），又背水坡的坡比，，在中根據(jù)勾股定理得：，故選：．（2023?鄖陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，某商場(chǎng)準(zhǔn)備將自動(dòng)扶梯改造成斜坡式．已知商場(chǎng)的層高為，為，改造后扶梯的坡比是，則改造后扶梯相比改造前增加的長(zhǎng)度是A． B． C． D．【分析】在中，利用三角函數(shù)可得，再根據(jù)坡比的定義以及勾股定理可求得，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：在中，，，，解得，改造后扶梯的坡比是，，解得，，．故選：．（2023春?大冶市期中）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭在觀測(cè)站的正東方向，碼頭的北偏西方向上有一小島，小島在觀測(cè)站的北偏西方向上，碼頭到小島的距離為海里．觀測(cè)站到的距離是A． B．1 C．2 D．【分析】證是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由，得，求解即可．【解答】解：由題意得：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，解得：（海里），故選：．（2023秋?萊蕪區(qū)期中）如圖，某一時(shí)刻太陽(yáng)光從教室窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角，已知窗戶的高度，窗臺(tái)的高度，若，為窗外水平遮陽(yáng)篷．（1）求的長(zhǎng)；（2）求遮陽(yáng)篷的寬度．【分析】（1）在直角三角形中，由的正切進(jìn)行求值即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再在直角三角形中，利用的正切值進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）在中，，，；（2），，，，，，在中，，．（2023秋?集美區(qū)校級(jí)期中）新冠疫情爆發(fā)以來(lái)，人們都自覺(jué)減少外出游玩，小區(qū)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)器材區(qū)成了小朋友運(yùn)動(dòng)的最佳場(chǎng)所．如圖是某小區(qū)內(nèi)小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線上，轉(zhuǎn)軸中心到地面的距離．在蕩秋千過(guò)程中（秋千的長(zhǎng)度始終保持不變），當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，測(cè)得點(diǎn)到地面的距離，；當(dāng)從處擺動(dòng)到處時(shí)，有．（1）求蕩秋到地面的最小距離；（2）求到的距離．【分析】（1）先在中求出，即可求出，然后求出即可；（2）過(guò)作于，先求出，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)求解即可．解題的關(guān)鍵是作輔助運(yùn)用含30度角的性質(zhì)．【解答】解：（1）由題意知，又，，在中，，，，，，即蕩秋到地面的最小距離為；（2）過(guò)作于，如圖，，，，，，，即到的距離為．（2023秋?萊蕪區(qū)期中）