高等數(shù)學函數(shù)與極限題庫 含參考答案

函數(shù)與極限題庫

、選擇題

1.下列函數(shù)相同的是(D).

于(x)=卮,g(x)=x

A、/(九)=|x|,g(x)=(?)2B、

C、/(x)=Inx2,g(x)=21nxD、/(x)=lnx2,g(x)=21n|x|

2-x,x<0,fx<f)

2.設函數(shù)g(x)=</(%)=''則磯/(x)]=(D).

x+2,x>0,-x,x>0,

2

2+X2,X<0,2-x,x<0,

A、<B、《

2-x,x>0.2+X2,X>0.

2-x2,x<0,2+X2,X<0,

C、《D、

2-x,%>0.2+x,%>0.

3.函數(shù)y=J3—f+ln1的自然定義域為(C).

A、｛x10<x<s/3｝B、｛x|0<x<^3｝

C、｛x|0<x<百｝D、｛x|0<x<>/3｝

4.設/(x),g(x)是［-/,/］上的偶函數(shù)，/z(x)是［-/,/］上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)

必為奇函數(shù)。(D)

A、/(x)+g(x)；B、f(x)+h(x)；C、f(x)［g(x)+h(x)］；D、f(x)g(x)h(x)=

5.數(shù)列｛%｝有界是數(shù)列｛七｝收斂的(B)條件.

A、充分非必要B、必要非充分

C、充分且必要D、既非充分又非必要

6.關于數(shù)列［二一］的說法正確的是(D)

［10"J

A、極限不存在B、極限存在且為1C、極限情況無法確定D、極限存在且為0

7./(%)在/的某一去心鄰域內有界是存在的(C)

A、充分必要條件；B、充分條件；C、必要條件；D、既不充分也不必要條件.

8.函數(shù)在一點的極限存在和函數(shù)在該點的左右極限的關系是(A)

A、若左右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點極限存在

B、若函數(shù)在該點極限存在，則左極限不一定存在

C、若函數(shù)在該點極限存在，則右極限不一定存在

D、若函數(shù)在一點極限不存在，則左右極限中至少有一個不存在

9.?(%)=---,/3(x)=l-y/x,則當無一>1時有_____。(C)

1+x

A、。是比高階的無窮??；B、a是比低階的無窮小;

C、a與尸是同階無窮小;D、a?0

10.下列說法正確的是（B）

A、非常小的數(shù)是無窮小B、零是無窮小

C、兩個無窮小的商是無窮小D、兩個無窮大的和是無窮大

11.設函數(shù)—則當xf0時，有（A）.

A、y（x）與x是等價無窮小

B、/（x）與x是同階非等價無窮小

C、/（x）是比x高階的無窮小

D、/（x）是比x低階的無窮小

%_]JQ<]

12.設函數(shù)/(%)=—―'-'則/'(X)在x=l處(C).

3-ln(x-l),x>l,

A、左、右極限都存在B、左極限不存在，右極限存在

C、左極限存在，右極限不存在D、連續(xù)

13.極限lim生當X=(C)

73x

23

A、0B、1C、D、

32

2-l，

14.當尤f1時，函數(shù)-x----"T的極限（D）

X-1

A、等于2；B、等于0；C、為oo；D、不存在但不為oo。

15.數(shù)列極限（九一=。（B）

M—>CO

A、1；B、一1；C、oo；D、不存在但非co。

「sinx/—

16.lim-------=(D

\x

A、1；B、-1；C、0；D、不存在。

￡

17.lim(l-x)x=(D)

%-o

-1

A、1；B、1；C、e；D、eo

18.limX(A/X2+1-x)=(C)

X—>00

A、1；B、2c；Cc、一1；D、0o

2

無之

19.已知函數(shù)/(%)=<'f)<—X<—]'在x=l處連續(xù)，貝lja=____.(D)

a+x.1<x<2,

A、1B、不存在C、2D、0

x-1,x<0

20.函數(shù)/(x)=0,x=0在x=0點的極限情況是(B)

x+1,x>0

A、極限存在等于0B、極限不存在C、極限存在且為1D、極限存在且為T

2

x-l

21.x=l是函數(shù)y=—y的(A)間斷點

A、可去B、跳躍C、無窮D、第二類

22.x=l是函數(shù)y=吉的(D)間斷點

A、可去B、跳躍C、第一類D、第二類

+x-1

23.函數(shù)/(%)=<>1+%一1’*”一，在1=0處連續(xù)，則左=o(A)

kx=0

2?八

A、2B、—；C>1；D>0o

23

sinx

XH-----x---<--0

X

24./(x)=,0x=0,則x=0是/(x)的o(C)

1

xcos—x>0

X

A、連續(xù)點；B、可去間斷點；C、跳躍間斷點；D、振蕩間斷點。

25.函數(shù)/(X)在點x=x0處有定義是當工—%時/(%)有極限的(D)條件.

A、必要B、充分C、充要D、無關

26.(君)都存在是四”(九)存在的(B).

A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充要條件D、無關條件

27.若lim/(x)=oo,limg(x)=oo,下列正確的是(D).

X—>xo\/X—>AQ\/

A、lim(/(x)+^(%))=ooB、則小)-g(x))=°

與

C、lim——------=0D、lim4f(%)=oo(左為常數(shù)，kwO)

x->Ab

28.若/(%)在閉區(qū)間［凡可上取得最大值M和最小值加，貝hB).

A、/(x)在［〃,可上一定連續(xù)B、4工)在［〃,可上不一定連續(xù)

C、必有/(a)=M/(，)二mD、必有/(a)=加,/(，)="

29.設函數(shù)滿足/z(x)</(x)<g(x),且lim〃(％)=a,limg(%)=「,〃￡>,則lim/(%)

X-X-X-

(C).

A、一定存在，在。力之間B、一定存在，等于〃或Z?C、不一定存在D、一定不存在

30.設函數(shù)〃x)=%5二1，則尤=0是〃%)的(D).

ex+1

A、可去間斷點B、連續(xù)點C、第二類間斷點D、跳躍間斷點

31.當X—>0時，l-cosx與xsinx相比較(D).

A、是低階無窮小量B、是等階無窮小量C、是高階無窮小量D、是同階無窮小量

32.若函數(shù)/(幻在某點與極限存在，貝曙B).

A、/(x)在玉)的函數(shù)值必存在且等于極限值

B、/(x)在玉)的函數(shù)值可以不存在

C、/(x)在/的函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值

D、如果/(%)存在則必等于極限值

33.下列極限計算正確的是(D).

(1V1sinx1

A、lim1+—=eB、limxsin—=1C、lim----=1D、limxsin—=1

Xf01X)x—0Xxf8xXf8X

二、填空題

L"x)=1+J100-4的定義域是一一10。<2且THI——?

一書

2.函數(shù)y=Ji—%?+arctan2x的定義域為_-1<X<1—

3.設/(%+1)=%n+3x+5,則/(犬)=_+%+3______.

4.設〃%)=卜+1則勤/(乃=].

cosxx>0

5.設〃x)==i,則(1)1山^⑴二.1,(2)lim/(x)=

1

JX\-121x—>0--------------------------x—>oo----------

1-

6.函數(shù)〃無)=—心匕一的連續(xù)區(qū)間是__[_i,i)_(i,^x))—.

(x-l)(x+2)

x2-1,x<0

7.設函數(shù)/(元)=卜，0<x<l的間斷點x=0

2-x,l<x<2

,4-41

8./(%)=，%2—2,當。=3時，/(%)在X=1處連續(xù).

ax=l

9.若lim(l+—)2，=e,則左=1

X2

10-lim(l+tanx)x-e2

11.極限lim—sinx=___0______

X—>00JQ

Y2—4

12.極限lim----=4

x-2

X-1

13.X=1是函數(shù)y=-----的可去_______間斷點。（填:可去、跳躍或者第二類）

X—1

14.單調且_______有界的數(shù)列一定有極限。

,1+2+3+...+n—11

15.極限hm--------------_____—_______

asri2

16.函數(shù)y=3%+sin2x的連續(xù)區(qū)間為（-oo,+oo）

17.x-0時，tan2x是sin3x的一同階無窮小。（填：高階，低階，同階）

%

18.已知刖5)=l+c°sx,則e)=_2sin%

3尤11

19.函數(shù)/(x)=arcsin----的定義域是___--<x<—

1+x42

20.lim(yjn+J〃+l)(J〃+2—y/n)=2

n—>+co

21.x-0時，tanx-sinx是x的__3階無窮小。

22.limexarctanx=__0。

%f-00

e*+]r>Q

23.f(x)=\'在x=0處連續(xù)，貝ijb=—2

x+Z?,x<0

.rln(3x+l)1

24.lim----------=___—____o

%-。6x2

25.設/(x)的定義域是[0,1],則/(Inx)的定義域是—[l,e]

26.函數(shù)y=l+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex~l-2

27.設。是非零常數(shù)，則—。

asx-a

28.設函一數(shù)“小、)=■e~x,，x<x0>0,則/、cLosxxx—<0

r2-4

29.函數(shù)/(%)=------的水平漸近線為_____y=l_____.

x-x-2

“「sinax八7八\a

30.lim------z(aw0,bw0)=___—________.

%-0sinbxb

23

31.設+—)"=e-3,則％=_.

%-cox2

32.如果函數(shù)/'(x)當a時的左、右極限均存在，但/'(x)在x=a處不連續(xù)，則稱

間斷點x=a為第——一類間斷點.

jr

33.如果x-0時，要無窮小量（1一cos%）與asin?萬等價，a應等于2

三、計算題

%2—3x+2

1.lim-------------

x+4元-5

解：原式=lim(t1)(x二2)=[im==—!

x-i(1—1)(冗+5)犬+56

2.lim----------------r

111一％1-x

解：原式=lim---------------二lim——=

n(1一x)(l+x)31+%2

1.y/5x—4-yfx

3.lim-------------------

TX-l

角麻原式=lim------------/——==lim/——尸=2

*川(x-l)(j5x-4+Jx)J5%一4+Jx

4.lim+3尤+2—九

x—>4-00\

3+2

3+23

解：原式=lim,r=——二limX

f°G+3%+2+%…i3Ai2

+X+X+

5.limfl--Y

XJ

解：原式=lim1+」一

XfcoX

<、4?

1-COSX

6.lim

x-?0-1

7

解：原式=|吧a4

「tan3%

7.lim---------

%-。sin5%

3丫3

解:原式二lim——=—

35x5

2

「3X+2X+2021

8.lim-----------------------

…7X2+10X+2020

2021

3

解:原式二lim

r1020207

7+—+^^

x-3,x<0

9.請分析函數(shù)/(%)=10,%=0在x=0處的極限情況。

x+6,x>0

解：lim/(x)=limx-3=-3

x—>0-x—>0-

limf(x)=lim%+6=6,

%-o+Xfo+

lim/(x)wlim/(九)，所以/(%)在冗=0處極限不存在

x->0-%.0+

1-COSX

10.lim

x->0xsinx

x2

解：原式=lim3=，

x2

2

「7X+3X-2

11.lim--------------

%-002x+l

rc2

7x+3—

解：原式=lim--------二工=oo

2+-

x

12.請求出函數(shù)—的間斷點并判定其類型。

X2-3X+2

解：y=--------------，在x=1和x=2處有間斷點

(x-l)(x-2)

x-1

lim-1,為第一類可去間斷點;

Xf1(x-l)(x-2)

x-1

lim為第二類無窮間斷點

x—>2(x-l)(x-2)

x

13.吁si『

(.x\

sin——r

解：原式=lim212x=2x

n—>coX

n-\

27

CSCx-cotX

14.lim

x->0X

1COSXx2

sinxsin尤_^l^cosx

解:原式二lim

xfOXxsinx

i

15.hmx(ex-1)；

00

角星：原式二lim1("-1)=lim[Q)=1

-0t1ot

3x

2x+l

16.lim

X—>002x-l

解：原式=lim3

x—>00

「8cos2x-2cosx-l

17.lim------------------------

X^-2cosx+cosx-1

3

解：原式=1岬“J2"1=[岬"？⑹+2)=^8￡+2=2

Y2t+iT”g)⑵+2)2t+2

A/1+xsinx-Vcosx

18.lim

x->0xtanx

xsinx+1-cosx

解:原式二lim

%-oxtan%(J1+尤sin%+Jcos%)

1(xsinx-1-cosx、3

—lim----------Film---------—lim]+lim烏

2xtanx%一。xtanx)2…x2…x24

k7

19.lim-------1--------bd-----------；

〃—8(1X22X3n(n+l)?

解：lim---+-------=liml-----=1

f°i223nH+1n+\

nn「ln(l+V2^x)

20.lim--一<；

arctanv4-x2

解：原式二lim—ln(l+p^^(%=t-2)

arctanW-r2

i.亞i.11

=lim-----==lim=—j=

i#/4—2-0^/f4-t孤

21.lim(l+3tan2x)cot2x

X-o