河北省唐山市2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)上冊(cè)摸底演練數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省唐山市2023-2024學(xué)年度高三上學(xué)期摸底演練數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合"=｛-2,-1,0,1,2｝,"=卜--彳_2叫，則McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,1}C.{-1,0,1,2).D.{-1,2}

2.已知z=4^,貝IJz-1=()

2-21

A.1B.0C.iD.-i

3.已知AB=(1,1),AC=(2,1),miC.BC=()

A.-1B.-2C.1D.2

4.已知曲線/'（無(wú)）=2、0亞在x=0處的切線為/,貝U/的斜率為（)

A.In2B.—ln2C.1D.-1

5.已知直線區(qū)-了+2=0,圓C:Y+y2=/（r>o）,若圓C上愴有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離

都等于血,則廠=（）

A.2B.4C.272D.8

6.設(shè)甲：｛%｝為等比數(shù)列；乙：｛qy+J為等比數(shù)列，貝U（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必

要條件

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E（T,5）是拋物C：V=2px的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線/

與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，若04,03,貝IA03的面積為（）

A.4A/5B.8A/5C.4小D.8百

8.設(shè)a,/7e[o,5）,P=A/^sinacos』+cosasin2Q.當(dāng)P取得最大值時(shí)，口,"滿足（）

B.tana=1^tan4=出

A.tana=A/2,tan￡=石

D.tana=手，tanQ=g

C.tana=0,tan，=

二、多選題

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)，分別為芯,々，…，％和%,%，泗，%，且平均數(shù)尤=90,y=80,標(biāo)準(zhǔn)差

分別為6和4,將兩組數(shù)據(jù)合并為z”Z2,…重新計(jì)算平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，則（）

A.平均數(shù)為85B.平均數(shù)為86C.標(biāo)準(zhǔn)差為10D.標(biāo)準(zhǔn)差為2g

10.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽"（2x-1）是周期為2的奇函數(shù)，則（）

A."1）=0B."2）=0C."3）=0D.“4）=0

11.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是印。，空氣的溫度是綜℃,那么

ftnin后物體的溫度。（單位：℃）可由公式綜+（4-4）片”求得，其中左是

一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).已知4＞4＞0.（）

A.若左=1112,4=5%,則經(jīng)過(guò)4min后，該物體的溫度降為原來(lái)的!

B.若4=54,則存在心使得經(jīng)過(guò)ftnin后物體的溫度是經(jīng)過(guò)2ftnin后物體溫度的

的2倍

C.若。＜92Vt3,且4+4=2L，則/&）+/&）＞2y（L）

D.若氣，且4+，3=2￡-（。是/⑺的導(dǎo)數(shù)，則-））+9&）＞2（色）

12.如圖，在三棱臺(tái)ABC-A用G中，丫表示體積，下列說(shuō)法正確的是（）

A.^B-AAfit=Kl-BBjCj

B.%一48￡，Kl-ABC成等比數(shù)列

c.若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則AA=B2I=CG

D.若該三棱臺(tái)存在外接球，貝l]AA=Bg=CG

三、填空題

13.為了解一個(gè)魚(yú)塘中養(yǎng)殖魚(yú)的生長(zhǎng)情況，從這個(gè)魚(yú)塘多個(gè)不同位置捕撈出100條魚(yú),

分別做上記號(hào)，再放回魚(yú)塘，幾天后，再?gòu)聂~(yú)塘的多處不同位置捕撈出120條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

其中帶有記號(hào)的魚(yú)有6條，請(qǐng)根據(jù)這一情況來(lái)估計(jì)魚(yú)塘中的魚(yú)大概有條.

14.在圓錐尸。中，。為底面圓心，，>4尸8為圓錐的母線，且=若棱錐O-B4B

為正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

15.已知A,8,C為〃x)=sin0x與g(x)=costox的交點(diǎn)，若，ABC為等邊三角形，貝。正

數(shù)。的最小值為.

22

16.已知月，鳥(niǎo)是橢圓E:+==l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，E上兩點(diǎn)滿足

ab'

3AF2=2F2B,\AF,\=2\AF2\,則E的離心率為.

四、解答題

17.已知｛%｝和也｝是公差相等的等差數(shù)列，且公差/>。,｛%｝的首項(xiàng)卬=1,記S“為數(shù)

列｛%,｝的前〃項(xiàng)和，。也,=2S”.

⑴求％和或；

(2)若的前〃項(xiàng)和為T”，求證：(〈看.

18.在長(zhǎng)方體中，AB=2AD=2,E是棱CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面BE耳;

(2)若異面直線EB｝與DCX所成角為30。,求EB、與平面AED,所成角的正弦值.

19.在4ABe中，AB=3,AC=2,O為8c邊上一點(diǎn)，且AD平分NB4C.

(1)若BC=3,求8與4少；

⑵若/4DC=60°,^ZBAD=0,求tan。.

20.已知函數(shù)/(力=%3一2x2,g(x)=32e”.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若f(/)=g(s),求S的最小值.

21.甲、乙兩個(gè)袋子里各有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，每次獨(dú)立地從兩個(gè)袋子中隨機(jī)取出1

個(gè)球相互交換后放回袋中，若第九次交換后，甲袋中兩個(gè)球顏色相同，記X,=l,否則，

X"=0.

⑴求X1=0的概率；

⑵求x“=l的概率；

(3)記￥=￡乂,，求E(y).

Z=1

22

22.已知A(3,1),B是雙曲線「二-工=1(。>0,6>0)上的兩個(gè)點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1的

ab

兩條漸近線互相垂直.

⑴求r的方程；

⑵設(shè)尸是雙曲線「上一點(diǎn)，直線PAP3分別與直線x交于M,N兩點(diǎn)，求|AM|+忸N|

的最小值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】先計(jì)算出"={引-14尤42},從而求出交集.

［詳角星］N={尤_彳一24€)}=1x|-l<x<2^,

故McN={-2,-1,0,1,2}c{x|—l<x42}={-1,0,1,2}.

故選：C

2.C

1-1_

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=]i,得到z=-；i,即可求得Z-W即可求解.

1+i1+i(1+i)21.-1

【詳解】由復(fù)數(shù)Z=2-2i―2(1-i)―2(l-i)(l+i)-T可得z*尹

-11

所以z-Z'i-Qiihi.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】AB=(1,1),AC=(2,1),BC=AC-AB=(1,0)

AC-BC=2xl+0xl=2.

故選：D

4.A

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算即可求解.

【詳解】對(duì)〃x)=2'cosx求導(dǎo)得，/,(x)=(ln2)x2i.cos.x-2T-sinx,由題意曲線

=2%0斜在x=0處的切線/的斜率為々=尸(O)=(ln2)x2°-cosO-2°-sin0=ln2.

故選：A.

5.C

【分析】由于圓心到直線的距離為0,根據(jù)圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于血,可以

得到圓心到直線/的距離1=鼻，可得半徑廠的值.

【詳解】圓心c(o,o),則點(diǎn)C到直線/的距離d[°0'=女,

又因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為行，

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

所以圓心到直線/的距離d=,即r=2d=20.

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念和充分必要條件的概念即可得到答案.

【詳解】充分性：若｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,

則4L&L=4±L=g2,所以｛4.凡包｝為等比數(shù)列，公比為/,滿足充分性.

a?-l'anan-l

必要性：若｛。/。用｝為等比數(shù)列，公比為-2,

則%“"+1=_2,即乙=一2,

an-\'anan-l

假設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，此時(shí)久^二才二力無(wú)解，故不滿足必要性.

an-\

所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.

故選：A

7.B

【分析】由E在準(zhǔn)線上求出拋物線方程，依題意直線/的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為上

（丘0）,則直線/的方程為y-5=左（了+1）,聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)4（%,%）,3（%,%），

列為韋達(dá)定理，由。則0408=0,即可求出％的值，從而求出直線方程，求出直

線與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后根據(jù)SAOB=^\OM\\yi-刈計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)￡（-1,5）是拋物C:：/=2px的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以-=解得。=2,

所以拋物C:;/=4x,

依題意直線/的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為左小中0）,則直線/的方程為＞-5=左（彳+1）,

由〔，2一5；%0+1）,消去x整理得y2_）y+?+4=oG

[V=4xkk

由A=S-4（?+4）＞0,解得一5^?＜々＜?；颉＃ㄗ螅?54^/^,

設(shè)A（“i）,3（孫％），所以％+為=?，%%=孚+4,

kk

因?yàn)?。?]。4.。8=0，即菁4+必必=。，

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

而M-5-左％-5-左_乂%-（5+左）（必+%）+（5+左）2

小-------------r~-----------P---------

y+4-（5+fc）-1+（5+Z:）2（5+4，

=e=~ie~

所以占％+以為=由+4+空2=0,解得左=一1或左=一5,

kk

當(dāng)上=-5時(shí)直線/即y=-5x過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，不符合題意，故舍去；

當(dāng)左=-1時(shí)直線/即尸-尤+4,令y=o解得＞4,所以直線/與X軸交于點(diǎn)M（4,o）,

2

將上=-1代入①得y+4y-16=0,解得％=-2+26、y2=—2—2^5,

所以s3刃=?必|(-2+2A/5)-(-2-2必卜8非.

8.C

［分析］先根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)/?=A/2sinxcos夕+cosxsin2J3,xe,,j求導(dǎo)后可知在

時(shí)，/,（0）＞0,/C|）＜O可知比/，鼻，使得/'（%）=0,此時(shí)y（x）取最大值,

進(jìn)而得tan尤。sin尸=乎恒成立，代入每一項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】解：令/（x）=V^sinxcos夕+cosxsin2/,%￡［o，m）

/(%)=&cos%cos/-sinxsin2(3

/(0)=V2cos/7>0

=-sin2/7<0

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

所以現(xiàn)［o,3,使得f(x°)=O,

因?yàn)?(x)=y/2cosxcos/?-sinxsin2￡在1°，j上遞減，

所以在(O,x°)上/(x)>0,此時(shí)/⑴遞增；

在卜上八x)<0,此時(shí)遞減；

所以/(九)的最大值為了(%)，

因?yàn)?(尤o)=J5cos%oCOs/7-sin%oSin2/7=0

所以tanx0sinP=恒成立

所以sin尸=與,

對(duì)于選項(xiàng)A：tana=后，tan,=5/3,tanasin故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：tana=?^,所以sin尸=與,tancrsin/3=~^-9故B錯(cuò)誤;

tan,=5/3,

2

所以sin9=g,tancrsin/3=~^~9故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：tana=垃，tan'=,

對(duì)于選項(xiàng)D：tana=Y^,sintancrsin/3=D

tan'=,所以夕二，故錯(cuò)誤；

224

故選：C

9.BD

【分析】根據(jù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的公式列出石,馬，???，4和M，%，%，%滿足的等式，再代入

4/2,…,%的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差公式化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】由題意，jq+x2H---F%6=6X=540,y+%+%+%=4y=32。，

故4+Z2+???+Zio=再+/+…+/+%+%+必+”=860,則z=86;

又：(x；+E+￥…+H)一■=62,；(犬+貨+y；+y：)-y=42,

故^x；+x；+x；…=48816fy；+y；+y；+y：=25664,

則z；+z；H—Fz*=x；+x|H—1■*+y；+y；+y；+y：=74480,

故4/2,…,J的標(biāo)準(zhǔn)差為J1b；+z；+…+z2)一/=J7448-86'=底=2岳.

故選：BD

10.AC

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性，逐步推導(dǎo)，即可得到選項(xiàng)A、C是正確的，另外舉例

證明選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤即可.

【詳解】因?yàn)?(2x-l)是周期為2的奇函數(shù)，

所以/(2(x+2)-1)"(2x-1),即f(2x+3)=/(2x-l),

所以的周期為4,

又因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以/(—1)=0,M/(2x-l)+f(-2x-l)=0,

所以f(2x+3)+/(_2元一1)=0,令》=一1,得/⑴=0,

因?yàn)榈闹芷跒?,/(-D=0,

所以/(3)=0,所以A、C正確；

另外，根據(jù)題意，可設(shè)/(x)=cos衿止匕時(shí)A2)=cos7t=-l"(4)=cos27r=l,所以B、D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.AC

【分析】結(jié)合題意，代入公式，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.

【詳解】把左=ln2,4=5%,：=4代入e=〃r)=4+(4-%)e-，得，=4+(5%-4〉「味

55

解得。則心=工，故A正確；

4544

根據(jù)題意，%+4%七4=2(4+44?曉與，化簡(jiǎn)得，8.(6^)2-4-6^+1=0,因?yàn)?/p>

A=(-42)-4x8xl<0,所以方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?lt;6</2</3，%+，3=2/2，所以V3+，的>2je->-e—4=3klz,

所以f(G+/&)-2f也)=4+(用-q)e^+4+儲(chǔ)一團(tuán)片%-2何+(4一為出血)

=(4-幻卜內(nèi)+片%_2產(chǎn))>0,即/&)+/&)>2〃幻,故C正確；

因?yàn)椤ǎ?=%+(4-幻e",所以/")=—幻產(chǎn),

所以尸⑷+/&)-2于&)=——4)e-初一—4)e也+—%)e國(guó)

t,fe3fe

=-Z;(6?l-6?)(e-1+e--2e-9<0,即尸⑹+(&)<2/(幻,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12.ABD

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】對(duì)于A,根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換進(jìn)行判斷；對(duì)于B,根據(jù)三棱臺(tái)可以拆3個(gè)三棱錐以及其

體積公式進(jìn)行判斷；對(duì)于C,根據(jù)三棱錐有內(nèi)切球，作截面與內(nèi)切球相切，則此球也是三棱

臺(tái)的內(nèi)切球進(jìn)行判斷；對(duì)于D,三棱臺(tái)的外接球在上下底面的投影點(diǎn)a，a為兩個(gè)底面三角

形的外心，得出三個(gè)直角梯形全等，再進(jìn)行判斷.

=

【詳解】對(duì)于A,如圖1,因?yàn)槠咭唤蠫=%-AA}B，匕-BBC%-ABB1，

又在梯形934因?yàn)閟AAXB=SABB、，所以9-AAXB~%—A陽(yáng)，所以%-A41cl二匕一BBC.故A正確；

對(duì)于B,設(shè)三棱臺(tái)ABC-A4G上底面面積為S',下底面面積為S,高為瓦

11

八則7匕A—?A1|DB[CC|=-3S7I,VCc]—AAz>CBc=3—Sh

又V=+匕如G+%ABC=/（s+阿+S'）,

所以匕加G=g師，所以（匕ic,）2=匕_4用。]'^q-ABC，

所以匕—，%一四G，％-ABC成等比數(shù)列，故B正確；

對(duì)于C,如圖2,設(shè)尸CL平面ABC,三棱錐P-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍?。，作截面AAG與球。

相切，

則球。也是三棱臺(tái)ABC-的內(nèi)切球，

顯然A41,四,eq中CC,最小,即明,3片,CG不一定相等，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,如圖3,若該三棱臺(tái)的外接球?yàn)闉榍蚯?在上下底面的投影點(diǎn)為Q,a,

則a，a分別為ABC,A4G的外心，所以aa=a4=aG,O2A=O2B=O2C,

。1。2-L平面ABC,。旦-L平面A^iG>

因?yàn)閛^u平面A^G，所以O(shè)Q2AQA，同理可證2Ao/,

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

所以四邊形OMAO?是一個(gè)直角梯形，同理可得四邊形。由80?也是直角梯形,

所以三個(gè)直角梯形全等，貝lJAA=BB|=CG，故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：多面體的外接球球心在組成多面體各面的投影點(diǎn)為該多邊形的外心，由

外心作該面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心.

13.2000

【分析】由題意捕撈出的120條魚(yú)中有6條有記號(hào)，故可以算出標(biāo)記的比例，進(jìn)而估算魚(yú)塘

中魚(yú)的總數(shù).

【詳解】設(shè)魚(yú)塘中的魚(yú)有x條，因?yàn)椴稉瞥龅?20條魚(yú)中有6條有記號(hào)，因此由題意可得

T120

去=寧，解得x=2000,即魚(yú)塘中的魚(yú)大概有2000條.

1006

故答案為：2000.

14.y/2n

【分析】求出圓錐的底面圓的半徑，從而得到圓錐的側(cè)面積.

【詳解】因?yàn)槔忮F為正三棱錐，所以尸4=尸8=筋=夜，OA=OB=OP,

因?yàn)槭琌_LAO,POLOB,由勾股定理得。4=。3=。尸=1,

即圓錐的底面圓半徑r=l,母線長(zhǎng)為血，

則該圓錐的側(cè)面積為Ttrl=y/2,71-

故答案為：0兀

15.5巫

22

【分析】由題意聯(lián)立函數(shù)方程組得S=：+E（%￡Z）,所以sins=土等，不妨依次設(shè)

A,Cx,^-,貝UAC中點(diǎn)。x\x32^1

3顯然等邊三角形邊長(zhǎng)

\J\J\7\7

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

AC=2x———,又AC=%-玉，由此即可求解.

tan/DAB

由題意聯(lián)立/(x)=sina)xg(x)=cos<2>x^cox=^+kn[k￡Z),所以s…±*

所以不妨依次設(shè)A%x1,一-—,Cx3,—,則AC中點(diǎn)。一--

乙I乙乙乙乙

J\\7\7

因?yàn)檫吶切芜呴L(zhǎng)AC=2x4=24考

不妨設(shè)

71苧…入Z),

X=-----

4G

又因?yàn)锳C=w-玉，因此AC=%-%=也=冬但，解得o=?

co32

結(jié)合。＞0,上eZ可知當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)，正數(shù)。取最小值%=警

故答案為：f

【分析】根據(jù)所給線段的長(zhǎng)度關(guān)系及橢圓的定義,求出ABFt的邊長(zhǎng),利用余弦定理求cos3,

在FM中再由余弦定理即可求出離心率.

【詳解】如圖,

因?yàn)?A^=2且3,所以可設(shè)|A乙|=2/,|乙8|=3/,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

又|AK|=2|A劇，所以|A￡|=4t,

由橢圓定義，|A/l+|Agl=6f=2a,即r=],

X\BFt\=2a-\BF2\=2a-a=a,即8點(diǎn)為短軸端點(diǎn),

所以在.M片中,

22Q、2/4〃、2

a+(Z〃+§)―三

3

UKJoLJ-

2\BF^\BA\5a

2a,—5

3

|母"2+|5底|2_|大6|2二2/—4。2=1_^2=3

又在B5片中,

~la-a~

1\BFX\-\BF2\-5

解得e=@或e=-好（舍去）.

55

故答案為：與

17.(l)a?=n,bn=/i+l

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前“項(xiàng)和公式列方程求得2=2,"=1,進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)

公式;

⑵應(yīng)用放縮有十萬(wàn)—?9去］'由裂項(xiàng)相消法求和即可證結(jié)論

=2S,01bl=2%

【詳解】（1）由己知得，即1解得4=2,d=l,

((

=2S2(%+d)4+d)=22q+d)

故〃“=n,bn=〃+l.

]

（2）由（1）得?！ǘ?/p>

2/+2n+1

貝|」（=q+。2+…+q<；

二;（1一a［得證.

18.（1）證明見(jiàn)解析

⑵逅

3

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證得AE-EB=O,AE?BB]=0,從而利用面面垂直的判

定定理即可得證；

（2）結(jié)合（1）中條件，利用異面直線所成角求得〃，從而求得E片與平面AE。的法向量，

由此利用空間向量法即可得解.

【詳解】（1）依題意，以。為原點(diǎn)，以所在直線分別為無(wú)軸，y軸，z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)〃（0,0㈤①>0）.

依題意得A。,0,0),E(0,1,0),5(1,2,0),4(1,2,h),

則AE=(-U,0),EB=(1,1,0),=(0,0,h),

所以AE-EB=0,AE-BB[=0,則AE_LEB,AE_L臺(tái)片，

又BEcBB】=B,用在平面BE與內(nèi)，所以AE,平面BE耳,

又AEu平面AER,則平面AED,1平面BEBt.

(2)依題意得Q(0,2,h),EBX=(1,1,/z),DC1=(0,2,/i).

I/|EB[?DC]2+h2

A」

則cos(EB],DCJ=-n-=].=cos300,

1'〃EB^DQV2+/z2xV4+/z2

解得力=2(負(fù)值舍去)，

故〃(0,0,2),則AD]=(—1,0,2),

,、m-AD.=—x+2z=0

設(shè)平面4皿的法向量為加=(x,y,z),貝I

m-AE=一兀+y=0

取z=l,則％=2,y=2,故m=(2,2,1)；

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

m.EB、_6_^6

則cos(m,

ImllEBJ_76x79~3

所以EBi與平面AE2所成角的正弦值為邁.

3

19.(1)CD=-,AD=—

55

(2)tan^=

【分析】（1）一方面由角平分線定理g=^=|,另一方面泮=黑，又3c=3,所以

可以求出CD=（,接下來(lái)結(jié)合余弦定理即可求出AO.（2）由已知條件可知，

B=6O°-0,C=nO°-0,在ABC中運(yùn)用正弦定理即可求解.

【詳解】（1）如下圖所示：

0—?AB-AD-sinABAD

因?yàn)锳P平分/B4C,所以#=--------------=—=|,又因?yàn)椤Ｔ?c上，所以

A-ACADsinZCAP2

2

c—BD-h

SABD_2=BDDri

q-1CD'

NACD_.CDhs

2

因此黑=|,又BC=3,所以CD=g.

*r+tAD々/OC-rzg-CA^+CB^~32~3^1

在，ABC中，AB=BC=\AC=2,可得cosC=--------------=----------=-.

2cAe52x3x23

在.AC。中，由余弦定理可得

AD2AC2+CD2-2ACxCDxcosC=22+(^]-2x2x-x-^^,故的)=還.

⑸53255

(2)如下圖所示：

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)锳D平分/5AC,ZDAC=ZBAD=0,又/ADC=60。，

所以3=60。一。,。=120。一，，在ABC中，由正弦定理可得

ABAC

sm（12。。-。廣sin（6。。-。）,又帥=3,m=2,所以3sin（z6。。-。）=2sin（12。。-。）,

展開(kāi)并整理得主^cosO-』sine=百cosO+sin。，解得tanO=^^.

225

20.⑴/?⑺在（-6,0）,。+力上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減

（2）4

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性即可.

（2）首先根據(jù)題意得到r-2產(chǎn)=32e',從而得到32e”'=（2/上—‘，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

/?⑺=（/_2產(chǎn)）>2的最大值，即可得到答案.

【詳解】（1）函數(shù)“X）定義域?yàn)镽,/,（X）=3X2-4X=X（3X-4）.

當(dāng)x<0或x>：時(shí)，>0；當(dāng)0<x<g時(shí)，/,（x）<0,

所以〃x）在S，o），H上單調(diào)遞增，在（0,g］上單調(diào)遞減.

（2）由/（f）=g（s）得，/-2/=32e'，

所以32產(chǎn)'=（/一2戶）e\

因?yàn)?2—>0,所以戶一20>0,即f>2.

令/7（。=03_2/心工/>2,則”（r）=，r_l）（4_f）eT.

所以當(dāng)2〈/<4時(shí)，〃⑺>0,力⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)t>4時(shí)，單調(diào)遞減，

因此，當(dāng)」=4時(shí)h（t）取得最大值上⑷=32在,

即e'-'取得最大值e

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

故r-s的最小值為4.

21.(1)1

⑵*

36

n11

(3)-+-I-

一39

【分析】（I）于第一次取球之前，兩個(gè)袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同

一個(gè)袋子內(nèi)的兩球顏色仍然保持不同，需要取出的兩球顏色相同計(jì)算概率即可得答案；

（2）利用條件概率和全概公式即可求解.

（3）列出分布列后根據(jù)數(shù)字特征即可求解.

【詳解】（D設(shè)A,：X0=I，4：X0=O,則尸（4）+尸=

由