1.5 全等三角形的判定（原卷版）

1.5全等三角形的判定1.掌握用SSS,SAS，ASA和AAS證明兩個三角形全等的方法,并會用HL證明兩個直角三角形全等.2.能根據所給條件靈活地選擇三角形全等的判定方法,并能綜合運用全等三角形的性質證明線段和角相等的問題3.通過畫、量、觀察、比較和猜想等過程,探索、歸納、證明兩個三角形全等的條件,提高運用知識的能力知識點一三角形全等的基本事實:邊邊邊邊邊邊三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”提示：三角形的三邊確定后，其形狀、大小也隨之確定.這也是三角形具有穩(wěn)定性的原因2.書寫格式在中，∴即學即練（2022秋·浙江溫州·八年級校聯考期中）如圖，點A，D，B，E在同一條直線上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC與DF交于點O．（1）求證：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度數．知識點二三角形全等的基本事實:邊角邊1.基本事實兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等,簡寫成“邊角邊”或“SAS”2.書寫格式在中，∴注意：(1)應用此判定方法時,可以從圖形上直接觀察到三個對應元素必須符合“兩邊和它們的夾角”,即“SAS”,不要錯誤地認為有兩邊、角就能判定兩個三角形全等.特別注意“邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件(2)在書寫時也要按照“邊一角一邊”的順序排列條件即學即練1（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，AB=AC，添加下列條件，不能使△ABE≌△ACD的是（A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC即學即練2（2022秋·浙江溫州·八年級校聯考期中）如圖，把兩根鋼條AA'，BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA知識點三三角形全等的基本事實:角邊角1基本事實兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等,簡寫成“角邊角或“ASA”2.書寫格式在中，∴即學即練1（2022秋·甘肅平涼·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去知識點四三角形全等的推論:角角邊1基本事實兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等,簡寫成“角角邊”或“AAS”2.書寫格式在中，∴注意：(1)有兩角和一邊分別相等的兩個三角形不一定全等,一定要注意“對應”關系(2)有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等即學即練（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期中）已知，點B、E、C、F在同一直線上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥

(1)證：△ABC≌(2)若∠ACB=40°，∠D=80°，求∠B的度數．知識點五判定兩個三角形全等常用的思路方法已知對應相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)SSS或SAS第三邊對應相等或兩邊的夾角對應相等一邊及其鄰角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一鄰邊對應相等或已知邊的另一鄰角對應相等或已知邊的對角對應相等一邊及其對角(SA)AAS另一角對應相等兩角(AA)ASA或AAS兩角的夾邊對應相等或相等一角的對邊對應相等即學即練（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ΔABC?ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°知識點六常見全等三角形的基本圖形平移型全等翻折型全等旋轉型全等知識點七角的平分線的性質角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等書寫格式提示:(1)該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據,不需要再通過證全等三角形得到相等線段;(2)已知角的平分線及其上一點到角一邊的垂線段,常添加輔助線由角平分線上的已知點向另一邊作垂線段，即構造“角的平分線性質”的基本圖形,得到相等的兩條垂線段.即學即練（2023春·貴州遵義·八年級校聯考期中）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5知識點八角的平分線的判定角的平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線2.書寫格式如圖所示,即學即練（2020秋·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據是（

）A．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等B．角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．以上均不正確知識點九線段的垂直平分線1.線段的垂直平分線經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質及判定性質判定圖示內容線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上書寫格式應用證明線段相等確定點在線段的垂直平分線上即學即練1（2022秋·浙江溫州·八年級校聯考期中）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC，AB于點D，E．已知△BCE的周長為9，BC=4，則AB的長為．即學即練2（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，點D是△ABC邊AC的中點，過點D作AC的垂線交BC于點E，已知AC=6，△ABC的周長為14，則△ABE的周長是（

）A．6 B．14 C．8 D．20題型一用SSS證明三角形全等例1（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AC=DB，要使得△ABC?△DCB，根據“SSS”的判定方法，需要再添加的一個條件是．舉一反三1（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，AF=DC，EF=BC，AB=ED，證明△ABC≌△DEF．舉一反三2（2022秋·浙江·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是求證：AD⊥BC（填空）．證明：在三角形△ABD和∵BD=已知∴≌（）．∴∠ADB＝（全等三角形的對應角相等）．∴∠ADB＝∴（垂直的意義）．題型二全等的性質和SSS綜合例2（2022秋·浙江金華·八年級?？计谥校┤鐖D，AB=CD，AE=DF，CE=BF，說出∠B=∠C的理由．

解：∵CE=BF（

），∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE．在△ABE和△DCF中，AB=__________(∴△ABE≌△DCF（

），∴∠B=∠C（

）舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級校考開學考試）如圖，在△ABC中，點D，點E分別在邊AB，邊BC上，連接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求證：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度數．舉一反三2（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）如圖所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E，C在同一條直線上(1)求證：AB(2)若BC=10，EF=7，求BE的長度題型三用SAS直接證明三角形全等例3（2022秋·浙江嘉興·八年級平湖市林埭中學校聯考期中）如圖把兩根鋼條AA',B

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）為了測出池塘兩端A，B的距離，小紅在地面上選擇了點O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且點A，O，C和點B，O，D分別都在一條直線上，小紅認為只要量出D，C的距離，就能知道AB，小紅是根據△OAB≌△OCD來判斷AB=DC的，那么判定這兩個三角形全等用到的基本事實或定理是（A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，則∠B=∠C，請說明理由（填空）解：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC∴△ABE≌△ACD（

）∴∠B=∠C（

）題型四用SAS間接證明三角形全等例4（2022秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B，E，C，F在同一條直線上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求證：△ABC≌△DEF．舉一反三1（2022秋·浙江·八年級期中）已知：如圖，E為BC上一點，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求證：AB=DE．舉一反三2（2019秋·浙江杭州·八年級期末）如圖，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，則△ABC≌△ADE，請將下列說理過程補充完整．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=______+______．即∠BAC=______．在△ABC和△ADE中，AB=______∴△ABC≌△ADE題型五全等的性質和SAS綜合例5（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD至點E使得AD=DE，連接CE．(1)求證：△ABD≌△ECD；(2)求證：AB∥CE．舉一反三1（2022秋·浙江麗水·八年級?？计谥校┤鐖D，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，連接BE，點D恰好在BE上，則∠3=（

）A．60° B．55° C．50° D．無法計算舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級杭州市青春中學校考期中）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為AC中點，連接DE并延長至點F，使得EF=ED，連CF．

(1)求證：CF∥(2)若∠ABC=50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數．題型六用ASA(AAS)證明三角形全等例6（2022秋·浙江嘉興·八年級平湖市林埭中學校聯考期中）如圖，點E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，

(1)求證：ΔABF?(2)若∠AOE=80°，求∠OEF的度數．舉一反三1（2001春·浙江杭州·七年級?？计谀┬偘岩粔K三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┰凇鰽BC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠題型七全等的性質和ASA(AAS)綜合例7（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）已知△ABN和△ACM位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求證：BD=CE；（2）求證：∠M=∠N．舉一反三1（2023春·浙江·八年級開學考試）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，試求DE的長．舉一反三2（2020·浙江金華·九年級期末）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，連接AC,BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數為（）．A．4 B．3 C．2 D．1題型八添加條件使三角形全等例8（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B，F，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級校聯考期末）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一個條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是（

）A．∠ABC=∠DCB B．AB=DCC．AC=DB D．∠A=∠D舉一反三2（2022秋·浙江紹興·八年級校聯考期中）如圖，已知∠ABC=∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（

）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD題型九靈活選用判定方法證全等例9（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為ΔABC，提供了下列各組元素的數據，配出來的玻璃不一定符合要求的是（

A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC舉一反三1（2022秋·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）根據下列已知條件，能畫出唯一的ΔABC的是（

A．∠C=90°，AB=6 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．AB=3，BC=4，CA=8舉一反三2（2020春·浙江杭州·八年級期中）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙題型十倍長中線模型例10（2023秋·浙江杭州·八年級校考開學考試）AD是△ABC的中線，AB=5,AC=7，則AD的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12舉一反三1（2022秋·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結BE．請根據小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論轉化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．舉一反三2（2019秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D為邊AB的中點，AE⊥CD分別交CD，BC于點F，E（1）如圖1，①若AB=AC，請直接寫出∠EAC-∠BCD=______；②連接DE，若AE=2DE，求證：∠DEB=∠AEC；（2）如圖2，連接FB，若FB=AC，試探究線段CF和DF之間的數量關系，并說明理由．題型十一旋轉模型(全等三角形)例11（2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點E，F分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF（1）思路梳理將△ABE繞點A逆時針旋轉至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數量關系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點E，F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=12∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF（3）聯想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.舉一反三1（2022春·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學校考期末）問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．(1)延長FD到點G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請你利用圖（1）證明上述結論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足______數量關系時，仍有EF＝BE＋FD，并說明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點E、F．且AE⊥AD，DF=403-1米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路舉一反三2（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD.【問題探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立題型十二垂線模型（全等三角形）例12（2022秋·廣東江門·八年級?？茧A段練習）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當直線m繞點A旋轉至圖1位置時，我們可以發(fā)現DE=BD+CE．(1)當直線m繞點A旋轉至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數量關系？（直接寫出，不必證明）舉一反三1（2021春·四川南充·八年級四川省南充市高坪中學校考期中）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，連接AE，過E作AE的垂線交∠BCD的外角平分線于F．(1)求證：AE=(2)如圖若E在BC的延長線上，（1）中的結論是否成立，若成立，請證明，若不成立說明理由．舉一反三2（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=題型十三證一條線段等于兩條線段和(差)例13（2022秋·四川綿陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點P．(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；(3)探究AB、舉一反三1（2020秋·浙江金華·八年級校聯考階段練習）已知△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點(1)如圖，若△ABC為銳角三角形，∠ABC=45°．求證：①△BDF≌△ADC，②(2)如圖，當∠ABC為135°時，寫出FG，DC，AD之間的等量關系，說明相應理由．舉一反三2（2020秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結論①AE=12AB+AD；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④SA．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型十四全等三角形綜合問題例14（2022秋·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團?？计谥校┤鐖D，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一條直線上，下面給出四個論斷：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．任選三個作為已知條件，余下一個作為結論，可得到的命題中，真命題有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠CMB．其中正確的個數為（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校境醪教剿鳌?/p>

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；【靈活運用】(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】(3)如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請寫出∠EAF與∠DAB的數量關系，并給出證明過程．題型十五角平分線的性質定理例15（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°∠B=30°，以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB于點M，交AC于點N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部交于點P，連結AP并延長，交BC于點D．有下列說法：①線段AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=∠BAC；③點D到AB邊的距離與DC的長相等；④△DAC與△ABC的面積之比是1:4．其中結論正確的是（A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是∠BAC的角平分線，E是AB的中點，△ABC的面積為21，AC=6，AB=8，則△BED的面積為（

）A．214 B．5 C．6 D．舉一反三2（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖∠B=∠C=90°，E為BC上一點，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA．(1)求∠AED的度數；(2)求證：E是BC的中點．題型十六角平分線的判定定理例16（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC外作兩個大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．連接DC、BE交于F點．(1)求證：△DAC≌△BAE；(2)直線DC、BE是否互相垂直，試說明理由；(3)求證：AF平分∠DFE．舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級?？茧A段練習）如圖，已知△ABC，∠BAC=70°，∠ABC=46°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，連接AE，則∠AEB的度數為．舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點，CE⊥BD于E，交BA的延長線于F．（1）求證：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求證：CE=12BD（3）若D為AC上一動點，∠AED如何變化？若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數，并說明理由．

題型十七角平分線性質的實際應用例17（2022秋·浙江·八年級期中）一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級校聯考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點D到AB的距離為3cm，則DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm舉一反三2（2020秋·浙江紹興·八年級校考階段練習）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為30、40、15，點P是三條角平分線的交點，將△ABC分成三個三角形，則SΔAPB︰SΔBPC︰SΔCPA

題型十八線段垂直平分線的性質例18（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4，△ABD的周長為14，則△ABC的周長為．舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級校考開學考試）如圖所示，在△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BCE的周長為（

）

A．13 B．18 C．10.5 D．21舉一反三2（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在△ABC中，AC=7cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是13cm，則BC的長為（

A．5cm B．6cm C．7cm題型十九線段垂直平分線的判定例19（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一形狀為四邊形的風箏（四邊形ABCD），測量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，舉一反三1（2021秋·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD=AC，點E為BC上一點，連接AE，2∠BAE=∠CAD，連接DE．若BE=a，CE=b，則DE=（用含a、b的代數式表示）．舉一反三2（2020秋·浙江臺州·八年級臺州市書生中學?？茧A段練習）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中成立的有(填寫正確的序號)．①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．題型二十線段垂直平分線的實際應用例20（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB，以點A，B為圓心，5為半徑作弧相交于點C，D．連結CD，點E在CD上，連結CA，CB，EA，EB．若△ABC與△ABE的周長之差為4，則AE的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三1（2022秋·浙江·八年級階段練習）如圖，某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，（點M，N表示大學，AO，BO表示公路），現計劃在∠AOB內部修建一座物資