7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 教學(xué)案2023-2024學(xué)年高一人教版數(shù)學(xué)

7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程：一、導(dǎo)入新課，板書(shū)課題在解決判別式小于0的實(shí)系數(shù)一元二次方程的問(wèn)題時(shí)，大家是否想過(guò)引入新的數(shù)使實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充呢？這節(jié)課我們就來(lái)探討一下?！景鍟?shū)：7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念】二、出示目標(biāo)，明確任務(wù)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程；2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念；3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件。三、學(xué)生自學(xué)，獨(dú)立思考學(xué)生看書(shū)，教師巡視，督促學(xué)生認(rèn)真看書(shū)（3min）閱讀課本P68-69內(nèi)容，回答以下問(wèn)題：1.找出你閱讀內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)。2.找出你閱讀內(nèi)容中的重點(diǎn)。3.找出你閱讀內(nèi)容中的困惑點(diǎn)。四、自學(xué)指導(dǎo)，緊扣教材1.自學(xué)指導(dǎo)（8min)閱讀課本68-69頁(yè)內(nèi)容，思考并完成如下問(wèn)題：（1）方程x2+1=0在實(shí)數(shù)中無(wú)解，你能給出一種方法，使這種方法有解嗎？（2）為此，引入新數(shù)_____，即i2=_______？（3）實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?舉例說(shuō)明。（4）什么是復(fù)數(shù)？其中虛數(shù)單位是什么？復(fù)數(shù)集是什么？（5）z=a+bi中，實(shí)部是？虛部是？什么是虛數(shù)？什么是純虛數(shù)？（6）復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？（7）如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等嗎？五、自學(xué)展示，精講點(diǎn)撥1.口頭回答自學(xué)指導(dǎo)問(wèn)題（答案見(jiàn)PPT）2.書(shū)面檢測(cè)：練習(xí)題1、2、3、4、5精講點(diǎn)撥：1．復(fù)數(shù)的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復(fù)數(shù)集．2．復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.3．復(fù)數(shù)的分類z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非純虛數(shù)a≠0,純虛數(shù)a＝0))))新課導(dǎo)入我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定；反之也對(duì)。由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎？探索新知因?yàn)槿魏我粋€(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定，并且任給一個(gè)復(fù)數(shù)也可以唯一確定一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，所以復(fù)數(shù)z=a+bi與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的。而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示。這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。由圖可知，顯然向量OZ由點(diǎn)Z唯一確定；反之，點(diǎn)Z也可以由向量OZ唯一確定。因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了如下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)），即復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量OZ一一對(duì)應(yīng)，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義。我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量OZ，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。圖中向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模就等于|a一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi。課堂練習(xí)1．已知平行四邊形OABC，O、A、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0、1＋2i、3－2i，則向量的模||等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．4D.eq\r(13)解析：選D由于四邊形OABC是平行四邊形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝eq\r(13)，故選D.2．復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：選A∵|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(5)，∴eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，∴－1<a<1.3．已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，它的模是3，實(shí)部是－eq\r(5)，則z為()A.-eq\r(5)＋2iB.－eq\r(5)－2iC.eq\r(5)＋2iD.eq\r(5)－2i解析：選A設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＝－eq\r(5)，由|z|＝3，得(－eq\r(5))2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.∵復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴y＝2.∴z＝－eq\r(5)＋2i.4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為()A．一個(gè)圓B．線段C．兩點(diǎn)D．兩個(gè)圓解析：選A∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一個(gè)圓，故選A.5．復(fù)數(shù)z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范圍為_(kāi)_______．解析：|z|＝eq\r(1＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)，∵π<α<2π，∴－1<cosα<1.∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0,2)．答案：(0,2)6．已知z－|z|＝－1＋i，則復(fù)數(shù)z＝________.解析：法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由題意，得x＋yi－eq\r(x2＋y2)＝－1＋i，即(x－eq\r(x2＋y2))＋yi＝－1＋i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(x2＋y2)＝－1，,y＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴z＝i.法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，等式兩邊取模，得|z|＝eq\r(|z|－12＋12).兩邊平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.答案：i小結(jié)作業(yè)小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及共軛復(fù)數(shù)的概念。作業(yè)：完成本節(jié)課課后習(xí)題。板書(shū)設(shè)計(jì)7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量OZ建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系圖中向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為