人教A數(shù)學(xué)必修三教案學(xué)案3.3.1 幾何概型

3.3.1幾何概型

教材分析：和古典概型一樣，在特定情形下，我們可以用幾何概型來計(jì)算事件發(fā)生的概

率.它也是一種等可能概型.教材首先通過實(shí)例對(duì)比概念給予描述，然后通過均勻隨機(jī)數(shù)隨

機(jī)模擬的方法的介紹，給出了幾何概型的一種常用計(jì)算方法.與本課開始介紹的P（A）的

公式計(jì)算方法前后對(duì)應(yīng)，使幾何概型這一知識(shí)板塊更加系統(tǒng)和完整.這節(jié)內(nèi)容中的例題既通

俗易懂，又具有代表性，有利于我們的教與學(xué)生的學(xué).教學(xué)重點(diǎn)是幾何概型的計(jì)算方法，尤

其是設(shè)計(jì)模型運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計(jì)未知量；教學(xué)難點(diǎn)是突出用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，

把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題.

教學(xué)目標(biāo)：1.通過這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)

用.

2.通過對(duì)照前面學(xué)過的知識(shí)，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計(jì)算方法，

設(shè)計(jì)估計(jì)未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力.

3.通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性與規(guī)律性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法，提

高學(xué)生對(duì)自然界的認(rèn)知水平.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：是隨機(jī)模擬部分.這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要一些實(shí)物模型作為教具，如教

科書中的轉(zhuǎn)盤模型、例2中的隨機(jī)撒豆子的模型等.教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，

以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性，然后再通過計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試

驗(yàn)，得到模擬的結(jié)果.隨機(jī)模擬的教學(xué)中要充分使用信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動(dòng)手產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),

進(jìn)行模擬活動(dòng).

教學(xué)過程：

一、問題情境

如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤.甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則

乙獲勝.

問題：在下列兩種情況下分別求甲獲勝的概率.

圖30-I

二、建立模型

1.提出問題

首先引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形和甲獲勝是否有關(guān)系，若有關(guān)系，和幾何體圖形的什么表面

特征有關(guān)系？學(xué)生憑直覺，可能會(huì)指出甲獲勝的概率與扇形弧長(zhǎng)或面積有關(guān).即：字母B

所在扇形弧長(zhǎng)（或面積）與整個(gè)圓弧長(zhǎng)（或面積）的比.接著提出這樣的問題：變換圖中B

與N的順序，結(jié)果是否發(fā)生變化？（教師還可做出其他變換后的圖形，以示決定幾何概率

的因素的確定性）.

題中甲獲勝的概率只與圖中幾何因素有關(guān)，我們就說它是幾何概型.

2

注意：（1）這里"只'’非常重要，如果沒有“只”字，那么就意味著幾何概型的概率可能

還與其他因素有關(guān)，這是錯(cuò)誤的.

（2）正確理解“幾何因素”，一般說來指區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）.

2.引導(dǎo)學(xué)生討論歸納幾何概型定義，教師明晰----抽象概括

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣

的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

C,A、_構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）

）一試收的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)誡長(zhǎng)度（或面積或體積）

3.再次提出問題，并組織學(xué)生討論

（1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？

（2）在500ml的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)

現(xiàn)草履蟲的概率.

（3）某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多

于lOmin的概率.

通過以上問題的研討，進(jìn)一步明確幾何概型的意義及基本計(jì)算方法.

三、典型例題

1.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30?7：30之間把報(bào)紙送到你家，而

你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7：00?8：00之間，問你父親在離開家前能得到報(bào)紙（稱

為事件A）的概率是多少.

分析：我們有兩種方法計(jì)算事件的概率.

（1）利用幾何概型的公式.

（2）利用隨機(jī)模擬的方法.

解法1：如圖，方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示

父親離開家去工作的時(shí)間.假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型

的條件.根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙，即事件A

發(fā)生，所以

602-孚

P（A）=-—?-=-=87.5%

00

解法2：設(shè)X,Y是。?1之間的均勻隨機(jī)數(shù).X+6.5表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，Y

+7表示父親離開家去工作的時(shí)間.如果Y+7>X+6.5,即Y>X—0.5,那么父親在離開

家前能得到報(bào)紙.用計(jì)算機(jī)做多次試驗(yàn)，即可得到P（A）.

3

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解答，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬方法，并組織學(xué)生展示自己的

解答過程，要求學(xué)生說明解答的依據(jù).教師總結(jié)，并明晰用計(jì)算機(jī)(或計(jì)算器)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

的模擬試驗(yàn).強(qiáng)調(diào)：這里采用隨機(jī)數(shù)模擬方法，是用頻率去估計(jì)概率，因此，試驗(yàn)次數(shù)越多,

頻率越接近概率.

2.如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆

子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率的值.

解：隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆

子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即

圓的面積落在園中的豆子數(shù)

正方形的面積“落在正方形中的豆子數(shù)

假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則

圓的面積_?_芯

正方形的面積—I3衣一不

由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的，所以

落在圓中的豆子數(shù),

X、落在正方形中的豆子數(shù)

這樣就得到了兀的近似值.

另外，我們也可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬，步驟如下：

(1)產(chǎn)生兩組0?1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a,=RAND,b,=RAND；

(2)經(jīng)平移和伸縮變換，a=3—0.5)*2,b=(b|-0.5)*2；

_4N,

(3)數(shù)出落在圓內(nèi)a?+b2<l的豆子數(shù)Ni，計(jì)算“―k(N代表落在正方形中的豆子

數(shù)).

可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，得到兀的近似值的精度會(huì)越來越高.

本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過隨機(jī)模擬法可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積.

［練習(xí)］

1.如圖30-4,如果你向靶子上射200鏢，你期望多少鏢落在黑色區(qū)域.

2.利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖30-5中陰影部分(y=l和y=x2圍成的部分)的面積.

圖30-1m30-5

4

3.畫一橢圓，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案，求此橢圓的面積.

作業(yè)：課本

5

3.3.1幾何概型

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用.

2.通過對(duì)照前面學(xué)過的知識(shí)，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計(jì)算方法，

設(shè)計(jì)估計(jì)未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力.

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容

L________________________________________________________________________

一，簡(jiǎn)稱為幾何概型.

2.在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

3.討論：

（1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？

（2）在500ml的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求

發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.

三、提出疑惑

同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中

疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：幾何概型的計(jì)算方法.

二、學(xué)習(xí)過程：

例1.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30~7：30之間把報(bào)紙送到你家,

而你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7：00?8：00之間，問你父親在離開家前能得到報(bào)紙

（稱為事件A）的概率是多少.

父親高開家去工作的時(shí)間

圖30-2

分析：我們有兩種方法計(jì)算事件的概率.

（1）利用幾何概型的公式.

（2）利用隨機(jī)模擬的方法.

解法1：

解法2：

6

例2.如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的

豆子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率的值.

H30-3

解：

用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬，步驟如下:

(1)

(2)

(3)

三、反思總結(jié)

1、數(shù)學(xué)知識(shí)：

2、數(shù)學(xué)思想方法：

四、當(dāng)堂檢測(cè)

一、選擇題

1.取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)

都不小于1m的概率是.

A.-B.-C.-D.不確定

234

2.己知地鐵列車每10min一班，在車站停1min.則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上

車的概率是

11

AC

—9-8-

10

3.在1萬(wàn)kn?的海域中有40km2的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意

一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是.

二、填空題

1.如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正方形內(nèi)部畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形,

向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率是.

7

2.如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為4、b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底分

別為‘4與_1”,高為b,向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為

32

三解答題

1在等腰RtZXABC中，在斜邊A8上任取一點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.

答案一、選擇題

1.B2.A3.C

二、填空題

三、解答題解：在上截取AC'=AC,于是尸(AM<AC)=P(AM<AC')

答:AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率為立.

2

ACAC41

課后練習(xí)與提高

1.兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大

于2m的概率是.

2.如下圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線